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Auteur :
WARME R.
INFORMATIONS sur les :
RESOUDRE
des PROBLEMES DU PREMIER DEGRE
de la forme : a x = b ; a x + b = c |
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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Titre |
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N°11 |
RESOUDRE UNE EQUATION du premier degré à 1 inconnue et PROBLEMES DU PREMIER DEGRE. |
Pré requis : les leçons sur les égalités……
CHAPITRES
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COURS |
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I Vocabulaire : Equation ; du premier degré ; à une inconnue ;
membre ; terme ; facteur . |
iPré
requis au chapitre 1: revoir la leçon
sur les calculs numériques et
algébriques.
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I.1. Définition de
« équation » |
Une équation est une égalité ; elle peut être « numérique »
ou « algébrique » . Toutes les équations algébriques sont composées
de chiffre (s) et lettre (s) et au moins
une lettre appelée « inconnue »
.
Une égalité est une équation
toujours « vraie ». Ce qu’il y a dans le premier membre est toujours égal à ce qu’il y a dans le deuxième
membre !!!
Par définition :
Une
équation possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité
qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur * donnée à cette inconnue .
(* cette valeur , remplaçant « x » dans
l’équation doit vérifier « l’identité : égalité vraie »)
I.2. Définition d ’une « équation
du premier degré »
Définition :
Une
équation du premier degré est une égalité dont la ou les inconnues sont de puissance 1.
Condition : il ne doit y avoir qu’une inconnue par
terme ! ! ! ! cette inconnue se trouvée multipliées par un nombre
( 2 x ) , elle peut se trouver
dans plusieurs termes !!!
Exemples :
i On écrit pas la
puissance 1 i Les inconnues sont
couramment appelées x, y ou z
x1 +
3 = 0 que l’on écrit : x + 3 = 0 ;
2x1 + - y1
- 4z1 = 15 que l’on
écrit : 2x + - y - 4z = 15 ;
x1 - y1 = 6z1 que l’on écrit : x
- y = 6 z ;
2y1 + 5 = 0 que l’on écrit : 2y
+ 5 = 0 ;
Exemples
d’équations du 1er degré : à une ou deux ou trois
inconnues :
x + 3 =
0 ; 2 x - y - 4z = 15 ; x - y
= 6z ; 2y + 5 = 0
i Remarquer
et comparer avec les équations suivantes qui sont du second degré :
x ²+ 3 =
0 ; 2y² + 5 = 0 ; 2x + - y - 4z² = 15 ;
x² y = 6z pour qu’une équation
soit dit « du second degré »
il suffit qu’une des inconnues possède un exposant « ² ». ou qu’un
terme contient un produit de deux
inconnues ( exemple x y =
6z )
|
I.3. Définition de « équation du premier degré à une
inconnue » |
Condition : il
ne doit y avoir qu’une inconnue par terme, l’inconnue est toujours la même
! ! ! !
Définition : Une équation du premier degré à une
inconnue est une égalité dont un ou plusieurs termes contient une seule
et même lettre est dont
l’inconnue est de puissance 1.
Exemples : 5x
= 8 ; - 7 x
= 14 ; x + 3 = 0 ; 2y + 5
= 0 ; 
;
; 3x - x =
8 ; 3x - x = - 7x + 3 ; y +3y = 12 ;…
Résumé :
1°) Définition
d ’ une « équation » algébrique .
Une
équation algébrique possédant une inconnue ( "x" généralement ) est
une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur donnée à cette
inconnue
2°)
Définition d ’ une « équation du premier degré »
Une
équation du premier degré possède un ou plusieurs termes contenant une ou plusieurs inconnues dont la puissance n’
est pas supérieur à
« 1 » .
3°)
Définition d ’ une « équation du premier degré à une
inconnue »:
Une équation du premier degré à une inconnue
est une égalité dont un ou plusieurs termes contient une seule
et même lettre est dont l’inconnue est de puissance 1 .
Remarque : « Résoudre une équation » :
Résoudre
une équation du premier degré à une inconnue c’est rechercher par
transformation et calcul la valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité vraie.
Ces
définitions ont déjà été étudiées ,
lorsque vous entrez en formation , pendant la phase
d’homogénéisation !!!! voir le cours
N°1 sur les égalités.
iDans une égalité
l’expression algébrique à gauche du signe « égal » est appelé
« premier membre » .
Dans une égalité l’expression algébrique à droite du signe « égal » est appelé
« deuxième membre » .
Dans une
équation , le signe " =
" sépare les deux "membres".
Exemple :
A gauche de = : le Premier
membre 3 x = 56 A droite de =
: le deuxième membre .
Exemple
1 : Dans l’équation 3 x
= 56 ;
Chaque membre possède un seul terme . « 3x » et
« 56 »
Le premier membre est composé d’un seul terme « 3x » : 3 et x sont
appelés : « facteur »
Le deuxième membre est un terme : c’est un nombre
« 56 ». (quand le nombre ou
lettre est seul , on déclare que ce terme est aussi « facteur » ,
puisque l’on peut le multiplier par « 1 ».
(exemple :
prenons l’écriture suivante x + 7 = …….. ; x fois 1 = x et
7 fois 1 = 7 : donc les
terme « x » et « 7 »
sont aussi « facteurs » parce qu’ils ne sont pas associés à d’autres
facteurs autre que « 1 »)
Exemple
2 : Etudions l’équation 3 x + 7
= - 4 x + 12 -
3 ,
Pour identifier les
termes il faut transformer les 2 expressions
en 2 sommes algébriques.
On transforme l’expression
« x + 7 » en « somme » : (+x) + ( +7) et l’expression
- 4x + 12 - 3 en
« somme » : (- 4 x ) + ( + 12) + (
- 3)
L’égalité 3 x + 7
= -4 x + 12 -
3 devient l’ égalité : (+3 x) + ( +7) = (- 4 x ) + ( + 12) + (
- 3)
Le premier membre est composé de deux
termes qui sont : « ( +3x )» et « (+7) »
: (« 3 » et
« x » sont appelés :
« facteur » ) et
(« +7 » est un « terme » et aussi
« facteur »)
Le deuxième membre est composé de trois termes qui sont : « - 4 x » ; « +12 »
et « -3 »
On retiendra
les définitions suivantes :
Définitions
Terme : Un
terme est composé de un ou plusieurs facteurs ., il se situe à gauche et ou à
droite du signe + dans la somme algébrique.
Facteur : Un
facteur est un nombre ou une lettre
situé à gauche et à droite du signe ´ . ( on dit qu’un terme est constitué d’un produit de
facteurs )
Remarque importante : il faut
toujours penser à changer l’expression algébrique en somme algébrique si l’on
veut identifier sans peine les termes et les facteurs.
ATTENTION : il
faudrait avoir étudié les théorèmes sur les transformations des égalités……. Et il faudrait réussir le devoir >>> @ info
En résumé : De par les transformations des égalités et pour résoudre une équation , on appliquera les théorèmes suivants.
THEOREME 1 : On obtient une
équation équivalente à une équation donnée en ajoutant à ses deux membres une
même expression algébrique.
THEOREME 2: On obtient une équation équivalente à une
équation donnée en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre DIFFERENT DE ZERO.
+ACTIVITES
« recherche de la valeur qui vérifie l’égalité vraie »
En calcul
,on laisse un « trou » , on demande de trouver le nombre
manquant !
En algèbre on
remplace le trou par une lettre
« x » ou « y » ou « z » . Et on demande de remplacer la lettre par le
nombre manquant !
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En calcul |
En algèbre : |
Résultat ( dit aussi
« solution ») |
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Soit l
’ opération |
En primaire on pose une opération à trou |
En
début de collège on pose |
Au collège et au lycée
on bouche le trou par une lettre. ( x ou y , z…) On prend généralement la lettre « x » . |
Pour
trouver le résultat on devine que le nombre manquant est : (il faut
vérifier ,c’est à dire : mettre en place la valeur manquante , et puis
on calcule ensuite on compare le résultat avec ce qui est demandé) |
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On reconnaît l’addition |
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2 + 3 = 5 |
2 + …..= 5 |
2 + __ = 5 |
2 + x = 5 |
5 - 2 = 3 En calcul : on bouche le trou
avec « 3 » , En algèbre : on écrit
que x = 3 ; On dit : « ixe vaut
3 » |
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On reconnaît une soustraction |
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7 - 4
= 3 |
7 - …… = 3 |
7 - ___ = 3 |
7 - x = 3 |
7 - 3 = 4 En calcul on bouche le trou par
« 4 » , En algèbre on écrit que x = 4 On dit : « ixe vaut
4 » |
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7 - 5 = 2 |
….- 5 = 2 |
___ - 5 = 2 |
x - 5 = 2 |
5 + 2 = 7 En calcul on bouche le trou par
« 7 » , En algèbre on écrit que x = 7 On dit : « ixe vaut
7 » |
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On reconnaît la multiplication |
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3 ´ 6 = 18 |
3 ´ ….. =
18 |
3 ´ ____ =
18 |
3 x = 18 |
18 ¸ 3 = 6 En calcul : on bouche le trou par
« 6 » , En algèbre : on écrit
que x = 6 On
dit : « ixe vaut 6 » |
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6 ´ 4 = 24 |
….. ´ 4 = 24 |
___ ´ 4 = 24 |
x ´ 4 = 24 ou 4x = 24 |
24¸4 = 6 En calcul : on bouche le trou par
« 6 » , En algèbre : on écrit
que x = 6 On
dit : « ixe vaut 6 » |
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On reconnaît la division . |
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16 ¸ 2 = 8 |
16 ¸ …. = 8 |
16 ¸ ___ = 8 |
16 ¸ x = 8 |
16 ¸8 =_2 En
calcul : on bouche le trou par « 2 » , En algèbre : on écrit
que x = 2 On
dit : « ixe vaut 2 » |
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14 ¸ 2 = 7 |
…..¸ 2 = 7 |
____¸ 2 = 7 |
x ¸ 2 = 7 |
2 ´ 7 = 14 En
calcul : on bouche le trou par « 14 » , En algèbre : on écrit
que x = 14 On
dit : « ixe vaut 14 » |
C’est ainsi que l’on cherche à résoudre ; par exemple : 2 x = 7
; 2 + x = 7 ; x - 2 =
7 ; x ¸ 2=
7 ; 2 - x = 7 ; ……
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II. Résoudre les principaux types d'équations
du premier degré à une
inconnue. |
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Définition : « Résoudre
une équation du premier degré à une inconnue » c'est rechercher après transformation et calcul
une valeur de "x" qui vérifie que l'égalité numérique est "vraie". |
Il faut donc "vérifier" si la valeur
proposée convient : pour cela on remplace « x » par la valeur
proposée et l’on effectue un calcul ,si
l’égalité est vraie ,la valeur de "x" proposée , est validée. .
Toutes les résolutions se ramènent , toujours après transformation ,
et calculs successifs au modèle " x = ……….."
On peut recenser 11 exercices types à savoir résoudre .
le premier exercice type
est évident et il ne fait pas l'objet d'une étude particulière .( le 1 est
élément neutre de la multiplication)
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Exemples
d’équations |
Modèles
types |
La
solution est |
Résolution
de l’exemple : |
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1 x
= 7 |
a x = b |
donc x =
b /a ou |
x = |
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5 x =
45 |
a x =
b ou x a = b |
donc x =
b /a ou |
x = |
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5+ x =
45 |
a + x =
b ou x + a =
b |
Donc x =
b - a |
x = 45 - 5 x = 40 |
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5 - x =
45 |
a - x =
b |
Si b >
a impossible |
Voir les nombres relatifs. |
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8 - x =
6 |
a - x =
b |
Si a
< b |
On
devine que x = 2 |
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x - 5 =
45 |
x –
a = b |
donc
x = b + a |
x = 5 + 45 ; x = 50 |
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= |
= |
c x = (b a) Donc x = (b a) /c |
2 x = 5´ 6 2x =
30 ; x = 15 |
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donc x =
a c / b |
2 ´ 5
= 6 ´ x 10 = 6 x x = 10 / 6 |
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donc x =
b a /c |
5´ 6 = 2x 30 = 2 x x = 15 |
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donc
x = c a /b |
6 x = 2 ´ 5 6x
= 10 x = ( 10
/ 6 ) |
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Pré requis : transformer pour se ramener au produit
en croix |
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donc x = b a |
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donc x = a/b |
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Ces 11 exercices sont traités
successivement à la suite
de ce chapitre .
Lorsque l’on a trouvé un
nombre pour « x » qui peut être
la solution de l’égalité ; il faut vérifier si l’égalité est vraie . Pour
cela il suffit tout simplement de
remplacer « x » de l’équation par le nombre trouvé est de faire le
calcul .La conclusion s’impose d’elle même :
-
si
la valeur donnée à « x » vérifie l’égalité vraie «la solution
est la valeur trouvée »
-
si la valeur donnée à
« x » ne vérifie pas l’égalité vraie , la procédure pour trouvé le
nombre est fausse , il y a erreur , il faut recommencer .
exemple :
on donne 
=2 ;
on transforme et calcul tel que =
; donc : 1 ´ 5 = x ´ 2 ;
donc 5 = 2x ; on transforme x = ( 5 : 2) ; on trouve x = 2,5
vérification : = ?
si « x » = 2,5 ;
on remplace 
= ? ; on trouve « 2 »
ainsi : = 2 ; et =2 ; donc « x » = « 2 »
est solution de l’équation.
remarque cette démarche paraît longue ; mais il
faut toujours vérifier avant d’annoncer
un résultat .
@)Pré requis : les égalités
(Théorèmes ).
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II.1. Exemples de résolutions types |
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a x =
b |
Solution
: x = |
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Exemple : 5 x =
45 |
5
x = 45
; on divise
les deux membres par 5 :
x = x = 9 |
vérification : 5 avec x = 9 5 |
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Equation type N°2 a + x = b ou
x + a = b |
Solution : x = b -a |
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Exemple : 5+ x = 45 |
5+
x = 45 on soustrait aux deux membres de l'égalité
.on dit aussi:on ajoute l'opposé de
"5" ( - 5) aux deux membres
de l'égalité 5 + x + ( -5) = 45 + ( -5) 0 + x = 45 -5 x = 40 |
Vérification : 5
+ x = 45 avec " x = 40 " 5 + 40 = 45 45 = 45 "40" est solution. |
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Equation type N°3 x – a = b |
Solution : x = b +
a |
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Exemple : x - 5 = 45 |
x - 5 = 45 on ajoute
+ 5 dans chaque membre; on dit aussi que l'on ajoute l'opposé de (-5) soit ( +5).
x - 5 + 5 = 45 +5 x +
0 =
50 x = 50 |
Vérification :
x - 5 = 45 pour "x" = 50 50 - 5 = 45 "50" est solution. |
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Equation type N°4 ( cas particulier) a - x
= b , avec b > a ( cette résolution d'équation n’est possible qu’avec les nombres
relatifs ) |
Solution: a - b = x ou x = a - b |
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Exemple
: 5 - x
= 45 |
5 - x = 45 5 - x + x = 45 + x 5
+ 0 = 45
+ x ensuite
on ajoute ( -45) ou on soustrait -
45 au deux membres de l'égalité . 5 ce
qui revient au même!
5 + ( -45 ) = 45
-45 + x 5 + ( - 45 ) = 0 + x on calcule: (voir le cours sur l'
addition de deux nombres relatifs de nombres de signe contraire) ( +5 ) + ( -45) =
x ( +5 ) + ( - 45 ) = x
; [ - (
45 - 5 ) ] = x
(
- 40 ) = x
; on peut écrire
aussi x = ( - 40) |
Vérification : 5 - x = 45 5 - ( - 40 ) =? = 45 voir le cours : sur la
transformation de la soustraction en
addition. 5 + ( +40) = 45 ainsi x = "-40 " est
solution. |
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Cas des équations de deux fractions formant une proportion.
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Equation type N°5
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Solution : donc x = (b a)
/c |
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Exemple : |
on effectue le produit en croix; 2x = 5 2x = 30 x = x = 15 |
Vérification :
pour "x" = 15
"15" est solution. Deuxième vérification On aurait pu
faire le produit en croix: 15 fois 2 = 5 fois 6
30 = 30 |
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Solution : donc x = a c / b |
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Exemple : |
on effectue le produit en croix; 5 10 = 6x
; ou 6x = 10 x = soit sous forme rationnelle x = 1,67 ( voir le cours expression
d'un résultat d'une fraction) et "arrondir" |
Vérification :
Voir leçon : "division
d'un nombre par une fraction ." 1er calcul :
2ème calcul : donc solution x = |
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Equation type N°7
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Solution : donc x = b a /c |
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Exemple : Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 . |
on effectue le produit en croix; 6 30 = 2x
; ou 2x = 30 x = 15
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Vérification : |
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Equation type N°8
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Solution : donc x = c a /b |
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Exemple : Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 . |
on effectue le produit en croix; 6x = 2 x = |
Vérification : |
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Les équations dérivées des
"proportions" sont de la forme
= b et 
=b.
On doit se rappeler que b est égale à la fraction 
, ce qui a pour avantage de transformer les deux cas
particuliers :
= b devient
=
et =b devient
=
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Equation type N°9
|
Solution : donc x = b a ou x = ab |
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Exemple : Ou 8 = |
on transforme : on effectue le produit en croix; 1 et l'on calcule : x = 40 |
Vérification : 40 / 5=
? voir table
des divisions : |
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Equation type N°10
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Solution : donc x
= a/b |
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Exemple : Ou 2 = |
on
transforme : on
effectue le produit en croix; 5
et
l'on calcule : 5 = 2
x ou 2 x =
5
|
Vérification :
5 : 2,5
= ? voir "division décimale" : on trouve 5/ 2,5 = 2 donc "x = 2,5" est
solution de l'équation. |
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III. Etudes
particulières sur les équations du type : a
x = b et a
x+ b = c |
Nous nous
intéressons , plus précisément ,aux deux types d'équations :
ax = b et ax + b = c qui sont les formes des équations représentant
la fonction linéaire ( y = ax)
et la fonction dite affine ( y = ax +b)
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III.1. équations du type
a x = b |
Exemple : Considérons l'équation 40 x
= 360
on en déduit que x = 9
La solution de l'équation
est le nombre : 9
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Résolution de l’équation du type : a x = b |
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L'équation
du type a x = b (
"a" et "b" sont des nombres décimaux et "a" ¹ 0) admet une solution unique x = Cette
solution est obtenue par une seule opération : On divise les
deux membres de l'égalité par le même nombre "a" . |
