Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 14 / 25

 

 

Document « élève »

 

 

LES UNITES:

 

 

de longueur  ,

d' angle ,

d '  aire  .

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

Travaux spécifiques sur les longueurs :

Dossier 24 - 25 :

 la mesure des longueurs

Dossier 38 :

 les longueurs et les nombres décimaux.

Dossier 54- 55 :

les mesures d’itinéraires.

 

Travaux spécifiques sur les angles :

Dossier  46 - 47 : ligne et angles

Dossier 47 : les angles

 

 

Travaux spécifiques sur les conversions d’unités d’aire.

Dos 96 -97 : mesure de surface

Dossier  108 - 109 : les mesures  agraires.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°14

les UNITES DE LONGUEUR ; D' ANGLE ; D' AIRE.

CHAPITRES

 

 I  ) unité de longueur : le mètre ( symbole : m )

Info plus !!!!!sur les conversions de longueur.

  II )Les unités d'angle : le degré et le grade

Liste des connaissances dur les angles

 III ) Unité d'aire : le mètre carré ( symbole : m² ) et « mesure agraire »

Info plus !!! sur l'aire et le système métrique.

 

COURS

 

i9   

I ) UNITES DE  LONGUEURS

Info plus !conversions !!

 

1°)  Définition du « mètre »:

 Info + sur le mètre 

L’unité de mesure  de longueur s’appelle le « tre » , symbole «  m ».  

         i    l’outil de mesure par comparaison  est le mètre étalon : est la longueur , à la température de 0 degré , du prototype international en platine iridié, qui a été sanctionné par la Conférence générale des Poids et Mesures tenue à Paris en 1889  , et qui a été  déposé au pavillon de Breteuil  , à Sèvres.

Entre 1889  et  1983 de nombreuses définitions , plus précises , ont  été données au mètre . depuis 1983  on a remplacé la  dernière définition par  une définition encore plus précise : le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de :

 

 

 

seconde.

 

2°)   Les multiples et sous multiples  du mètre .

Info 1 ;        Info 2

Sous multiples du mètre :

En divisant le mètre par dix (on obtient  10 / 10ème de mètre , soit 10 morceaux de 1/10ème de mètre )  ,puis  on divise par 10 un  1/10ème  de ces morceaux  de mètre ( on obtient  des morceaux de longueur qui mesure 1/100ème  de mètre) ; puis à nouveau par dix l un des morceaux précédents  et ainsi de suite ( les morceaux deviennent de plus en plus petits , au point de ne plus les voir à l’œil nu  , on prendra des microscopes ),on obtient  les catégories de sous multiples .

Multiple du mètre :                                                                         

On obtient les multiples du mètre en multipliant  par dix le mètre , puis par dix  la longueur  précédente ; puis à nouveau par dix la longueur précédente  et ainsi de suite ( les longueurs deviennent de plus en plus grandes , au point de ne plus  pouvoir les  mesurer directement  avec un instrument .

 

 

 

3°) Noms des multiples et sous-multiples du mètre :

INFO  + : Les unités de longueur et les puissances de dix.

 Pour exprimer des longueurs , on utilise  les multiples du mètre  et  les sous  - multiples du mètre.

Unités

Symboles

Valeur en mètre ( équivalence )

Kilomètre

km

1 km =  1 000 m

Hectomètre

hm

1 hm = 100 m

Décamètre

dam

1 dam = 10 m

Mètre

m

1 m

Décimètre

dm

1 dm  =  0,1 m

Centimètre

cm

1 cm  = 0,01 m

Millimètre

mm

1 mm =  0, 001 m

Micron

(mu) m

1 m  =    0 , 000 001 m

 

4°) Extrait du tableau de conversion des unités de longueur 

Info sur le choix des unités

Nous fixons notre attention sur  les unités les plus utilisées dans la vie quotidienne :

i  Dans la vie professionnelle  on choisi une unité de base : elle est le mm pour l’ébéniste , le cm pour le maçon et le micron pour le mécanicien , le physicien utilisera d’autres unités .

Pour convertir  les  unités de longueur , on utilise le tableau simplifié suivant :

 

Km ; hm ; dam ;et m    appartiennent à la Partie entière

 

Dm ; cm ; mm   appartiennent  à la partie décimale

 

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°) Exploitation du tableau , procédure :

Info plus :

 

La démarche ( I ) doit vous  servir à comprendre le déplacement de la virgule , la procédure II est celle qui faut retenir .

I )  démarche explicative sur la méthode de conversion  en utilisant le tableau non simplifié :

œ

( pour la compréhension) ;Entre chaque unité il devrait exister une « sous - colonne »  dans laquelle on place ou se déplace la virgule, cette « sous colonne » diminuera en « largeur » , pour ne devenir qu’un trait vertical  , dans la forme simplifiée du tableau . Alors la virgule se déplacera sur ce trait vertical.

Rectangle à coins arrondis: Sous colonne Exemple : convertir 45,326 hm en   cm

1°) construire le tableau suivant :

 

 

km

 

hm

 

dam

 

m

 

dm

 

cm

 

mm

 

0,1 mm

0,01 mm

0,001 mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) placer la virgule dans la sous -colonne  se trouvant à droite de l'unité donnée:

 

km

 

hm

 

dam

 

m

 

dm

 

cm

 

mm

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) ranger les chiffres en respectant l'ordre ; ( 1 chiffre par colonne unité ); compléter avec des zéros.

 

km

 

hm

 

dam

 

m

 

dm

 

cm

 

mm

 

 

4

 

5

,

3

 

2

 

6

 

0

 

0

 

 

4°) déplacer la virgule ; la positionner  dans la sous- colonne  de droite de l'unité demandée.

 

km

 

hm

 

dam

 

m

 

dm

 

cm

 

mm

 

 

4

 

5

 

3

 

2

 

6

 

0

,

0

 

 

 

 

 

, ®®®®® On déplace la virgule ! ®®      ­

 

 

 

5 °) Conclusion :

45,326 hm =

4

 

5

 

3

 

2

 

6

 

0

,

0

 Soit :   453260,0   cm  =    453260   cm

Si l'on veut exprimer le résultat dans une autre unité , il suffit de déplacer la virgule vers la gauche, ou vers la droite dans le tableau .

 

km

 

hm

 

dam

 

m

 

dm

 

cm

 

mm

4

 

5

,

3

 

2

 

6

 

0

,

0

 

 

 

­¬¬    ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬  

 

4

 

5

 

3

,

2

 

6

 

0

 

0

 

On lit directement dans le tableau :   453 260 cm    =     453,26 dam         ;    autre exemple :    45,326 hm =  4532,6 m; ………….

 

 

II  ) Procédure à retenir :

œ

Exploitation  du tableau simplifié , la « sous colonne »  qui sépare les unités  à disparu !. ce tableau est  couramment utilisé , pour effectuer une conversion de longueur: Il est à savoir dessiner sur le papier pour ensuite ne l’avoir que dans la « tête ».

Application :   convertir         37,24 dam  en  dm       ou      37,24 dam    = …? ……..dm

Procédure :  pour effectuer la conversion il suffit de suivre la procédure suivante.

A) tracer le tableau de conversion sur la  feuille :

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

 

 

 

 

 

 

 

 

B) placer dans le tableau la « grandeur donnée »  ( ici des  dam )    : On  respectera l’ordre suivant

-  b - 1  Placer la virgule du « nombre donné »  sur le trait vertical "droit" de l'unité donnée.

(ici la virgule se trouve sur le  trait  séparant   les unités   "dam" ,  et   "m"  )

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

0

3

                   7     ®

¬               2

4

0

0

 

 

Emplacement de la virgule

 

 

 

 

 b- 2    Placer les chiffres du nombre dans en respectant  l ' ordre donné ; mettre un chiffre par colonne ,

 

  b - 3   Remplir les cases vides de "zéro".  ( 0372400)

 

ila "grandeur" à convertir est maintenant placée dans le tableau il ne reste plus qu ' à effectuer la conversion  dans l'unité  demandée.

 

C) faire la conversion :

- c-  1 )  Déplacer la virgule  ; la mettre sur le trait vertical "droit" de l' unité "demandée "  (ici  sur le trait vertical  entre dm et cm  )

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

0

3

                   7       

               2

4           ®

¬           0

0

 

 

 

Nouvel emplacement de la virgule

 

 

- c- 2  )  Reporter le résultat  , (lu dans le tableau :   03724,00 dm  soit  3724 dm )

 

i*remarque : dans le tableau une colonne est limitée par 2 traits verticaux  , l'un à  droit l'autre à gauche .   La virgule est dite « flottante » ;elle se trouve toujours sur le trait vertical "limite droite" de l 'unité concernée.

   Activités uv:

 

1 -  Placer , dans le tableau  les longueurs  suivantes :

2,346 km  ; 12, 874 m ; 5342 mm ; 465 cm  et 74 dm  dans le tableau  de conversion :

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution à la fin du cours.:

   Activités v:  (en réutilisant le tableau ci - dessus )

Faire les  conversions :

2,346 km  =  ? …………………..   dm  =   ……………………..?   m

12, 874 m =   ? ………………….   dm  =  ?...............................    mm

5342 mm  = ?   …………………..  m   =  ?  …………………….  dm

465 cm  = ?    ……………………..mm   =  ?...............................    m

74 dm  = ? ………………………..   hm   =   ?  …………………. mm

Corrigé à la fin du cours !!!

Travaux spécifiques : niveau VI et V:

Dossier 24 - 25 :

 la mesure des longueurs

Dossier 38 :

 les longueurs et les nombres décimaux.

Dossier 54- 55 :

les mesures d’itinéraires.

 

 

 

 


 

i19 instruments.     i29 les angles ; i39 Résumé : Vue en collège . 

II  ) Les  unités d'angle  :  le degré et le grade

Info : les unités d’angles.

 

Définition : Un angle a un sommet et deux côtés.

La mesure d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés.

Elle dépend de l'écartement des côtés. Les unités de mesure sont le degré(°), le grade(gr) et le radian(rd). L'outil de mesure est le rapporteur.

 

 

Les unités  utilisées pour graduer des rapporteurs servant à mesurer des angles  sont  le degré et le grade :

 

Le grade « utilise » comme système de numération , le système décimal . ( base 10)

 

Le degré  « utilise » comme système de numération , le système sexagésimal . (base 60)

 

Dans l’exemple ci dessus :  Le même  angle mesure  50 degrés  ou  55,56 grades  , suivant que l’on mesure l’angle avec un rapporteur gradué  en degrés ou en grades.

 

( remarque : si l’on connaît  une mesure en degré il est possible de convertir , par calcul , la mesure en grades , pour cela voir le  chapitre ci dessous .)

 

a) le rapporteur  .

i19 instruments.    

 

 

L'instrument de mesure d'un angle est le rapporteur  . d'angle (peut - être gradué  en degré et en grade) :

 

Le rapporteur  d'angle gradué en degrés et le plus utilisé.

La mesure est obtenue en plaçant le rapporteur le point O de l’angle coïncident avec le point O du rapporteur.

   La demi droite O x   placer sur la droite O 0°  du rapporteur.

Lecture de la valeur de l’angle : la demi – droite   O y   coupe l’arc gradué  du rapporteur. La mesure   37 ° de cet arc est la mesure de l’angle  .

 

Remarque :  un demi - cercle décrit  un  arc de 180° ; un cercle décrit  un  arc de 360°


Pré requis: revoir la leçon sur la fraction d’heure ( durée)

 

Pré requis

b ) Unité d’angle :  Le degré et le système sexagésimale 

 

 

  L’unité principale : le degré

Info +  degré

 

 Info  plus !!!:le système sexagésimal !

 

La mesure de l'angle est  , en général, exprimée en degrés

 

Le degré utilise le système de numération dit : sexagésimal   ( base 60 )

              

Dans un degré il y a 60 minutes, et dans  une minute il y a 60 secondes

 

on en déduit que Dans un degré il y a 60 fois 60 secondes soit 3600 secondes

            Symboles :

 

Unité

Degré

Minute

Seconde

Symbole

  °

……

…….’’

Commentaire sur le symbole  :

C’est un « rond » placé en exposant  à droite du nombre.

C’est une « apostrophe » placée à droite du nombre.

C’est une « double apostrophe » placée en en exposant  à droite du nombre.

 

Ainsi  « 37 degrés 24 minutes et 15 secondes »   se traduit  :  37° 24’ 15’’

 

Un angle droit mesure 90° .

 

c ) Une autre unité d’angle : le grade

Info + sur le le grade .

 

La mesure de l'angle est aussi exprimée en "grade"  , alors un angle droit mesure 100 grades

Pratiquement ,pour  toutes les opérations topographiques , on utilise le grade et ses sous –multiples.

 

d) Convertir des « degrés » en « grades »    et vis  versa .

Pré requis : le produit en croix

 

Si "x" est la mesure d'un angle  exprimée en degré  et "y" la mesure correspondante  exprimée en grades , on a   =   . (info plus!!! sur les calculs )

Les mesures des angles exprimées en degrés et en grades sont proportionnelles à 90 et à 100 respectivement .

 

exemple  1 :

:  Passer d'une mesure exprimée en "degré" et l’exprimer  en   "grade".

 

Degrés

Calculs :

Grades

 

67°

  ;     donc  y =

 

 

= 74,45 gr.

 

exemple 2 :

:  Passer d'une mesure exprimée  en "grade"  et l’exprimer  en "degré" :

Grades

Calculs :

degrés

 

 

67 gr

 

  ; donc x =

 

=  60,3 °

 

 

e)    Expression d’une valeur angulaire exprimée en « degré ,minute , seconde » (dite écriture sexagésimale )   en écriture décimale :

Info plus +++

 

Remarque :

  On peut  exprimer la valeur d’   un angle en degré dans le système décimal ou le système sexagésimal :

 

Pour ce qui concerne la mesure de la durée du temps qui passe  on peut ,par exemple,   dire   que  « 3 heures et demi »    s’écrira   « 3,5 h » , en écriture décimale » 

 

Et dire que  « trois heure est demi »   s’écrira  3 h 30 minutes en écriture  sexagésimale 

 

Pour ce qui concerne la mesure des angles , on utilisera la même démarche de penser :   on peut ,par exemple,   dire   que  « 3 degrés et demi »    s’écrira   « 3,5 ° » , en écriture décimale » ; 

Et dire que  « trois degrés  est demi »   s’écrira  3 degrés 30 minutes en écriture  sexagésimale ; ou en écriture symbolique : 3 ° 3° ‘

 

= écriture Degré   et     écriture décimale :

 

  Exemples d ‘ écriture numérique d'un angle exprimé en degré en utilisant l'écriture décimale .

 

 

Exemple 1 :       21,6°  =  On décompose : 21,6° =  21 ° +  0,6 °   =    se décompose en     21° + °    ;

 

Exemple 2 :       53,79 ° =    ?    On décompose : 53,79° = 53° + 0,79 ° ;             se décompose en  53° +°   ou    53° +°+°.

 

On décompose

 

=Degré et « écriture sexagésimale » :

Ecriture numérique d'un angle exprimé en degré en utilisant  le système sexagésimal .

 

Dans le système sexagésimale on exprime la mesure d'un angle : en degrés , minutes et secondes  .

 

Unités

Symbole

Equivalence

Remarque :

 

Degré

 

°

 

  =   60 ' = 3 600"

 

Dans un degré il y a 60 minutes.

 

 

Minute

 

'

1 '   =   °

 

Dans une minute il y a 60 secondes

 

 

Seconde

 

"

1"  =  '  = °

 

Dans une seconde il y a 10/10ème ou 100/100ème  de seconde .

 

Exemple :             37° 24’ 15’’    se traduit   « 37 degrés 24 minutes et 15 secondes »  

 


=Il faut :  Savoir  effectuer le  passage d'une écriture  décimale en écriture sexagésimale  et vis versa . (Info plus! Sur le système sexagésimal !) :

 

a) passage d'une écriture décimale en écriture sexagésimale :

 

Procédure : il suffit de multiplier la valeur décimale exprimée en degré par 60' .et la valeur décimale de minute par 60".

 

 

 

Valeur décimale

Dit aussi : nombre décimal

 

On         « multiplie par  60 »

Le nombre décimal

Valeur sexagésimale

0,1°

 

0,1  =     6 '

 

0,5°

 

0,5 =     30 '

 

 

Lorsque le nombre possède une partie entière , on a deux possibilités pour convertir soit  2 solutions pour exprimer en valeur décimale :

 

Solution 1 :

13,5 °

on multiplie uniquement le nombre décimale  par « 60 »

13,5   =        810'

 

Solution 2 :

 

 

13,5 °

On décompose le nombre décimal ; on ne touche pas à la partie entière ! on multiplie uniquement la partie décimale par « 60 » :

                      

13,5 °   =  13°  + 0 ,5 °

 

 

 

13°  +     0,5°   =

          13 ° +      30 ‘           = 13°30'

 

On peut ainsi exprimer ; indifféremment ; 13,5°   en minutes :   13, 5°  = 810 ‘     ou  en « degrés et minutes »  13, 5°  = 13° 30’   

On remarquera que  810  : 60   =  13 ;  et il reste « 30 » , (ce qui peut aider pour de vérifier si le calcul est exact.)

 

 

On procédera de même pour  les calculs qui concernent les « minutes »  et « secondes » :

 

Exemple 1:

Transformation de l’écriture  12,5 mn ( en décimal)   en écriture 12’30’’ (en sexagésimal) :

 

On décompose :

12,5 minutes  = 12’ + 0,5 ’

 

 

On conserve les 12 minutes ; on multiplie 0,5 par 60  (  0,5´  60  = 30).

Conclusion : 12,5 ‘  en « décimal » donne  12 minutes et 30 secondes  ( en sexagésimal)

Exemple 2:

Transformation de  l’écriture 29,67 ° ( en décimal) en écriture 29°40’ 12’’ (en sexagésimal)

Solution 1 :

On décompose :      29,67° =  29° + 0,67°

 

Solution 2 :

 

On conserve les « degrés » et  on calcule pour transformer les 0,67 de minute en secondes.

0,67 '  =   29°  + 40,2'

 

On aurait pu calculer le total de minutes :   29,67°   = 1780,2’

 

Ainsi :          29,67° =   29°  + 40,2'  ( le résultat n’est pas satisfaisant : il faut   

                                                                  transformer les 0,2 minute en secondes )

2°) on décompose :

40,2 '  = 40' + 0,2 '

 

40,2 '  = 40' + 0,2 '

            soit  0,2 " = 12’’

soit    40' + 0,2 ' = 40' + 12 "

 

  On peur donc conclure que : 29,67°  =  29° 40 ' 12 "

 

 

On retiendra :

 Pour passer d’une écriture  décimale à une écriture sexagésimale , il faut  conserver la partie entière « en degrés » et   il suffit de multiplier la partie décimale exprimée en degré par 60' .( pour obtenir des minutes ) et de multiplier la partie  décimale des minutes ( si elle existe) par 60" pour obtenir « des secondes » .

 

 

 -  b) passage d'une écriture sexagésimale en écriture décimale.

 

Procédure de calcul  : On garde la partie entière en degré , on multiplie les minutes par .et les secondes par    ; (ou  fois)

 

Valeur sexagésimale

On  multiplie les minutes par

conversion

6'

6  =

 

0,1'

13° 30'

13° + 30= 13° +

 

13° + 0,5 ° = 13,5 °

62° 15'

62° + 15= 62° +

62° + 0,25° = 62,25 °

 

 

Valeur sexagésimale  possédant des  :     ° ;   ' ;     "

conversion

46° 22' 45"

46°                                              =   46°

22 ' =   22    =     »             0,37

45 "    = 45    =      »  0,01

46° + ( 0,37 + 0,01)  =    46,38°

 

On retiendra :  Pour passer d’une écriture  sexagésimale  à une écriture décimale  , il faut  conserver la partie entière « en degrés » et   il suffit de diviser  les minutes par 60 (pour obtenir une nombre décimal de degré de la forme  0,….) et de diviser les secondes par 3600 (, pour obtenir  un nombre décimal  de la forme  0,0  )….

Le résultat est la somme des trois nombres : ….. degrés + 0,…+ 0,0…  

 

Pour en savoir plus : il faut  faire des opérations avec des nombres exprimés dans le  système sexagésimal .Ce type de calculs est utilisé avec les angles , mais aussi avec les heures . et dans les coordonnées d’un point sur la sphère terrestre.

On réinvestira ces connaissances pour les calculs  sur les vitesses moyennes , les distances ; …

Info plus  sur Cd:

)Les heures :calculs dans le système sexagésimal .

)Les angles opérations dans le même système..

3°) Géographie : latitude  et longitude.

 


 

i9   

III )  Les  Unités d'aire  .

:i : Info plus ! sur « aire » et «S.I. »

Nous traitons dans ce cours des unités   « d' aire » et non du calcul d’aire !!!!!!. ( le calcul de l'aire d'une surface se fera par la suite : cours N°16  ).

 

a)  Définitions et remarques 

Aire et surface : (Cd : info plus !!! généralités )

=  "  AIRE  "  :   

 

 

 On donne le nom d ’ « aire » à l’étendue d’une surface.

  La valeur donnée à l ’ « aire » est  le nombre de carrés entiers, de dimensions  définies , contenus  à l’intérieur d’un contour d’une figure géométrique. 

 

Ainsi : les outils de mesure par comparaison sont  des carrés en matériau solide ( bois , papier ;….):

 

Le carré de

1 m de côté

1 dm de côté

1 m de côté

1 mm de côté

est appelé

1 mètre carré

1 décimètre carré

1 centimètre carré

1 millimètre carré

On le note symboliquement :

.m²

.d m²

.cm²

.mm²

 

Exemple :

 

Pour mesurer l’aire d’une pièce il a fallu « couvrir » la surface par : 2 3 m² + 8 dm² + 5  cm² + 2 mm²    que l’on écrira :    23 , 8 5 2 m ²

 

 ="SURFACE" :

             On appelle « surface »  la portion de plan située à l’intérieur d’une ligne fermée.

 

 Les surfaces élémentaires de bases sont :  le rectangle ; le carré , le triangle , le cercle et le trapèze . ( le trapèze  peut se décomposer en association de figures élémentaires).

 Nous pouvons donc remarquer que d’après les définitions que le mot « surface » et « aire » ne sont pas synonymes .

Le mot « surface » évoque l’idée de forme , tandis que le mot « aire » est pris dans le sens  de « grandeur » à mesurer.

Remarque :si deux surfaces sont superposables , elles sont égales , il est évident que les aires sont aussi égales.

 

=  Obtention de  la valeur de l’aire d’une surface .

Pour obtenir l’aire d’une surface ; plusieurs solutions sont possibles :

 

-    En utilisant la méthode du carrelage. Il faut avoir à sa disposition des carrés de 1m² ; 1dm² ; 1cm² ; ….

-    En traçant sur le sol  un quadrillage  et compter les carreaux .

-    En faisant un plan « à l’échelle » sur feuille , et en traçant un quadrillage et compter les carreaux.

-   En faisant un ou des calculs .

                          Voir cas à cas :

                                                      Si la surface est de forme élémentaire simple on applique la formule.

                                                      Si la figure est  de forme complexe  , non curviligne , il faut découper la figure complexe en figures élémentaires simples ;on calcule chaque surface élémentaire , et on fera la somme des aires .  

                                                     Si la figure est complexe  et curviligne , il faut découper la figure complexe en figures élémentaires simples ;on calcule chaque surface élémentaire , et on fera la somme des aires

 

 

b) L ' unité d'aire :

Info plus Cd

 

L'unité d'aire dans le système métrique est le "mètre carré" ; symbole « m² »

 

L'unité d'aire  « agraire » dans le système métrique est l ‘  " are " ; symbole « a »

 

Le mètre carré ( m2 ) est la superficie contenue dans un carré de 1 mètre de côté .

 

c) Les multiples et sous multiples de l’ unité d’aire  m²  :

Info plus Cd

 

L'instrument de mesure ( par comparaison) est un carré de 1 mètre de côté.

Pour les aires   « plus petites »  on prendra des carrés de dimensions inférieures, appartenant aux sous - multiples du mètre. ( le  dm²  ; le cm² ; le mm² ). Cette mesure par comparaison consiste à recouvrir de "petits carrés" la surface à mesurer .

 

 

Unités multiples du m2

Unité « référente »

 

Unités sous-  multiples du m2

"Carrés"     unités ®

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

Lg. des côtés de ces carrés                   ®

1 km

de côté

1 hm

 de côté

1 dam

de côté

1m

de côté

1dm

de côté

1cm

de côté

1mm

de côté

 

d)  La numération  des unités d’aire 

 le système métrique

Les unités d’aire  suivent la loi « centésimale » , c’est à dire qu’elles sont de cent en cent fois plus grandes ou plus petites.

Ainsi  il faut 100 m2  pour faire 100 dam2 ; et il faut  100 dam2   pour faire 1 hm2 ;..

Dans  le décimètre carré : (symbole : dm²) il y a 100 cm² ; ……

 

Chaque  « colonne unité » du tableau  contient 2 sous colonnes .

 

Nom

Symbole

Correspondance en m²  en valeur décimale et sous forme de puissance de 10.

Kilomètre carré

Km ²

1 km ²  =1 000 000  m ² = 1 ´ 10 6 m ²

Hectomètre carré

h m²

1 h m ²  =        10 000 m ² =  1 ´ 10 4 m ²

Décamètre carré

da m²

1da m² =              1 00 m ² =  1 ´ 10 2 m ²

Mètre carré

1    = 1´ 10 0  m ²

Décimètre carré

d m²

1 d m²  =     0 , 01 m2 =     1 ´   10 -2 m ²

Centimètre carré

c m ²

1 c m ²  =     0, 0001 m2 =  1 ´  10 -4 m ²

Millimètre carré

m m²

1 m m ² = 0 , 000 001 m2 =  1 ´  10-6 m ²

 

 

e)   Le tableau de conversion :

( Info plus sur C d !!!)

 

La démarche ( I ) doit vous  servir à comprendre le déplacement de la virgule , la procédure II est celle qui faut retenir .

 

I )  démarche explicative sur la méthode de conversion  en utilisant le tableau non simplifié :

œ

 

 Tableau type  non simplifié :.( à gauche de la virgule se trouve l'unité choisie (ou désignée) à droite de la virgule se trouve la partie décimale de l'unité choisie ou désignée )

 

Pour « apprendre » à utiliser le tableau on considérera qu’il existe des colonnes réservées à la  "virgule", elles  séparent les « unités », dans ces colonnes se déplace la virgule., par la suite la colonne se rétrécira en épaisseur , et son épaisseur sera réduite à un trait vertical , sur lequel se déplace la virgule.

 

 

 

 

km2

 

hm2

 

dam2

 

m2

 

dm2

 

cm2

 

mm2

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f )   Application :

Convertir 3,574 dam² en dm ² ; on fait dans l’ordre :

- 1°) on place la virgule dans le tableau:  ( entre dam ² et m²)

km2

 

hm2

 

dam2

 

m2

 

dm2

 

cm2

 

mm2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2°) on place les chiffres :

km2

 

hm2

 

dam2

 

m2

 

dm2

 

cm2

 

mm2

 

0

0

 

0

0

 

0

3

'

5

7

 

4

0

 

0

0

 

0

0

 

-3°) on déplace la virgule :

 

km2

 

hm2

 

dam2

 

m2

 

dm2

 

cm2

 

mm2

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

5

7

 

4

0

,

0

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

®®®®®®®®

­

 

 

 

 

 

 

 

- On  reporte le résultat

dam2

 

m2

 

dm2

 

0

3

 

5

7

 

4

0

,

 

- 4°) Conclusion :     3,574 dam²   = 35 740 dm²

 

 

II  ) Procédure à retenir sur l ’ exploitation  du tableau pour effectuer une conversion:

œ

 

Dans le tableau type simplifié ( à savoir reproduire ), la virgule se déplace sur le trait vertical séparant les colonnes .

 

Exemple :      faire la  conversion        37,24  dam ²     = …? ……..dm²

 

Procédure :   il faudra  respecter l’ordre chronologique suivant

 

1°) Tracer le tableau  et placer dans le tableau la grandeur donnée:

 

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) placer la virgule du nombre donné sur le trait vertical "droit" de l'unité donnée. (sur le  trait  séparant "dam² ,  et "m²"  )

 

Km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

 

 

 

 

 

®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 3°) placer les chiffres du nombre dans en respectant  l ' ordre donné ; mettre deux chiffres par colonne , remplir les cases vides de "zéro".    ( 0372400)

                                                                                                                                              La virgule vient sur le trait de « droite »  de l’unité dm²  ß.

 

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

0

0

0

0

3

7

2

4

0

0         ®

     0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

la "grandeur" à convertir est maintenant placée dans le tableau il ne reste plus qu ' à effectuer la conversion  dans l'unité  demandée.

 

4 °) faire la conversion :

 

           Déplacer la virgule  ; la mettre sur le trait vertical "droit" de l' unité "demandée "  (ici  sur le trait vertical  entre dm² et cm²  )

 

5°)   Reporter le résultat  : (lu dans le tableau :000 0372400,0000 dm²  soit  372400 dm² )

 

*remarque : dans le tableau une colonne "unité"  contient deux "sous -colonnes"  est limitée par 2 traits verticaux  , l'un à  droit l'autre à gauche .   La virgule est dite flottante ;elle se trouve toujours sur le trait vertical "limite droite" de l 'unité concernée.

 

km2

 

hm2

 

dam2

 

m2

 

dm2

 

cm2

 

mm2

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Activités :

1°) placer dans le tableau les aires suivantes :

7 563 m ² ; 74 cm²  ; 249 mm²  ;  45 , 4 dm² ;

pour convertir on complète de "0"

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) En utilisant  le tableau précédent  faire  les  conversions  demandées : 

7 563 m ² ; 74 cm ²  ; 249 mm ²  ;  45 , 4 dm ² ;

 

 

k m²

h m²

dam ²

m ²

dm ²

cm ²

mm ²

7563 m²

=

 

 

 

 

 

 

 

74 cm ²

=

 

 

 

 

 

 

 

249 mm ²

=

 

 

 

 

 

 

 

45,4 dm ²

=

 

 

 

 

 

 

 

 

f ) Mesure agraire : Les multiples et sous multiples de l’ unité d’aire  m²  :

Travaux :  système agraire

 

=Définition : on appelle « mesures agraires » les mesurent qui servent à évaluer la superficie des propriétés foncières , comme celle des champs , des bois , etc.,…

 

=Les unités de mesures agraires.

 

1°)  L ’ unité principale : l’unité des mesures agraires est l’ « are » . L’are  ( « a ») est une surface  qui égale  un  décamètre carré . ( = 100 m²)

 

2°) Multiple et sous multiple  « usités »  :

L’are n’a qu’un multiple , l’hectare , et un sous multiple le centiare.

L’hectare ( ha) égale 100 ares ( = 10 000 m²) ;

Le centiare ( ca) égale la 100e partie de l’are ( = 1 m²).

 

             On peut utiliser le tableau suivant pour effectuer des conversions dans les mesures agraires.            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ha

daa

a

da

ca

ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EN RESUME : on peut superposer les deux tableaux : 

 

                           La "clef" qui permet de superposer les deux tableaux , ( les m² et les mesures agraires )  est                

Un are est égal à l’aire d’un carré qui a 10 mètre de côté .  Soit 1 are = 100m ²

 

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

 

 

 

ha

daa

a

da

ca

ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CORRIGE :

 

LES  LONGEURS : Corrigé , Activité 1

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

2

3

4

6

0

0

0

0

0

1

2

8

7

4

0

0

0

5

3

4

2

0

0

0

4

6

5

0

 

 

 

7

4

 

 

Corrigé  Activité 2

On place les virgules , et  les chiffres ; lorsque les valeurs sont placées dans le tableau il suffit de déplacer la "virgule" !!!!

 

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

2

3

4

6

0

0

0

0

0

1

2

8

7

4

0

0

0

5

3

4

2

0

0

0

4

6

5

0

0

0

0

7

4

0

0

Résultats :  2,346 km  =  23 4 6 0  dm  =   2346 m   ; 12, 874 m =   128 , 74 dm  =  12 874 mm ;  5342 mm  = 5 , 342  m   =  53 , 42 dm ;  465 cm  = 4650 mm   =    4,65 m ; 74 dm  = 0 , 074 hm   =   7400 mm

 

 

 

 

 

 

Corrigé  des Activités :

1°) placer dans le tableau les aires suivantes :

7 563 m ² ; 74 cm²  ; 249 mm²  ;  45 , 4 dm² ;

pour convertir on complète de "0"

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

0

0

0

0

7

5

6

3

0

0

0

0

0

0

 

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

4

0

0

 

Rectangle à coins arrondis: 75630000000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

4

9

 

0

0

0

0

0

0

0

0

4

5

4

0

0

0

 

 

2°) En utilisant  le tableau précédent  faire  les  conversions  demandées : 

7 563 m ² ; 74 cm ²  ; 249 mm ²  ;  45 , 4 dm ² ;

 

 

k m²

h m²

dam ²

m ²

dm ²

cm ²

mm ²

7563 m²

=

0,007563

0,7563

75,63

7563

756300

75630000

 

74 cm ²

=

0,0000000074

0,00000074

0,000074

0,0074

0,74

 74

7400

249 mm ²

=

0,000000000249

0,0000000249

0,00000249

0,000249

0,0249

2,49

249

45,4 dm ²

=

0,000000454

0,0000454

0,00454

0,454

45,4

4540

454000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Leçon

Titre

N°14

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur les UNITES DE LONGUEUR ; D'ANGLE ; D'AIRE

 

TRAVAUX  N° 14   d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

1°) Les unités de longueurs :

a)  Quelle  est l'unité principale de longueur ?

b)   Construire  le tableau de conversion de longueur.

c)  Donner la procédure pour effectuer  une conversion avec ce tableau.

 

2°) Les angles :

a) nommer les deux unités d'angles .

b ) donner la procédure permettant le passage d'une écriture sexagésimale en écriture décimale.

donner la procédure permettant le passage d'une écriture décimale en écriture sexagésimale :

 

d) compléter les phrases  suivantes :

La mesure de l'angle est généralement exprimée ………….. : Un angle droit mesure ……… .

La mesure de l'angle est aussi exprimée en grade  , alors un angle droit mesure ………grades .

e)  Quel est l'égalité des 2 rapports qui permet d 'exprimer des degrés en grades ou des grades en degrés ?  :

 

e )Compléter le tableau suivant

Unités

Symbole

Equivalence

Remarque :

Degré

 

  = …… ' = ……….."

Dans un degré il y a ……. minutes.

Minute

 

1 '   =  ……. °

Dans une minute il y a ……. secondes

Seconde

 

1"  =  …….'  = ……..°

Dans une seconde il y a ……… ou …………… de seconde .

 

 3°) Les unités d'aire :

a)  Quelle  est l'unité d'aire principale  ?

b)   Construire  le tableau de conversion de l'aire .

c)  Donner la procédure pour effectuer  une conversion avec ce tableau .

 

TRAVAUX N° 14   d ‘ AUTO - FORMATION : EVALUATION

1°) faire la conversion d'unités de longueurs ; compléter le tableau

a) faire les conversions suivantes :

2,346 km  =  …………………..    dm  =   …………………  m

12, 874 m =   ………………….    dm  =  ………………..    mm

5342 mm  = …………………….    m   =  ……………….    dm

465 cm  = …………………….    mm   =    ……………….   m

74 dm  = ………………………    hm   =   ………………..  mm

 

b)  faire la conversion d'unités de longueurs ; compléter le tableau :

 

3,7 km

=

………………m

=

…………………cm

147 m

=

………………dam

=

…………………cm

0,73 dm

=

……………… cm

=

…………………mm

9 cm

=

………………m

=

…………………mm

65 mm

=

………………cm

=

…………………m

 

c )  faire la conversion d'unités de longueurs ; compléter le tableau :

 

0,045 km

=

………………m

=

…………………cm

1,476 m

=

………………dam

=

…………………cm

43 dm

=

……………… cm

=

…………………mm

659 cm

=

………………m

=

…………………mm

6245 mm

=

………………cm

=

…………………m

 

2°) Les angles :

 

a) Passer d'une mesure en "degré" en mesure  "grades":

 

Degrés

Calculs :

Grades

67°

 

 

 

b) Passer d'une mesure en "grade"  en "degré" :

 

Grades

Calculs :

degrés

67 gr

 

 

 

c) passage d'une écriture décimale en écriture sexagésimale :

 

Valeur décimale

Valeur sexagésimale

 

0,1°

 

 

0,5°

 

 

13,5 °

 

 

 29,67 °

 

 

 

d)passage d'une écriture sexagésimale en écriture décimale.

 

Valeur sexagésimale

On  multiplie les minutes par:

conversion

6'

 

 

 

13° 30'

 

 

 

62° 15'

 

 

46° 22' 45"

 

 

 

 

e) Conversion d'unités d'angle , compléter :

 

17,75°

= …………….° ……………...'

 

49,15°

= …………….° ……………...'

 

32,50°

= …………….° ……………...'

 

5,4°

= …………….° ……………...'

 

73,60°

= …………….° ……………...'

 

 

f) Conversion d'unités d'angle , compléter :

 

35,55°

= …………….° ……………...'…………."

 

49,23°

= …………….° ……………...'…………."

 

32,92°

= …………….° ……………...'…………."

 

5,48°

= …………….° ……………...'…………."

 

73,65°

= …………….° ……………...'…………."

 

 

g) Conversion en écriture décimale , compléter :

 

35° 15' 

= …………….° ………………

 

49° 30'

= …………….° ………………

 

32 ° 45 '

= …………….° ……………...

 

5° 60'

= …………….° ……………...

 

 

h) Conversion en écriture décimale , compléter L arrondir à deux décimales :

 

35° 17' 

= …………….° ………………

 

49° 31'

= …………….° ………………

 

32 ° 36 '

= …………….° ……………...

 

5° 2'

= …………….° ……………...

 

 

 

j) Conversion en grade  , compléter L arrondir à deux décimales

 

35°

= ………….……………gr

 

24,2°

= ……………………….gr

 

32,92 °

=………… …………….gr

 

5° 2'

=………… …………….gr

 

 

k) Convertir en degrés avec une écriture décimale arrondir à 0,01 près .

 

1 gr.

 

 

17,5 gr.

 

 

42,75 gr.

 

 

 

3°) les conversions d'unités d'aire .

 

a) faire les conversions suivantes :

 

2,346 km²  =  …………………..    dm²  =   ………………… 

12, 874 m² =   ………………….    dm²  =  ………………..    mm²

5342 mm ² = …………………….    m ²  =  ……………….    dm²

465 cm²  = …………………….    mm ²  =    ……………….  

74 dm²  = ………………………    hm ²  =   ………………..  mm²

 

b)  faire la conversion d'unités d'aire ; compléter le tableau :

 

3,7 km²

=

………………m²

=

…………………cm²

147 m²

=

………………dam²

=

…………………cm²

0,73 dm²

=

……………… cm²

=

…………………mm²

9 cm²

=

………………m²

=

…………………mm²

65 mm²

=

………………cm²

=

…………………m²

 

c )  faire la conversion d'unités d'aire  ; compléter le tableau :

 

0,045 km²

=

………………m²

=

…………………cm²

1,476 m ²

=

………………dam²

=

…………………cm²

43 dm ²

=

……………… cm²

=

…………………mm²

659 cm²

=

………………m²

=

…………………mm²

6245 mm²

=

………………cm²

=

…………………m²

 

 

 

'>