Définition de l ‘ objectif : Savoir transformer une écriture fractionnaire.

Pré requis: 

 

P4  collège

 

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Info : Sommaire

 

 

Vers le programme de la classe de  4ème.

Sciences : fractions égales (longueurs)

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Fraction nomenclature

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ENVIRONNEMENT du dossier :

 

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Objectif précédent   Sphère metallique

1°) fraction égale ( primaire)

notions : Travaux : dossier 120 : partage en part égales

2°) Comparaison des fractions à l’unité

3°)  Voir cours  niveau 6 collège , classe 6ème collège.

4°) Comparaison des nombres en écriture fractionnaire

Objectif suivant : 

1°)  Fractions égales  4ème s Sphère metallique

2°) >>  La proportionnalité

3°) Fractions équivalentes

4°) Cours sur les fractions équivalentes et non équivalentes.

 

Tableau Sphère metallique96

1°) Sommaire : tout sur les transformations d’une fraction.

2°) Sommaire : tout sur la proportionnalité.

3°) Sommaire sur « les écritures fractionnaires ».

Les nombres positifs  en écriture fractionnaire.

 

 

Fiche 1 : Ecritures fractionnaires d’un nombre .

 

 

Fiche 2 :  Approximation décimales d’un nombre en écriture fractionnaire.

 

 

Fiche 3 : Simplification d’écritures fractionnaires : transformer en fraction , simplifier, rendre irréductible .

 

 

Fiche 4 : Comment reconnaître que deux écritures fractionnaires représentent le même nombre .

 

 

Fiche 5 :   Proportions.

 

 

Fiche 6 : L’inverse d’un nombre.

 

 

Fiche 7 : Comparaison de nombres positifs en écriture fractionnaires.

 

 

Fiche 8 : La demi-droite graduée.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

Boule verte

COURS

Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité                  Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

Travaux niveau VI et V

Dos. 149 comparaison de deux grandeurs.

 

 

 

 

 

 

Travaux niveau VI et V

Dos 160

Travaux : la proportionnalité (fiche 180)

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

 

Fiche 1 : Ecritures fractionnaires d’un nombre .

 

 

 

 

 

 

Voici  des écritures fractionnaires de nombres : ( parmi lesquelles  on  intègre  les fractions )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Parmi ces écritures fractionnaires , :

 

 

 

·       Trouvez celle qui représente un nombre entier .

Info @ sur l’ensemble des nombres entiers..

 

 

 

 

 

Exemple :   ( en effet       )

 

 

 

 

 

 

 

 

·       Trouvez celle qui représente un décimal non  entier .

Info @ cours sur l’ensemble des décimaux

 

 

 

 

 

Exemple :
   = ..     ( en effet 

 

 

 

 

·       Trouvez celle qui ne représente  pas  un décimal .

Info @ cours sur l’ensemble des rationnels

 

 

 

Les écritures fractionnaires dont la division ne se termine pas ne représente pas  un nombre décimal…….

 

 

 

Exemple :
   ;    

Vous constatez que les restes successifs sont toujours des .. …….

8

 

 

 

3

 

 

2

0

 

 

2,666

 

2

0

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Donc dans le quotient on aura toujours des ….. ….

On dit que l’on obtient un « nombre périodique »  de période « 6 ».

Ce nombre  n’est pas un décimal car il a une infinité de chiffres (non nuls ) après la virgule.

 

 

 

 

 

Liste des écritures qui ne représente pas un décimal :

 

 

 

 

 

Fiche 2 :  Approximation décimales d’un nombre en écriture fractionnaire.

Info ++ cours sur les approximations..

 

 

 

Info ++ @ a voir  sur les valeurs approchées

 

 

 

 

 

     n’est pas un décimal , mais , en utilisant la division ci-dessus , on peut en donner des « valeurs approchées décimales ».     

 

Ainsi  par exemple :   2  <     <  3       est l’encadrement de  «   » par des valeurs approchées à « 1  prés »   .

Avec :

-         « 2 » est la valeur approchée « par défaut » .  

-        « 3 » est la valeur approchée « par excès ».

 

Donnez l’encadrement à 0,1 près :   …..   <     <  …….       

Et

Donnez l’encadrement  à 0,01  près :  ….   <     <  ……..       

 

 

 

Remarque : sur le vocabulaire :   Au lieu de dire  « valeurs approchées »   , on dit aussi  «  approximations ».

 

 

 

 

 

Activité n°1 : Après avoir posé la division de « 22 par 7 » donnez les encadrements successifs du nombre  

 

 

 

 

 

-        Donnez l’encadrement à 1 près :   ……   <    <  …….

-        Donnez l’encadrement à 0,1 près :   …….   <    <  …….

-        Donnez l’encadrement à 0,01 près :   ………   <    <  ………

-        Donnez l’encadrement à 0,00001 près :   …………..   <    <  …………….                           

 

2

2

 

 

 

 

 

7

 

 

 

1

0

 

 

 

 

3,14285

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité n°2 :

 

 

Donnez l’encadrement à 0,01 près de      :    

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Simplification d’écritures fractionnaires 

Info + @ : simplification..

 

 

Vous avez vu en 5ème que

 

 

« a », « b » , « k »  désignant des nombres décimaux , avec « b » et « k » non nuls ;

 

 

 

 

 

C’est de cette façon que l’on obtient toutes les écritures fractionnaires d’un nombre à partir de l’une d’entre elles.

 

Activités possibles : :

 

 

 

 

 

Activité 1 :

 

Transformer une écriture fractionnaire en fraction .

Info ++@

 

 

 

 

 

                       Certaines écritures fractionnaires peuvent être remplacées par une fraction, c'est-à-dire que les 2 termes de l’écriture fractionnaire  sont  des nombres entiers.

 

Transformer les écritures fractionnaires ci-dessous en fractions :

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 2 :

 

 

Donnez la fraction irréductible des nombres suivants :

Info ++@ sur la fraction irréductible

 

 

 

 

 

 

 

1°) Avec des fractions

 

 

 

 

 

2°) Avec des écritures fractionnaires

Info ++ tout sur les calculs avec les écritures fractionnaires @

 

 

 

 

 

 

Activité n°3 :

 

 

Trouvez toutes les fractions représentant le nombre dont une écriture est     et dont le dénominateur est inférieur à « 50 ».

 

 

 

Réponse : simplifions     ;      ;      les fractions équivalentes sont obtenues en multipliant par « 2 » ; « 3 »  ,  « 4 » ;   « 5 » ; « 6 » ; «  7 »

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 : Comment reconnaître que deux écritures fractionnaires représentent le même nombre .

Info + @ les fractions équivalentes ..

 

 

 

 

 

On voudrait savoir si :    représentent le même nombre.

 

 

Pour cela nous vous proposons de chercher si l’on obtient la même fraction irréductible pour   

 

    donc   

 

 

 

 

 

Faîte de même  pour :

 

      ;             donc 

 

 

 

 

 

Et pour :

 

     ; donc 

 

 

 

 

 

Autre méthode :

Vous avez vu en classe de  5ème  que :

 

 

 

« a » ; « b » , « c » , « d » sont des nombres  et avec « b » et « d » ne sont pas nuls.

 

        cela revient à dire que    

 

 

 

 

 

 

Dans le cas de      complétez :    et     puisque     alors      

 

 

 

 

 

Exercice : Utilisez cette méthode dans les cas suivants  ci-dessous .

Calculez les produits en croix puis complétez en méthode le signe  =   ou le signe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 :   Proportions

Info + @ les proportions et le produits en croix..

 

 

 

 

 

Quatre nombres « a » , « b » , « c », « d »  dans cet  ordre  ( « b » et  « d » non nuls ) . tels que    constituent une proportion .

 

« a » et « d » sont appelés les « extrêmes »   , « b » et « c » sont appelés les « moyens ».

 

 

 

 

 

·       On dit aussi que  « a » et « c » sont « respectivement proportionnels » à « b » et « d ».

 

 

 

 

 

·       Puisque           a même signification que     , on peut dire que:

Dans toute proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des …………..

 

 

 

Activité 1 :   « 5 » , « 7 » , «  1,5 » , «  2,1 »  dans cet ordre , constituent - ils une proportion ?

 

 

 

 

 

 

·       Même question avec :   2,6 ; 3 ; 4,8 ; 6

 

 

 

 

 

 

 

v Calcul d’une quatrième proportionnelle.

Info ++ @ la quatrième proportionnelle.

 

 

 

 

 

On vous demande de calculer «  »  pour que l’égalité     soit vraie.

 

 

 

Dire que      c’est dire que     , c'est-à-dire    ;  c'est-à-dire      

 

 

 

Activités :

Déterminez de même les nombres « a » , « b » , « c » , « d »  dans les cas suivants

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : L’inverse d’un nombre.

Info ++@ inverse d’un nombre et d’une fraction .

 

 

 

 

 

Rappelons ce que nous avons vu au niveau « 5ème . » 

 

 

 

Activité 1 :

 

 

 

 

fract001

Complétez :

AC  =    AB

Complétez :

AB =   AC

 

 

Les nombres que vous venez d’écrire sont dits « ………… » l’un de l’autre.

 

 

 

 

 

Activité 2 :  

Complétez : 

 

 

 

 

On sait que       a pour inverse …

 

 

 

A observer !!!!

 

 

Activité 3 :  

En vous aidant de l’activité précédente  complétez par des écritures fractionnaires (donnez l’écriture simplifiée )

 

     et    

 

 

 

 

A retenir :

 

 

 

« E » et « F » étant des nombres ( ou des grandeurs) quelconques, « a » et « b »  étant des décimaux positifs non nuls, dire que :

    c'est-à-dire   

 

  et     sont dits « inverse » l’un de l’autre.

 

 

 

 

 

 

 

Activité 4 :  

Déterminez le nombre «  » tel que              

 

 

Dire que   c’est dire que   , c'est-à-dire 

 

 

 

Activité 5 :  

A un examen , 72 % des candidats ont été reçus.

Sachant qu’il y a eu « 54 » reçus , quel était le nombre de candidats ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 7 : Comparaison de nombres positifs en écriture fractionnaires.

Info +++ comparaison…fractions@

 

 

 

 

 

Soit 3  Méthodes :

 

 

 

Méthode n°1 :  On compare des valeurs exactes  ou approchées de ces nombres.

 

 

 

Activité 1 : Comparons    et  

   =

 

 

 

Puisque   1, 4 >  1,25    alors :   ….  

 

 

 

 

 

Activité 2 : Comparons   . Pour cela nous allons calculer :    et 

 

 

 

 

 

9

0

 

 

11

 

 

5

0

 

 

6

 Les divisions « ne se terminent pas ».

 

Mais on peut écrire :              0,81 < < 0,82

et   0,83 <  < 0,84

 

 

 

2

0

 

0,818

 

 

2

0

 

0,833

 

 

9

0

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Puisque   0,82 < 0,83  alors :  .

 

 

 

 

 

Méthode n°2 : On choisit des écritures fractionnaires  de même dénominateur ou de même numérateur :

 

 

 

 

 

Rappel 1 .

De deux nombres représentés par des écritures fractionnaires de même dénominateur le plus grand est celui dont l’écriture fractionnaire a le plus ………  ..numérateur.

 

 

 

 

 

Activité 3 : Comparons   ; Vous savez que    . On est donc ramené à comparer :  

 

Puisque   «  5 > 4 »   alors       ; c'est-à-dire  que    

 

 

 

 

 

Activité 4 :

 

 

Comparez les fractions dans les couples de fractions suivantes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 5 :

 

 

En faisant mentalement comme ci-dessus , complétez en mettant  le signe :   >   ou  <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappel 2 :

De deux nombres représentés par des écritures fractionnaires de même numérateur le plus grand est celui dont l’écriture fractionnaire a le plus ……..  ..dénominateur .

 

 

 

 

 

Activité 6 :

 

 

Complétez en mettant  le signe :   >   ou  <

 

 

 

 

 

 

 

Rappel 2 :

Une écriture fractionnaire représente un nombre inférieur à « 1 » si et seulement si son numérateur est …………….  son dénominateur

 

 

 

Complétez en mettant  le signe :   >   ou  <

 

 

 

 

 

Activité 7 :

 

 

On vous demande de ranger dans l’ordre croissant  les fractions suivantes :

 

 

 

 

Commencez   par séparer  les nombres inférieurs à « 1 » des nombres supérieurs à « 1 ».

 

 

-        Nombres inférieurs à « 1 » : ………………………………………………………………

-        Nombres supérieurs à « 1 » :………………………………………………………………..

 

En faisant comme précédemment , complétez alors :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Méthode n°3 : On place sur une droite graduée les points ayant pour abscisses les nombres données.

 

 

 

 

 

Nous devons choisir sur la droite le sens croissant de la gauche vers la droite , plus le point est à gauche plus l’abscisse est ……petite……

, donc plus le point est droite plus l’abscisse est grande. (voir la fiche 8)

 

 

 

 


 

 

Fiche 8 : La demi-droite graduée

Info ++ @ droite graduée

 

 

 

 

 

fract002

 

 

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, on a placé le point « B ». Son abscisse est « 1,5 » . On écrit :  «  B ( 1,5 ) ».

·       Donnez l’abscisse des points : « D » , « A » , et « C ».

·       Placez les points dont on donne l’abscisse : G ( 4,5) ; F (0,35) ; E ( 1,7).

·       Placez approximativement les points : K ( 0,35) ; J ( 3,37 ) ; H ( 5,42)

 

 

 

Points dont l’abscisse  est un nombre en écriture fractionnaire.

 

 

 

Il n’est pas toujours facile de placer de tels points.

On se contente souvent de les placer « approximativement »

 

 

Pour cela , on peut déterminer un encadrement du nombre par des décimaux.

Exemple ci contre  : ;     encadrement :  

fract003

 

 

Activité n° 8

Placez approximativement les nombres ci-contre après en avoir déterminé un encadrement :  

fract004

 

 

Vous pouvez alors ranger ces nombres dans l’ordre croissant : …………….< …………. < ……….< ………<…………< …………

 

 

 

 

 

Utilisation de la partie entière d’un nombre.

 

 

 

 

 

Rappel :

 

 

Considérons le nombre

 

1

1

4

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

Vous avez vu en « 5° » que

En effet :  2 =    et     

 

 

 

« 2 » est appelé la partie entière de «  »  , c’est le « quotient entier approché par défaut ».

 

 

 

·       Ecrivez de même : 

 

 

 

 

 

·       Nous allons placer approximativement sur la droite le point d’abscisse     qui se trouve :

 

 

fract005

 

 

·       Placez , de même, les points ayant pour abscisses :   

 

 

 

 

 

v Pour comparer des nombres , on peut placer approximativement sur une droite les points ayant ces nombres pour abscisses ( le partage de l’unité se faisant grossièrement ).

 

 

 

 

 

Remarque :

 

Si les nombres sont très voisins ( exemple :   )

 

Le procédé est trop approximatif pour pouvoir déceler celui des deux points qui est à droite de l’autre.

Il faut donc comparer les nombres comme cela a été vu dans la fiche  7.

fract006

 

 

 

 

 

Activité n° 9

 

 

Rangez dans l’ordre croissant les nombres :

 

 

 

fract008

 

 

………………….<………..<………..<………..<………< ………..< …………< …………..< ……………

 

 

 

 

 

 

 

 

Fin : 26/03/2014

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs

Faire toutes les fiches …………………..

 

CONTROLE:

 

 

2 ° ) Par quel   signe sont séparées deux fractions équivalentes?

 

3° ) Que représente deux fractions équivalentes , autre qu ‘une égalité ?

 

 

4 ° ) Donnez le modèle mathématique représentant deux fractions équivalentes.

 

 

5° ) Comment peut-on procéder pour ordonner  ( classer dans un ordre croissant ou décroissant  ) des fractions ?

 

6° ) Comment procède -t - on pour vérifier si deux fractions sont équivalentes (donnez la procédure la plus sûre  ) ?

 

 

 

EVALUATION:

 

I  )Dire  si les fractions suivantes sont équivalentes (si non les classer par ordre croissant):

 

 

a  )   ;  ;  ;  ;   ; utiliser le tableau ci dessous ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b )idem que ci dessus :   ; ; ; ;

 

c ) idem que ci dessus : ; ;  

 

II ) Construire .....5......fractions équivalentes à la fraction donnée :  

III) On nous donne deux fractions ; et   ;sont-elles équivalentes? 

 

 

 

En complément :voir cas avec nombres relatifs

I ° )  Construire 3 fractions équivalentes à la fraction donnée.(indiquer le coefficient multiplicateur utilisé pour chaque étape)

*un   « coefficient »   est un nombre ,généralement , entier .

 

a)  =

 

b)  =

 

c) =

 

d) =

 

II ° ) CALCUL   ALGEBRIQUE :

 

Mettre sous forme d’une égalité simple les fractions équivalentes suivantes  ,en utilisant le produit en croix :

 

  =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

et encore :

a)   =  5      b)   = 7 ;

 

Construire  4 fractions équivalentes à la fraction à la donnée

 

a)  =

b)  =

c)   =

 

d)       =

 

Dans les exercices suivants ne pas « développer »

    e)  =

f)    =

 

 

 

CORRIGE  EVALUATION

 

I ) a) ligne 2 : calcul avec la calculatrice

        ligne  3 : classement par ordre croissant.

 

0,28333

0,250

0,8337

0,583

0,600

2

1

5

3

4

 

 

 

 

 

conclusion :       <   <   7/ 12     <     <

Interdisciplinarité

Voir «   les  proportions »