addition _somme_ avec les nombres décimaux relatifs et somme algébrique

DOSSIER : LES DECIMAUX RELATIFS / objectif cours 14

CAP

Pré requis :

Le nombre relatif dit aussi : nombre algébrique.
Addition avec les décimaux ( non relatifs)
L’expression et la somme algébrique

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

Objectif précédent :

1°) Les décimaux relatifs « notion »

2°) les nombres relatifs (cours vu en 6^ème)

3°) Découverte d’addition avec des nombres relatifs (fiche de travaux ) .

4°) 0pposé d’un nombre relatif ..

5)fiche 3 : l’addition de nombres relatifs au collège ( 4^ème )

Objectif suivant :

· Fiches de travail sur l’addition et soustraction des nombres relatifs (classe 5^ème)

· Calcul numérique :La soustraction de deux nombres relatifs.

· Calcul algébrique : addition

Tableau 54

1°)Sommaire sur les nombres relatifs .

2°) devoir

3°) autre devoir.

DOSSIER : ADDITION ( somme algébrique ) de DECIMAUX RELATIFS

	I) Addition ( Somme algébrique) de deux nombres relatifs.
	II) Somme de plusieurs nombres relatifs.

	III ) Cours niveau 5 : ADDITION d’ une expression algébrique .	.


		Pré requis : devoir de base
TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
	Résumé du cours	Devoir type à passer ; auto formatif (entraînement)

Définition de l’objectif:

Savoir faire l’addition de deux nombres relatifs (et plus)

COURS :

I ) Addition ( Somme algébrique) de deux nombres relatifs :

Commentaire : L’addition de deux nombres relatifs ayant le même signe (+) et (+) ou (-) et (-) (on dit aussi « de signe commun ») ne devrait pas poser problème. Il faudra être particulièrement attentif pour effectuer l’addition de deux nombres relatifs de signe « contraires »; (+) et (-) ou (-) et (+) .

Il y a trois cas à traiter:

· Savoir additionner deux nombres de signe (+):

· Savoir additionner deux nombres de signe (-):

· Savoir Additionner deux nombres relatifs de signe contraire:

· Cas particulier : somme de nombres symétriques et éléments neutres dans l’addition

· ( exemple : (+5) + ( -5) = 0 )

A ) Savoir additionner deux nombres de signe (+):

Règle:

la somme de deux nombres relatifs de signe « + » est égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe « le signe + » et pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues »;

Ce qui peut se traduire ,en écriture mathématique:

(+ Vabs. 1) + ( + Vabs. 2) = ( + ( Vabs1 + Vabs. 2) ) = ( + (Vabs3))

.Application numérique:

(+3,5) + (+ 8,9 ) = ?

Commentaire: Le résultat est obtenu en deux étapes.(analyse pour obtenir le signe et calcul pour obtenir la valeur absolue)

Analyse pour attribuer le signe:

les deux nombres relatifs sont de signe « + » ; nous concluons que le troisième nombre sera de signe « + » .

Calcul de la valeur absolue :

D ’ après la règle que nous appliquons; le troisième nombre aura pour valeur absolue la somme des valeurs absolues soit 3,5 +8,9 = 12,4

d’ou on peut écrire que :

(+3,5) + (+8,9) = ( + ( 3,5 + 8,9 ) ) = + 12,9

B ) Savoir additionner deux nombres de signe ( - ):

Règle:

La somme de deux nombres relatifs de signe - est égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe « le signe - » et pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues »

Ce qui peut se traduire ,en écriture mathématique:

(- Vabs. 1) + ( - Vabs. 2) = ( - ( Vabs. + Vabs. 2)) = ( - (Vabs3))

.Application numérique:

(-3,5) + (- 8,9 ) = ?

Commentaire:(comme précédemment le résultat est obtenu en deux étapes)

Analyse:

les deux nombres relatifs sont de signe « - « ; nous concluons que le troisième nombre sera de signe « -« .

Calcul :

D ’ après la règle que nous appliquons; le troisième nombre aura pour valeur absolue la somme des valeurs absolues soit 3,5 +8,9 = 12,4

d’ou on peut écrire que :

(-3,5) + (-8,9) = ( - ( 3,5 + 8,9 ) ) = - 12,9

Commentaire

nous venons de traiter les deux cas de l’addition de deux nombres relatifs de même signe ;nous pouvons élaborer une règle globale ,qui dit que :

A retenir :

La somme de deux nombres de même signe est égale à un troisième nombre qui aura

pour signe :le signe commun

pour valeur absolue : la somme des deux valeurs absolues.

Ce qui se traduit par:

(+ Vabs. 1) + ( + Vabs. 2) = ( + ( Vabs.1 + Vabs. 2) = ( + (Vabs3))

(- Vabs. 1) + ( - Vabs. 2) = ( - ( Vabs.1 + Vabs. 2) = ( - (Vabs3))

C ) Savoir Additionner deux nombres relatifs de signe contraire ( dit aussi : différent ):

Commentaire: nous abordons la somme de deux nombres relatifs « de signe contraire »,cette opération est la plus difficile à effectuer ;elle est la plus fréquente ,la maîtrise de la règle suivante est donc très importante.

Exemple : ( +5 ) + ( - 45 ) = ? ; = [ - ( 45 - 5 ) ] = ( - 40 )

A savoir:

Règle:

La somme de deux nombres relatifs de « signe contraire » ;( un nombre de signe ( +) l’autre de signe ( - ) et inversement l’un de signe ( -) l’autre de signe (+) est égale à un troisième nombre relatif qui aura :

Pour « signe » : le signe du nombre relatif qui à la plus grande valeur absolue.

Pour valeur absolue: La différence (soustraction *)des valeurs absolues; toujours la plus grande valeur absolue moins la plus petite valeur absolue

Ce qui se traduit par:

(+Vabs 1) + (- Vabs.2 ) = ? Vabs3 ; à pour signe ;le signe du nombre qui a la + grande Vabs. et pour Vabs.: (+ grande Vabs. - +petite Vabs.)

(- Vabs.1) + (+ Vabs.2) = ? Vabs3 à pour signe ;le signe du nombre qui a la + grande Vabs. et pour Vabs.: (+ grande Vabs. - +petite Vabs.)

*se souvenir que la soustraction deux nombres décimaux (nombres sans signe + ou -) donc dit « non relatifs » s’exécute sans problème ( une valeur absolue est assimilable à un nombre décimal non relatif );mais la soustraction de deux nombres décimaux relatifs ne se fait pas.

Application de la règle:

Le résultat recherché (la somme) repose sur deux activités ,l’analyse et le calcul;

Analyse:

Il faut reconnaître la somme de deux nombres relatifs de signe contraire.

Il faut ensuite identifier la plus grande valeur absolue pour attribuer le signe au troisième nombre recherché.

calcul :

Il faut effectuer la soustraction entre la plus grande valeur absolue et la plus petite valeur absolue .

Applications numériques:

I) Calculer ( - 3 ) + (+ 8,9) =

Commentaire :je reconnais l’addition de deux nombres de signe contraire .

1) analyse:

la plus grande valeur absolue est : 8,9 ;

le signe qui précède 8,9 est +,

je conclus que le signe du troisième nombre (résultat de l’addition)aura pour signe le signe +

2) calcul: pour effectuer le calcul je dois identifier la plus grande est la plus petite valeur absolue, et faire la soustraction des valeurs absolues « la plus grande moins la plus petite »;soit 8,9 - 3 ce qui donne comme résultat 6,9

3) résultat:

(- 3) + ( + 8,9) = ( + ( 8,9 - 3 )) = ( + 6,9 )

II ) Calculer ( + 3 ) + (- 8,9) =

Commentaire :je reconnais l’addition de deux nombres de signe contraire .

1) analyse:

la plus grande valeur absolue est : 8,9 ;

le signe qui précède 8,9 est - ,

je conclus que le signe du troisième nombre (résultat de l’addition)aura pour signe le signe -

2) calcul:

pour effectuer le calcul je dois identifier la plus grande est la plus petite valeur absolue et faire la soustraction des valeurs absolues « la plus grande moins la plus petite »;soit 8,9 - 3 ce qui donne comme résultat 6,9

3) résultat:

(+ 3) + ( - 8,9) = ( - ( 8,9 - 3 )) = ( - 6,9 )

CAS PARTICULIER :

La somme d’un nombre relatif avec son opposé est égale à 0.

Exemple ( + 5 ) + ( - 5 ) = ( ± ( 5 –5) ) = ( ± 0 )

( application : neutralisation d ‘ un terme dans une égalité « on ajoute son opposé »)

II ) Somme de deux nombres d’une somme algébrique simplifiée L

( suite de nombres arithmétiques précédés de signe + ou - )

Les 4 exemples sont :

Exemple 1	Exemple 2	Exemple 3	Exemple 4
5 + 7	5 - 7	- 5 - 7	7 - 5

Pour chaque exemple ; il faut transformer l’expression algébrique en somme algébrique , et à partir des règles précédentes faire la somme de deux nombres relatifs:

Exemples :	transformation	Calcul :	Résultat :
5 + 7	( + 5) + ( + 7 )	( + ( 5 +7) )	( + 12)
7 – 5	( + 7 ) + ( -5)	( + ( 7 – 5 ))	( + 2 )
5 – 7	( + 5 ) + ( - 7)	( - ( 7 – 5 ) )	( - 2 )
-5 -7	( -5 ) + ( -7 )	( - ( 5 + 7 ) )	( - 12 )

Remarque :

les formes simplifiées sont pour : ( + 12) ® 12 ; ( +2) ® 2 ; ( - 2 ) ® - 2 ; ( - 12 ) ® -12 .


	II) Somme de plusieurs nombres relatifs.
	En principe, on ne sait pas calculer : A = ( - 15 ) + ( + 28 ) + ( +37 ) + ( - 67) , on ne sait que traiter que deux nombres à la fois , ce qui permet de dire que l’écriture de « A » est la forme simplifiée ( par convention) de : Par exemple : Poursuivez le calcul . A = ……………………………………..= ………………………..=……………………….. Vous pouvez imaginer d’autres façons de placer les parenthèses, puis effectuez le calcul.. A = …………………………( -15 ) [ ( ( +28 )+ ( + 37 ) ) + ( - 67 ) ] Autre façon : A = …………………………………….. Dans la pratique : Etant donné une somme de plusieurs termes sans parenthèses , pour effectuer le calcul , on peut imaginer une succession de parenthèses et crochets comme dans la première façon. Ceci revient à dire que l’on additionne le premier le premier terme avec le deuxième, le résultat obtenu avec le troisième et ainsi de suite jusqu’au dernier terme. Activité n°… Utilisez la méthode précédente pour calculer : B = ( + 13 ) + ( - 17 ) + ( - 23 ) + ( + 43 ) + ( - 24 ) + ( + 53 ) = ……….. ……………………………… Autre méthode : Grâce à la commutativité et à l’associativité, on peut regrouper les nombres positifs d’une part et les nombres négatifs d’autre part. Appliquez cette méthode pour calculer « B » . B = ………….. + ……………..= …………. Faites de même pour « C ». C = ( + 27 ) + ( - 53 ) + ( + 18 ) + ( + 45 ) + ( - 12 ) + ( - 23 ) + ( + 14 ) C = …………………………………………………………………………………………………………………. Autre possibilité : Il se peut que dans la suite de nombres à additionner figurent des opposés. On peut alors les regrouper de manière à faire apparaître leur somme qui est : ……..0…….. D = ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) + ( + 9 ) + ( + 3 ) + ( - 4 ) + ( - 2 ) D = [ ( + 3 ) + ( - 3 ) ] + [ ( + 2 ) + ( - 2 ) ] +[ ( + 4 ) + ( - 4 ) ] + ( + 9 ) D = 0 + 0 + 0 + ( + 9 ) D = ( + 9 ) Dans la pratique , on se contente de souligner les termes opposés..
	Exemple
	E = ( - 17 ) + ( + 8 ) + ( - 4 ) + ( - 25 ) + ( + 17 ) + ( - 14 ) + ( + 4 ) + ( + 21 ) Après simplification de E = ( - 17 ) + ( + 8 ) + ( - 4 ) + ( - 25 ) + ( + 17 ) + ( - 14 ) + ( + 4 ) + ( + 21 ) , il reste : ( + 8 ) + ( - 25 ) + ( - 14 ) + ( + 21 ) Il est possible de regrouper les négatifs entre eux et les positifs entre eux : E = [ …..+ …… ] + [ …..+ …… ] = ( …….) + ( ……..) = ( ………)
	Calculez F = ( + 3 , 8 ) + ( - 4 ,3 ) + ( - 18 ) + ( + 7,2 ) + ( - 3,8 ) + ( + 15 ) + ( + 4,3 ) + ( - 6, 9 )
	F = ( + 3 , 8 ) + ( - 4 ,3 ) + ( - 18 ) + ( + 7,2 ) + ( - 3,8 ) + ( + 15 ) + ( + 4,3 ) + ( - 6, 9 )
	F = + ( - 18 ) + ( + 7,2 ) + ( + 15 ) + ( - 6, 9 ) ; F = ( - 24 , 9 ) + ( + 22,2) = ( - 2 , 7 )
	F = ………………………………………………………………………………………………………….

	Remarque : ( + 2 ) + ( + 7 ) = ( + 9 ) …. Qui est l’opposé de ….( - 9 ) …. ; donc ( + 2 ) + ( + 7 ) + ( - 9 ) =……0………. De même ( - 6 )+( - 9 ) = ……( - 15 )………et ( + 5 ) + ( + 10 ) = ……( + 15 ) …….. donc : ( - 6 ) ( - 9 ) + ( + 5 ) + ( + 10 ) = …0………
	Ø En vous inspirant de cette remarque , calculez : G = ( + 5 ) + ( - 3 ) + ( + 9 ) + ( - 6 ) + ( - 12 ) + ( + 7 ) + ( - 4 ) + ( - 8 ) + ( + 5 ) + ( + 7)
	Ø Cas où il y a des parenthèses.
	H = [ ( + 2 )+ ( - 3 ) + ( + 7 ) ] + [ ( - 5 )+ ( + 4 ) + ( - 7 )] + [( - 2 )+ ( + 8 ) + ( - 9 )]
	1^ère méthode : Vous pouvez effectuer d’abord le calcul dans les parenthèses. H = ………………+ ……………..+ …………….
	H = ……( + 6 ) ………+ ……( - 8 )……..+ ……( - 3 ) …….

	2^ème méthode : Grâce à l’associativité , vous pouvez enlever les parenthèses et continuer comme vous voulez. H = …………………………………………………………………………………………..

	Ø Calculez de même « K » . K =[ ( - 1,8 )+ ( + 3, 7 ) + ( - 7 ) ] + [ ( - 12 )+ ( + 5,2 ) + ( + 8,3 )] + [( - 4,9 )+ ( + 7 ) + ( - 5,5 )]
	1^ère méthode : K = …………………………………………………………………………………………….
	2^ème méthode : K = …………………………………………………………………………………………..

Cours niveau 5
IV ) On retiendra sur l’ ADDITION D’ une expression algébrique :		@ sur ce qu’est une expression et une somme algébrique .
A RETENIR : Procédure à appliquer pour faire le calcul d’une somme algébrique a) Regrouper les nombres de signes « + » : on additionne tous les valeurs absolues des nombres de signe (+) . Le résultat est un nombre relatif de signe « + » et ayant pour valeur absolue , la somme des valeurs absolues. b) Regrouper les nombres de signe « - » on additionne tous les valeurs absolues des nombres de signe (-) . Le résultat est un nombre relatif de signe « - » et ayant pour valeur absolue , la somme des valeurs absolues c) le calcul restant se résume à l’addition de deux nombres de signe contraire.(on applique la règle : : somme de deux nombres relatifs de signe contraire ) d) rendre compte. Exemple: On demande de faire les opérations: ( +3) +( +5,6) + (-7,2) + (+2,1) +( -15,7) = ? Corrigé: a)On additionne tous les nombres de signe +: ( + ( 3 + 5,6 + 2,1) ) = ( + ( 8,6 + 2,1 )) = ( + (10,7))= (+10,7) b)On additionne tous les nombres de signe -: ( - (7,2 +15,7)) = ( - (22,9)) = (-22,9) c) Nous avons maintenant à faire l’addition de deux nombres relatifs de signe contraire ,on applique la règle . ( + 10.7) + ( - 22.9) = ( - (22.9 - 10.7)) = ( - (10.2)) = (- 10.2) d ) Résultat : la somme a pour résultat le nombre relatif ( - 10.2 ) IV) Calcul d’une expression algébrique ne possédant que des valeurs arithmétiques séparées par des signes « + » ou «- » ( expression algébrique. ) Cas 1 : Chaîne d'opérations ou expression ne contient que des « additions »: exemple : « 8 + 56 + 12 + 965,12 » Procédure de calcul: il faut faire la somme des nombres
Procédure :	Exemple : « 8 + 56 + 12 + 965,12 »
1 ) transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs	« (+8)+( + 56) + (+12) +(+ 965,12) »
2 ) faire la somme des valeurs absolues	(+(8 + 56+12 + 965,12) ) = =(+1041,12)
	x = -12+56-4+5,7 ; x = (+ 45,7 )
Rendre compte

Cas 2 : @ Chaîne d'opérations ou expression ne contient que des « moins »:

Exemple : « -8 - 56 -12 - 965,12 »

Procédure de calcul :

Procédure :	Exemple : « -8 - 56 - 12 - 965,12 »
1 ) transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs	« (- 8) +( - 56) + (-12) +(- 965,12) »
2 ) faire la somme des valeurs absolues	= (- (8 + 56+12 + 965,12) )= =(- 1041,12)
Rendre compte	x = -8 - 56 - 12 - 965,12 ; x = (-1041,12 )