Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n°10 / 25

 

 

Dossier : PROFESSEUR

 

 

PROPORTIONNALITE.

 

 

 

 

APPLICATIONS

 

 

ECHELLE ; POURCENTAGE ; INDICE; ...

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

 

 

 

DOC .INFO : Professeur ; Formateur

10 / 25

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

Titre : PROPORTIONNALITE (applications)

DOSSIER  N°10 Cours INTERACTIF

PROPORTIONNALITE applications : Echelle ; pourcentage ; indice.

Information « TRAVAUX auto formatifs »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir utiliser les connaissances sur les proportionnalités :

- Savoir traiter les cas sur les échelles ; les pourcentages et les indices.  

 

Lire :  Notions

 

I ) Pré requis:

Lectures importantes :

 

Quelques définitions en rappel. ! ! ! !

Ÿ

Les opérations sur les fractions.

Ÿ

Les grandeurs proportionnelles

Ÿ

Les notions sur les pourcentages

Ÿ

L'échelle ( le matériel )

Ÿ

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

 

 

 

Objectif précédent :

 

1°)La proportionnalité et l’application linéaire.

2°)

 

 

Objectif suivant :

1°) vie quotidienne.

2°) autres activités interdisciplinaires.

 3°) La fonction linéaire.

Et ses applications.

4°) Fonction linéaire (généralités)

1°) Tableau synoptique :

2°) Liste des cours  niveau V

 

3°) La fonction linéaire.

 

 

III  )LECON : N°10:     PROPORTIONNALITE applications  .

i 9

1°)  Echelles

Info plus !!! :i

i 9

2°)  Pourcentages

Info plus !!! :i ;Tests de fin de formation.

i 9

3°) Indice.

Info plus !!! :i

V)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

 

COURS  

Travaux  auto - formation.

 

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

INTERDISCIPLINARITE voir cas par cas ! !

Cliquer ici  :

Série 1 ( échelle)

Série  2 ( pourcentage)

Série 3 ( indice)

Série 4 Sciences  et le premier degré à deux inconnues .

Série 5 Proportionnalité et les angles

CORRIGE contrôle:

CORRIGE évaluation :

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif .

Ÿ

Devoir certificatif : (remédiation)

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (tout ou partie) pour conclure une formation.

 

Travaux niveau VI et V   : Echelles

Travaux niveau VI et V : pourcentage

Travaux niveau VI et V   : indice

I► Voir le cours spécifique sur « échelles »

  voir  au bas du sommaire sur les a%.

I►Voir le cours sur les indices »!

prendre et faire le :  Dossier 141

Prendre et  faire :  Dossier   198

 

 


 

Leçon

Titre

N°10

PROPORTIONNALITE applications : Echelle ; pourcentage ;indice .

CHAPITRES

1°)  Echelles

Info plus !!!

2°)  Pourcentages

Info plus !!!

3°)  Indice .

Info plus !!!

 

COURS

 

i 9

I.                      Les échelles

Info plus ! ! ! !

 

Définition :                                       Le rapport :  est appelé « l'échelle  du plan » .

L’échelle  permet de représenter « la réalité »  avec des dimensions différentes tout en conservant les mêmes proportions.

 

On note « Dp » dimension du plan et « Dr » la dimension réelle .

D'où la formule :    

 

Résultat du calcul :   L ' "échelle" peut être une fraction ou un nombre décimal.

 

+Activité 1 : Mesures sur un plan de maison

 

on donne  le plan d'une maison, l'échelle  est         (Lire : « un cinquantième »)           

 

On peut dire  que :                                       1 cm sur le plan représente 50 cm dans la réalité.

 

Remarque : la fraction 1/50 à pour valeur décimale : 0,02

 

             

Si l'on cherche à savoir la longueur  réelle de la cuisine dont la mesure sur le plan est 9 cm, on peut construire un tableau de proportionnalité.

 

Mesure "réelle" en cm.

50

x   (9 fois 50 )  = 450 cm

Mesure plan en cm

1

9

Le coefficient de proportionnalité "k" est égal à              ( ou  = 0,02 ) 

 

 

 On en déduit l’équation :              y =  x     ;     D p = Dr

 

 

+Activité 2 : Carte routière

Une carte routière est à l'échelle  1 : 50 000  (un cinquante - millième)

On dira que :  1 cm sur le plan représente 50 000 cm dans la réalité .

Rechercher par quelle mesure   sera représentée sur la carte  une portion de route droite longue de 3,5 km .

On  peut convertir  en cm :  3,5 km = 3 500 m =  350 000  cm

Ou l'on peut convertir 50 000 cm  en km  = 0,500 km

 

On peut établir le tableau :

( x)  Mesures réelles en cm

50 000

350 000

(y)  Mesure sur le plan en cm

1

"y"

On en déduit que :               Dp =     Dr         ou            Dp =  0,000 02 Dr

 

Le coefficient de proportionnalité est de  «1/  50 000 » ou de  «0,000 02 »        ;  soit    l ' équation   " y = 0,000 02  x "

 

- A partir du tableau  ci dessus, on peut effectuer le calcul de "x" :

 

Le produit en croix peut s'effecteur à partir  de la proportion :     =

 

 

Soit  " 50 000 y =  350 000 ;  donc  y  = 350 000 / 50 000 "   donc " y =  7  cm "

 

+Activité 3 : Agrandissement

 

Une plaque de métal  de 12 mm de long sur 6 mm de large  a été  dessinée sur plan, le rectangle mesure  6 cm de long et 3 cm de large. Quelle est l'échelle  utilisée ?

 

=Pour calculer l'échelle avec laquelle elle a été représentée, il faut tout d'abord effectuer les conversions pour que les mesures  soient exprimées  dans la même unité (en mm par exemple) :

 

Les dimensions  du  plan  en mm seront : 6 cm = 60 mm et 3 cm = 30 mm.

D’où le tableau :

Mesures réelles en mm

12 mm

6 mm

Mesures "plans"  en mm

60  mm

30 mm

 

L'échelle est le rapport   soit    ;

 

-   l'échelle utilisée pour  tracer le plan est de "5"

Remarques :

- La valeur du rapport  de l'échelle est supérieure à 1 ; il s'agit  donc d'un agrandissement.

 

-          Le coefficient de proportionnalité est égal au rapport   

-           

On établit la formule, à utiliser :     Dp =  5 Dr    ; (égalité de la forme     y = 5 x)

 

(Voir suite de la leçon : agrandissement ou réduction)

 

II.      Les pourcentages

Info plus 1!!!! ;     Info N°2 +++

 

iPré requis : multiplication d'une fraction par un nombre.

 

Le rapport de deux grandeurs exprimées dans la même unité peut s'écrire sous forme de pourcentage :

 

"je dépense 25 € sur 100 €  ; se traduit par "je dépense 25% de mes 100 €" ;              *

 

Les 25 % de mes 100 € se traduit par l'opération :  = =  = 25

 

Ainsi        25%   =   = 0,25

 

A retenir : Pour calculer  " a % " d'une grandeur A , ,on multiplie la grandeur A par   .

 

+Activité 1 : Rechercher l'existence  d'un "k"  en vu d'obtenir  un  "a % "

 

Lors d'une période de soldes , un commerçant a affiché , pour chaque article  , le prix habituel  et le montant de la réduction  accordée :

 

Marchandise

prix habituel 

réduction

Chemise

40 €

10 €

Pantalon

36 €

9 €

Veste

100 €

25 €

Polo

8 €

2 €

 

Pour vérifier qu'il y a « proportionnalité » , nous allons calculer le « coefficient »  multiplicateur  de chaque marchandise ; pour déduire qu'il existe un coefficient de proportionnalité "k" .

 

On établit le tableau :

Prix normal

40

36

100

8

Montant de la réduction

10

9

25

2

Le coefficient est égal au rapport :

 

Chemise  ;      Pantalon   ;        Veste     ;  Polo

 

On constate  que les coefficients obtenus  sont de même valeur : 0,25

 

Le coefficient de proportionnalité est donc k = 0,25

 

On peut écrire ce rapport  sous la forme  d'un pourcentage  pour signifier que la réduction  est de 25 € pour 100 €  ( voir la veste)

 

On écrira : la remise est  25% du prix habituel .

 

iUn pourcentage  permet de connaître la valeur qui correspond à 100 unités d'une grandeur .

 

Exemples :

 

 


.

 

 

 


+Activité 2 :    On veut retrouver une grandeur dont on connaît la valeur d’un certain pourcentage

 

On fait une remise de 20% sur un meuble. Calculer la valeur de ce meuble sachant que la valeur de ces 20 % représente 540 €.

 

i Si la valeur du meuble était de 100 € la remise serait de 20 €. 

 

Coût du meuble

100

"x"

Remise

20

540

 

D’où la proportion :   ; 

 

En résolvant cette équation il vient :  x =  = 2700

 

Donc le prix du meuble était de   2700 €

 

+Activité 3 : Rechercher le pourcentage d’une remise sur un article dont on connaît la valeur ainsi que la valeur de la remise.

 

Un article dont le prix de départ  est de  360 € est vendu avec une remise de 54 € sur le prix. Quelle serait la remise  pour 100 € marqué ?

 

On établit un tableau : 

Prix marqué

360

100

Remise

54

"x"

 

Proportion obtenue :      

 

En résolvant cette équation il vient :

 

Le pourcentage de remise sur le prix marqué est de 15 %

 

:

A RETENIR

On retiendra  que pour traiter un problème sur les pourcentages on peut utiliser  un tableau de proportionnalité

 

 

Base "100"

Réelle

Valeur

100

"x"

Remise

"a"

"y"

 

Pour remplir ce tableau :

- On repère les grandeurs proportionnelles  en transformant le pourcentage en une comparaison: à "100"  associe "a"  et à "x" associe "y"

- On construit et l'on remplit le tableau  afin d'obtenir la proportion : =

-On  transforme la proportion , pour obtenir un calcul à trois nombres et on effectue les calculs

 

 

 

 

i 9

III ) LES INDICES

Info plus !!!

 

Définition :

Un indice est un nombre abstrait  qui permet de chiffrer l'évolution d'un prix au cours du temps .L'indice est égale au rapport de la  nouvelle valeur Vj  par la valeur  d'origine  ( Vo)  multiplié par 100 (indice de base).

 

Ij/o  =  100

 

 

 

 

 

Un indice donne, à une époque " t i " ,  ( Lire «  temps initial »)  le prix d'un produit dont le prix aurait été de 100 €  à une époque "t o"  choisie comme base .

 

 

+Activité 1 :  En 2001, le kilogramme de tomates , est vendu 23,40 F ; en 2000 il était vendu  20 F ; à l'indice 100 ; l'année suivante le même kg de tomate est vendu 23,4 F. Trouver l'indice  d'augmentation .

 

L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs proportionnelles.

 

 

An 2000

An 2001

indice

100

"x"

Prix au kg

20

23,40

 

L'indice est égale au calcul :

Soit        I  =    =  117

 

L'indice du prix en 2001 est de 117 .

 

L'augmentation en pourcentage  du prix du kg de tomate est de :   =  17     soit 17%

 

 


+Activité 2

 

En l'an 2001, le kilogramme de tomates, est à l'indice 117 ; en 2000 il était à l'indice 100 ; Cela ne signifie pas qu'en  l'an 2000 le kilogramme de tomates valait 100 F et qu'en 2001 il vaut 117 F.

 

Cela signifie que si le kg de tomates  valait 20 F à l'indice 100 ; le kilogramme vaut en 2001   :    117  = 23,4 F

 

L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs proportionnelles.

 

 

An 2000

An 2001

Indice

100

117

Prix au kg

20

???? 

( R : 23,40)

 

iL'augmentation en pourcentage  du prix du kg de tomate est de :     =  17  soit 17%

 

Leçon

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

N°10

la PROPORTIONNALITE applications :

Echelle ; pourcentage ;  indice .

 

TRAVAUX  N°10    d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

A ) Echelle :

1°) A quel  rapport est égal l'échelle  du plan ?

 

 2°) Quand dit-on qu'il y a "agrandissement" ou "diminution"

 

 

B ) Pourcentage :

 

 3°) compléter la phrase :  Pour calculer  " a % " d'une grandeur A , ,on ………………… la grandeur A par  ………. .

 4°) Pour traiter un problème sur les pourcentages on peut utiliser  un tableau …………………………

 

5°) donner la forme du tableau et les informations qu'ils doit contenir:

 

6°) Quelle est la proportion que l'on doit établir  avant de faire un calcul :

 

C) Indice :

 

Commenté cette formule :

Ij/o  =  100

 

TRAVAUX N°10    d ‘ AUTO - FORMATION : EVALUATION

 

 

A)  ECHELLES :

 

1°) Sur une carte à l'échelle 1: 20 000, une portion de route mesure 6,5 cm.

Calculer la longueur réelle de cette portion de route.

 

 

2°) Le plan d'un appartement est à l'échelle  1:25 . la longueur réelle de la chambre 1 est 4,50 m.

Calculer la mesure  à mesurer sur  le plan.

 

 

3°) Le dessin d'une pièce de monnaie est à l'échelle 4:3;

S'agit - il d'un agrandissement ou diminution ?

Calculer la mesure réelle du diamètre  représenté  par 27 mm sur ce dessin .

 

 

4°) Dans chaque colonne  du tableau , on donne l'échelle et une mesure "plan" . Calculer les mesures réelles correspondantes.

 

Echelles

1 : 2

1 : 20

1 : 125

4 : 3

1 : 1000

3 : 1

Plan

15 mm

8 mm

62 mm

123 mm

7 cm

24 mm

réelles

 

 

 

 

 

 

 

5°) Dans chaque colonne  du tableau , on donne l'échelle et une mesure "réelle" . Calculer les mesures "plan" correspondantes.

 

Echelles

1 : 2

1 : 20

1 : 125

4 : 3

1 : 1000

3 : 1

réelles

15 mm

8 mm

62 mm

123 mm

7 cm

24 mm

Plan

 

 

 

 

 

 

 

B ) POURCENTAGES

 

1°) calcul mental :

un commerçant accorde à ses clients une réduction de 15 % sur le prix d'achat .

donner dans chaque cas le montant de la réduction :

Pour  100 € l'achat la réduction sera de :

Pour  200 € l'achat la réduction sera de :

Pour  50 € l'achat la réduction sera de :

 

 

2°) Calculer 24 % de 560 €

 

 

3°) calculer 3,5 % de 500€

 

 

4°) Le prix d'un médicament est de 7,8 € . La sécurité sociale rembourse 75 % du prix de ce médicament .

Calculer le montant du remboursement.

 

 

5°) sur une facture, les frais de transport représentent 8 % du prix de la marchandise.

Ces frais s'élève à 16 € , calculer le prix de la marchandise.

 

 

6°) lors d'un examen, 280 candidats ont été admis sur 520 inscrits.

Calculer le pourcentage d'admis sur le nombre d' inscrits.

 

 

7°) un ouvrier gagnait 1256 € par mois, son salaire va être augmenté de 4 %.

Quel est le montant de l'augmentation ? et son nouveau salaire.

 

 

Cliquer ici pour : Exercices  et problèmes supplémentaires

 

 

 


C) INDICES

 

8°)  Un objet coûtait 2500€ en janvier 1995 ; son prix est passé  à  2550 € en 1996, puis  à 2680 € en 1997 ; 2720 €  en 1998 et 2750 € en 1998.

 

En prenant pour base 100 en 1995, calculer l'indice du prix de cet objet, arrondi à l'unité, pour les 4 années suivantes.

 

9°)  Le propriétaire  d'un appartement utilise le tableau ci - dessous pour calculer le loyer de l'appartement qu'il met en location . Le loyer de cet appartement était en 1994 de 2850 F.

Calculer le montant  du loyer pour les 3 années  suivantes.

 

Année

Indice 4ème trimestre

1994

1019

1995

1013

1996

1046

1997

1068

 

Pour les problèmes  suivants  , on donne la formule suivante  : 

 

10°) Le prix du litre d'essence était à l'époque  to de 1,75 €  ; il est de 2,35 € à l'époque  tn  .Quelle est l'évolution du prix  de l'essence ( en indice) ?

 

 

11°) A une date donnée ( t1), un objet était vendu 3020 €.

 Un objet de même type vaut 2490 €. 8 ans plus tard (t2) .

Donner l'indice d'évolution du prix ( diminution ou augmentation).

 

 

 

 

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