Programme classe de 5ème.

 

 

DOSSIER : LES DECIMAUX RELATIFS Lici  liste des cours consacrés aux nombres décimaux

Vers le corrigé…

Pré requis :

Le nombre relatif dit aussi : nombre algébrique.

3D Diamond

Addition avec les décimaux ( non relatifs)

3D Diamond

L’expression et la  somme algébrique

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   warmaths

Objectif précédent :

1°) Les décimaux relatifs « notion »   Sphère metallique

2°) les nombres relatifs (cours vu en 6ème)

3°) Découverte d’addition avec des nombres relatifs (fiche de travaux ) .

Objectif suivant :

·        La soustraction de deux nombres relatifs. Sphère metallique

·        L’addition de deux nombres relatifs..

·       Calcul algébrique : « addition »

·       Cours niveau 5 : à atteindre en fin de 3ème

Tableau      Sphère metallique54

)Sommaire sur les nombres relatifs.

2°) exemple devoir

3°) autre devoir.

 

DOSSIER : Nombres relatifs : ADDITION  et soustraction de « RELATIFS » 

 

Fiche 1 : Les nombres relatifs : le nombre entier relatif, le décimal relatif, simplification, droite graduée….

 

 

Fiche 2 : Addition de deux nombres relatifs.

 

 

Fiche 3 : Propriétés de l’addition des nombres relatifs.

 

 

Fiche 4 :  Somme de plusieurs nombres relatifs.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pré requis : devoir de base

 

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

Résumé du cours

Devoir type à passer ; auto formatif

(entraînement)

 

 

 

 

 

 

Voir exercices ..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cette leçon est très très  importante ,  elle est une des bases fondamentales…

 

 

Le nombre relatif n’est pas qu’un « simple nombre », il ne devrait pas avoir de forme simplifiée !!!!

 C’est un nombre dit « nombre algébrique » ;

 

 

Voir info 1 : nomenclature sur les écritures numériques

 

 

 

Fiche 1 : Les nombres relatifs.

Sos :info 2  Complément sur ce qu’il faut savoir sur les nombres relatifs

 

 

 

A )  Les entiers relatifs :

 

En classe de 6ème , vous avez rencontré des entiers relatifs .

Exemples :

·       ( -9) ; ( ( + 11 ) ; ( 0 ) ; ( - 67 ) ; ( + 7 ) ; ( + 863)  sont des nombres entiers relatifs.

·       ( + 7 ) ; ( + 693) ; ( + 73 ) :  sont des entiers relatifs positifs . Leur signe est : ..+ ….

·       ( - 7 ) ; ( - 693 ) ; ( - 73 ) : sont des entiers relatifs négatifs . Leur signe est : ..- ….

·       « 0 » ( zéro) est à la fois « positif » et « négatifs ».

 

 

 

B ) L’opposé d’un nombre relatif.

 

 

 

 

§  ( - 8 ) et ( + 8 ) sont des entiers relatifs « opposés »  .

SOS : cours sur « opposé » d’un nombre 

 

 

 

On écrit ( - 8 ) = Opp. ( + 8 )

Lire :  «  ( - 8 ) est égal à l’opposé de ( + 8 ) »

 

On écrit ( + 8 ) = Opp. ( - 8 )

Lire :  «  ( + 8 ) est égal à l’opposé de ( - 8 ) »

 

 

Activité n°….

 

 

Complétez :

 

 

 

 

 

 

 

Opp. ( - 23 )  =

……( + 23)….

Opp. ( + 57 )  =

…( - 57 )..

Opp. ( 0 )  =

……( 0 )……

 

 

 

 

 

C) Simplification d’ l’écriture d’un entier relatif.

 

 

 

SOS :   Attention ! ce chapitre est donné au collège mais attention il faut savoir retenir qu’un nombre relatif est toujours composé d’un signe « plus » ou « moins » ,d’une valeur absolue  , dans des parenthèses)  

 

 

 

 

 

Ci-contre la représentation graphique des nombres entiers naturels..

nombres_relatifs001

 

 

Ci- dessous représentation des entiers relatifs.

 

 

nombres_relatifs002

 

 

Vous voyez que les entiers positifs occupent la même place que les entiers naturels.

§  C’est la raison pour laquelle on les confondra et on écrira par exemple … ( + 7 )  =  7  ( warmaths vous met en garde contre cette simplification…..) 

§  Dans le cas de « négatif » , si le nombre est seul, on peut ne pas mettre les parenthèses . Par exemple : on écrira  «  - 5 » à la place de « ( - 5) ». ( warmaths vous met en garde contre cette simplification…..) 

 

 

 

D : Les décimaux relatifs.

 

 

 

 

 

Voici des décimaux relatifs ( - 13 , 9 ) ; ( + 43 , 86 ) ; ( -  0, 0 5 ) ;…..

comme pour les entiers, on peut simplifier l’écriture : - 13,9 ; 43,86 ; 0,05

 

 

 

§  Tout nombre entier peut être considéré comme un nombre décimal.

Par exemple « 73 » peut s’écrire « 73,00 ».

De même ( + 47 ) peut s’écrire  ( 47 , 000) ou   47, 000 : 

Et  même :  ( - 5 ) peut s’écrire ( 5 , 0 )   ou   - 5,0

 

Donc tout entier relatif peut être considéré comme un : nombre décimal

Par la suite , on dira souvent « nombre relatif » sans distinguer entier ou décimal.

 

·       ( - 8 , 57 )  et  ( + 8 , 57)  sont deux décimaux relatifs …………………opposés….

 

 

 

Activités n°….

 

 

 

 

 

 

Opp. ( + 0 , 007 ) = …………

( - 0 , 007)

Opp. ( - 53, 29 ) = ……….

( + 53 , 29 )

 

 

 

Tout nombre relatif possède un opposé unique.

Comment   l’ obtient-on ?..........................................Il suffit de prendre le nombre relatif est changer  le signe + en -   ou  - en plus….

 

 

 

 

 

E : Droite graduée  ( simplifiée !!! attention danger )….

 

 

 

Sur la droite ci-dessous ,nous avons placé des points……..identifiés par des lettres……..

 

 

nombres_relatifs003

 

 

On dit que :

 

 

 

Forme simplifiée

Forme « normalisée »

 

Forme simplifiée

Forme « normalisée »

 

 

Le point « A » a pour abscisse :

4

( + 4 )

Le point « E » a pour abscisse :

2,3

( + 2,3 )

 

Le point « B » a pour abscisse :

- 2

( - 2 )

Le point « F » a pour abscisse :

-3,7

( - 3,7)

Le point « C » a pour abscisse :

1

( + 1 )

Le point « G » a pour abscisse :

-0,8

( - 0,8 )

Le point « D» a pour abscisse :

-5

( - 5 )

Le point « H » a pour abscisse :

5,6

( + 5,6)

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : Addition des nombres relatifs.

SOS cours exclusivement sur addition…

 

 

 

 

 

(@revoir les deux cours  traités en 6ème:@ cours 1 ; @ cours 2 ;.

 

 

Lorsque  vous aurez revu le cours vous devriez trouver les valeurs de la somme….

 

 

Opérations

On vous demande de calculer la :

Situation problème

 

( + 23 ) + ( + 12 ) = ………( + 25 )

Somme de deux nombres de signe « + »

Vous imaginez qu’un caissier reçoit 23 € , puis reçoit à nouveau 12 €

( - 19 ) + ( - 45 ) = …………( - 64 )

Somme de deux nombres de signe « - »

Vous imaginez qu’un caissier paie 19 € , puis paie à nouveau 45 €

( + 68 ) + ( - 41 ) = ………….( + 27 )

Somme de deux nombres de signe contraire.

Vous imaginez qu’un caissier reçoit 68 € , puis paie  41€

 

« 68 » est plus grand que « 41 » ; le signe « + » est le signe que possède  la  plus grande valeur numérique….

Le résultat  est un nombre relatif  qui a le signe du nombre relatif qui a la plus grande valeur numérique ;..et qui a pour valeur numérique la différence entre la plus grande valeur numérique moins la plus petite valeur numérique…ce qui donne :  (  + ( 68 – 41 ) )   = ( + 27)

( - 49 ) + ( + 35 ) = ………( - 14 ) .

Somme de deux nombres de signe contraire.

Vous imaginez qu’un caissier paie 49 € , puis reçoit  35 €

 

« 49  » est plus grand que « 35 » ; le signe « - » est le signe que possède la  plus grande valeur numérique….

( + 27 ) + ( - 89 ) = ………( - 62 )

Somme de deux nombres de signe contraire

Vous imaginez qu’un caissier reçoit 27 € , puis reçoit à nouveau 89 €

 

« 89  » est plus grand que « 27 » ; le signe « - » est le signe que possède la  plus grande valeur numérique…. :  (  - ( 89 – 27 ) )   = ( - 62)

( - 13 ) + ( + 45 ) = ………( + 32 )

Somme de deux nombres de signe contraire

Vous imaginez qu’un caissier paie  13 € , puis reçoit 45 €

 

« 45  » est plus grand que « 13 » ; le signe « + » est le signe que possède la  plus grande valeur numérique….

 

 

Dans tous les cas , pour trouver le résultat  ,  vous remplacez  chaque nombre positif par une recette et chaque nombre négatif par une dépense…….

 

 

 

Remarque 1  : on a utilisé des nombres entiers, mais on peut faire de même avec des décimaux…

 

 

 

 

 

Remarque 2 : porte sur le vocabulaire :  La « valeur  numérique » d’un nombre relatif porte le nom de «valeur absolue »

 

 

Exemples :

 

 

La valeur absolue de ( +23)  est

« 23 »

La valeur absolue de ( - 19 )  est

« 19 »

 

 

Activités n°…

Donnez la valeur absolue des nombres relatifs :

 

( + 12 )   à pour valeur absolue : 12

( + 68 )   à pour valeur absolue : 68

( + 35 )   à pour valeur absolue :….

( -13 )   à pour valeur absolue :….

( - 19 )   à pour valeur absolue :  19

( - 41 )   à pour valeur absolue : 41

( + 27 )   à pour valeur absolue :……

( + 45)   à pour valeur absolue :…..

( - 45  )   à pour valeur absolue : 45

( - 49 )   à pour valeur absolue : 49

( - 89 )   à pour valeur absolue :…..

( + 12, 6 ) à pour valeur absolue :….

 

 

 

 

Avant d’énoncer @ la règle de l’addition des nombres relatifs , vous pouvez retenir le schéma suivant.

 

 

 

 

 

A)    Les nombres ont le même signe :

 

 

 

 

On calcule la somme des valeurs absolues

Résultat

 

( + 3 ) + ( + 5 )

Le signe de la somme est « + »

3 + 5  = 8

( + 3 ) + ( + 5 )=  ( + 8 )

( - 3 ) + ( - 5 )

Le signe de la somme est « - »

3 + 5  = 8

( - 3 ) + ( - 5 )=  ( - 8 )

 

 

 

 

    B ) Les nombres sont de signe différent  (contraire).

 

 

( + 3 ) + ( -  5 )=  ……..

 5  >   3 ; le signe de la somme est celui de  ( - 5 ) , le signe  - (moins) ; d’où le calcul : 5 – 3 = 2  

( + 3 ) + ( - 5 )=  ( - 2 )

 

 

 

 

 

( - 4 ) + ( + 9 )=  ……..

4  <  9 ; le signe de la somme est celui de  ( +9   ) , le signe  +  (plus) ; d’où le calcul : 9 – 4 = 5  

( - 4 ) + ( + 9 )=  ( + 5 )

 

 

 

 

 

 

 

On retiendra : sur l’addition de deux nombres relatifs :

 

 

1°) La somme de deux nombres de même signe est égale à un troisième nombre relatif qui aura

-       pour              signe  :  le signe commun       

-       pour valeur absolue : la somme des deux valeurs absolues

 

2°)  La somme de deux nombres relatifs de « signe différent  » ;( un nombre de signe + l’autre de signe -   et inversement l’un de signe  - l’autre de signe  +)  est égale à un troisième nombre relatif  qui aura :

 

-      Pour  « signe »  : le signe du nombre relatif qui à la plus grande valeur absolue.

-     Pour valeur absolue:  La différence (soustraction *) des valeurs absolues; toujours la plus grande valeur absolue moins la plus petite valeur absolue.

 

 

 

 

 

 

Activités n°….

Effectuez les opérations suivantes .avec des entiers relatifs.

 

 

 

( + 28 ) + ( - 13 ) = ………

( + 15 )

( + 6 ) + ( + 23 ) = ……….

( + 29 )

( + 11 ) + ( - 11 ) = ………….

0

 

 

( - 24 ) + ( + 58 ) =……….

( + 34 )

( + 5 ) + ( - 17 ) = ……….

( - 12 )

( - 29 ) + ( 0 ) = ………

( - 29 )

 

( - 51 ) + ( - 36  ) = ………

( - 87 )

( 0 ) + ( + 19 ) = ………

( + 19 )

( - 37 ) + ( + 28 ) = ………

( - 9 )

 

 

 

 

 

 

Effectuez les opérations suivantes .avec des décimaux relatifs.

 

 

 

 

( + 18,37 ) + ( - 54,07 ) = ………

( - 35 , 70)

( - 53 ,80  ) + ( + 41,253 ) = ………

( - 12,547)

( - 0,09 ) + ( - 0,038 ) = ………

( - 0,128)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vocabulaire :

 

 

( + 7 ) + ( - 5 ) = ( + 3)

 

 

-      ( + 3 ) est la …somme….. de ( + 7 ) et de ( - 5)

-     ( + 7 ) et ( - 5) sont les ….termes … de la même somme.

 

 

L’opération correspondante s’appelle : …….l’addition

 

 

 

 

 

 

 

Info @ 1…….

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Propriétés de l’addition des nombres relatifs.

Sos -@ info +++

 

 

 

 

 

A ) la commutativité .

 

 

Calculez :  ( + 3 ) + ( - 7 ) = ……( - 4 )…….  Et     ( - 7 ) + ( + 3 ) = ……(- 4)….

 

Vous pouvez donc écrire :     ( + 3 ) + ( - 7 )      =    ( - 7 ) + ( + 3 )

Vous pouvez choisir d’autres nombres , vous constaterez toujours que la somme ne change  pas si l’on permute les termes .On dira alors :

 

 

A retenir :

« L’addition des nombres relatifs  est commutative »  , cela signifie :

Pour tous nombres relatifs  « a » et « b » , « a  +  b =  …..  b + a ……….»   

 

 

 

 

 

B)    L’associativité.

 

 

 

Activité : ………..Complétez :

 

 

 

      ( - 7 ) +

 

 

                    =            ( - 3  )         +  ( - 6 )  

                    =  ( - 9 )

 

=   ( - 7  )  +  ( - 2 ) 

=   ( - 9 )

 

 

 

 

 

 

Vous pouvez donc écrire : 
 =       ( - 7 ) +

 

 

 

 

 

Vous pouvez choisir d’autres nombres , vous constatez toujours que la somme ne change pas si l’on place différemment les parenthèses dans cette somme, on dira alors :

 

 

 

A retenir :

« l’addition des nombres relatifs est associative »   , cela signifie :

Pour tous nombres relatifs  « a » , « b » et « c » , «  ( a  +  b ) +  c =  …..  a + ( b + c)  ……….»

 

 

 

 

 

Puisque la place des parenthèses n’importe pas , on convient d’écrire la forme simplifiée  «  a + b + c » à la place de «   (a + b ) + c » ou  «  a + ( b + c ) » 

 

 

 

 

 

C ) L’élément neutre.

 

 

 

 

 

Calculez

 

 

( - 19 ) + 0  =………….

( - 19 )

0 + ( + 27 ) = …….

( + 27 )

( - 33, 49 ) + 0  = ………

( - 33, 49 )

 

 

 

 

 

A retenir

« 0 » est l’élément neutre pour l’addition des nombres relatifs . 

Cela signifie que :

Pour tout nombre relatif « a » ,   «  a + 0 = …a.. »    ;   «  0 + a = …a.. »

 

 

 

 

 

D ) L’opposé …  « unique »..

SOS. @Propriété utiliser pour transformer une égalité ou « résoudre une équation »..

 

 

 

 

 

Vous savez que  « ( + 7 ) »  et « ( - 7 ) » sont deux nombres relatifs …………………….opposés….. 

 

On écrit : Opp ( + 7 )  = ………………( - 7 ) …… et Opp ( - 7 ) = ……………( + 7 )….

 

( + 7 ) + ( - 7 ) = ……………0……………..donc  ( + 7 ) +   Opp ( +7) = …0……….

 

De même :         ( - 13,5 ) +  Opp ( - 13 , 5 ) = ……………0…….

 

 

 

A retenir :

Tout nombre relatif possède un opposé unique.

Pour tout nombre relatif « a » ,   «  a + Opp ( a ) = …0…. »

 

 

 

 

 

·       Inversement , on peut prouver que si la somme de deux nombres relatifs est nulle, alors ces deux nombres sont opposés l’un de l’autre.

 

 

A retenir :

Si «  a + b = 0 »  alors  « a = Opp ( b )  »  et «  b = Opp ( a ) »

 

 

 

 

 

Activité : n°…..

 

 

Calculez :

 

 

 

Opp ( Opp ( - 5 ) ) = Opp …(+5) …..= …….( - 5 )

 

 

 

Opp ( Opp ( + 4,9 ) ) =  Opp …( - 4,9)……. = ( + 4,9 )………

 

 

 

 

 

A retenir :

Pour tout nombre relatif « a » ,    Opp  =  a

 

 

 

 

 

Activité N°…….

 

 

Calculez :

 

 

A =

A = ( + 4 ) + ( - 9 ) + ( +11)= ( - 5 ) + ( +11)

A =  ( + 6 )

 

 

B = 

B =

B =  ( - 2)

 

 

C =  ( - 6 ) +

C = ( - 6 ) + ( + 2 )

C = ( - 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 4 :  Somme de plusieurs nombres relatifs.

Voir exercices ..

 

 

 

 

 

En principe, on ne sait pas calculer :  A = ( - 15 ) + ( + 28 ) + ( +37 ) + ( - 67) ,  on ne sait que traiter que deux nombres à la fois , ce qui permet de dire  que l’écriture  de « A » est la forme simplifiée ( par convention) de :

Par exemple :  

Poursuivez le calcul .

A = ……………………………………..= ………………………..=………………………..

 

 

;  ;  

 

 

 

Vous pouvez imaginer d’autres façons de placer les parenthèses, puis effectuez le calcul..

 

 

A =    …………………………( -15  )  [  ( ( +28 )+  ( + 37 ) )    + ( - 67 )  ]

Autre façon : A = ……………………………………..

 

 

 

Dans la pratique :

Etant donné une somme de plusieurs termes sans parenthèses , pour effectuer le calcul , on peut imaginer une succession de parenthèses et crochets comme dans la première façon.  Ceci revient à dire que l’on additionne le premier le premier terme avec le deuxième, le résultat obtenu avec le troisième et ainsi de suite jusqu’au dernier terme.

 

 

 

Activité n°…

Utilisez la méthode précédente pour calculer :

B = ( + 13 ) + ( - 17 ) + ( - 23 ) + ( + 43 ) + ( - 24 ) + ( + 53 ) = ……….. ………………………………

 

 

Autre méthode : Grâce à la commutativité et à l’associativité, on peut regrouper les nombres positifs d’une part et les nombres négatifs d’autre part.

Appliquez cette méthode  pour calculer « B » .

 

   =   ………….. + ……………..= ………….

 

 

 

 

 

Faites de même pour « C ».

 

C =  ( + 27 ) + ( - 53 ) + ( + 18 ) + ( + 45 ) + ( - 12 ) + ( - 23 ) + ( + 14 )

C = ………………………………………………………………………………………………………………….

 

 

 

 

 

Autre possibilité :

Il se peut que dans la suite  de nombres à additionner figurent des opposés.

On peut alors les regrouper de manière à faire apparaître leur somme qui est : ……..0……..

 

D =  ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) + ( + 9 ) + ( + 3 ) + ( - 4 ) + ( - 2 )

 

D =  [ ( + 3 ) + ( - 3 )  ] + [ ( + 2 ) + ( - 2 )  ] +[ ( + 4 ) + ( - 4 )  ] + ( + 9 )

 

D =     0                        +               0              +              0              + ( + 9 )

 

D =  ( + 9 )

 

Dans la pratique , on se contente de souligner les termes opposés..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nombres_relatifs004

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICES:   (en évaluation la calculatrice est interdite)

 CONTROLE

 

 

 

               a)  Combien y a t il de cas à traiter dans l ' addition des nombres relatifs?

 

             1°) citer la règle concernant l’addition de deux nombres positifs.

                    (donner le modèle mathématique)

 

              2) citer la règle  concernant l’addition de deux nombres de signe négatif.

                              (donner le modèle mathématique)

 

              3°) citer la règle de l’addition de deux nombres de même signe.

 

                        (donner les  deux modèles mathématiques)

 

               )citer la règle concernant l’addition de deux nombres de signe contraire.

                          (donner les deux modèles mathématiques)

 

               5°) Traduire  sous forme littérale les quatre égalités suivantes:

 

Règle 1 :      (+ Vabs..1)  +  ( + Vabs.2)    =     ( +   (Vabs1 +Vabsl2) )   = ( + Vabs. 3)

Règle 2 :     (- Vabs. 1) +   (- Vabs.2)        =     (  -   (Vabs.1. + Vabs..2))  =  (- Vabs.3)

Règle 3         ( + Vabs.1 ) +  ( - Vabs.2 ) =

               le troisième nombre  a  pour signe = ? (+ ou -)   (le signe du nombre qui à la  + grande Val. abs.)

              le troisième nombre a  pour (val. abs 3 )  =( + grande Val .abs.) -( + petite Val.abs.)

 

Règle 4 :     ( - Vabs1 ) +  ( + Vabsl.2)    = idem que ci dessus

 

6 ° )   Donner la procédure permettant de faire les calculs  dans une somme algébrique.

 

 

 

EVALUATION

 

 

 

 

 

Partie I:

        effectuer les opérations suivantes (donner les étapes)

a)   (+3) +(+8) =

b)  (-5)  + (-7) =

c)   (+9)  + (-4) =

d)   (-9) +(+3) =

e)  (+5) + (-7) =

f)   (-3) + (+8)  =

 

 

 

partie II:

Effectuer les opérations suivantes ,( à transformer ):

a)   -7,8 +6,9 =

b)   -7,5 –9,8  =

c)     +8  -25   =

d)   +9 +5,8    =

 

Partie  III

 idem que ci dessus:

 

a)           -9 +7 –11,1 +1,25 –18,2 =

b)       9 + 5,2- 12,7 – 3,8 + 13 –7,9 =

 

Partie VI:

donner sous forme relative la valeur de « x et y »:

 

    x =  12,5+18,7-1,87-15+4,2

 y =12,5+18,7-1,87-15+4,2+ -19.5 +8,05-1,75+96

 

EN PLUS:

 

Résoudre:

 12,5+18,7-1,87-15+4,2+  x = 0

12,5+18,7-1,87-15+4,2+ x   = -19,5 +8,05-1,75+96

 

 

Voir : exercices série 2

3D Diamond

 

VOIR SITUATIONS PROBLEMES : Factures, ou relevé de banque

(aller chercher des sujets dans des livres)

3D Diamond

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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