INFO :  la soustraction entre deux nombres relatifs  ne se fait pas , ne se calcule pas ; elle peut être posée mais, cette opération doit être  transformée en « addition » à condition que …...

I ) Définition. Différence de deux nombres relatifs.

II ) Calcul pratique de la différence de deux nombres relatifs.

III  )  Calculs avec plus de deux nombres relatifs.

IV ) Recherche de propriétés de la soustraction.

Rappel : Vous savez que «  7 – 4 = 3 »  ce qui signifie que   «  7 = 3 + 4 »

D’une manière générale « a » , « b » et « x » désignant des entiers naturels , (  )  ,    signifie que 

En s’inspirant de cette définition , on dira pour les nombres relatifs

I ) Définition. Différence de deux nombres relatifs.

Définition :

On appelle « différence » de deux nombres relatifs pris dans un ordre déterminé, le nombre relatif ( s’il existe ) qu’il faut ajouter au second pour obtenir le premier .

  signifie que 

Exemple : 

( + 5 ) - ( - 9 )  =   ( + 14 )   car   ( + 5 ) =  ( - 9 ) + ( + 14 )

La soustraction de deux nombres relatifs se reconnaît  par un signe    -      séparant deux parenthèses. :    

 Le modèle mathématique  est           (.....)  - (......) 

                   Exemples  d’exercices :     : (+3) - (+ 6) = ?             ou             5 - ( - 40 ) = ?

Ces  « soustractions »  vont devenir  par transformation des « additions »  : 

Exemples  d’exercices :   

 : (+3) - (+ 6) = ?      devient         (+3) + ( - 6 ) = ? 

et    5 - ( - 40 ) = ?   devient         5 +  ( + 40 ) = ?

Attention la soustraction    « 3 - 6 »      se transforme en addition de deux nombres relatifs    « (+3) + (-6 ) »

Cela revient à faire l ' inverse de la simplification d ' un nombre relatif ou d ' une somme de nombres relatifs )

     Commentaire: cela revient à rétablir ce qui a été  une simplification abusive .

Remarque importante :

La soustraction  entre deux nombres relatifs ne se fait pas ; il faut pourtant trouver une solution ,

il faut transformer ........................

Commentaire :  On ne sait faire  que des additions de nombres positifs et négatifs , il faut donc transformer la soustraction en addition ,mais pas n’importe comment ,il faut appliquer la procédure  suivante :

a)  on change le signe de l’opération  « - » en « + » 

b)   et l’on change le signe du nombre relatif  (« + » en  « - »      ou   le  « - »  en « + »  )

Exemples

II ) Calcul pratique de la différence de deux nombres relatifs.

Vous avez vu en  @classe de 6^ème  que   :  « a » et « b » étant des nombres relatifs  ,    

Par exemple  ( - 5 ) -  ( + 3 )  =  ( - 5 ) + ( - 3 )   =  (  - 8 )

Vérification :

D’après la définition ( - 8  ) doit être le nombre qu’il faut ajouter à  ( + 3 ) pour obtenir  ( - 5 ) .  Or , ( + 3 ) + ( - 8 ) =    ( - 5 )   , donc , ( - 8 ) est bien la différence  de ( - 5 ) et ( - 3 ) dans cet ordre.

Ø Puisque tout nombre relatif a un opposé unique , Opp ( b )  existe toujours et est unique et comme l’addition des relatifs est toujours possible et donne un résultat unique, alors « a – b » existe toujours et est  unique.

Règle :

La différence de deux  nombres relatifs ( pris dans un ordre déterminé ) est un nombre relatif qui existe toujours.

Pour le calculer , on ajoute au premier nombre  l’opposé du deuxième.

L’opération correspondante s’appelle : la soustraction des nombres relatifs.

Transformation d’une soustraction en addition de deux nombres relatifs :

REGLE :   Pour transformer une soustraction  de deux nombres relatifs en addition de deux nombres relatifs on dit : qu’ il suffit « d ’ ajouter »  au premier nombre relatif  « l’opposé » du second nombre  relatif .

Ce qui se traduit par l’écriture mathématique :

a - b  =  a + (Opp. b)

Traduction littérale : 

La soustraction de deux nombres  est égale à l’addition du premier nombre plus l’opposé du second nombre.( a et b étant des nombres relatifs )

Lorsque l’opération de transformation est faite ,nous avons à faire à l’addition de deux nombres relatifs  . (voir l’Objectif  DR1)

Exemples :

Calculer :

   (+3) - (+5)  = ?

Résolution :

on transforme la soustraction en addition :

     (+3) - (+5)  = (+3)  + opp (+5)  

On remplace  « opp (+5) » par   -5

       rappel : opposé de  (+5)  est   (-5) ;      SOS rappel  OPPosé d’un nombre

                           on transforme  - (+5) en   + (-5)  

on remplace :

  (+3) - (+5) par  (+3) + (-5)  

on effectue  l’addition :

 donc   (+3) + (-5)   = ( -2 )

Autre exemple :

Activités n°….

Calculez les différences suivantes en utilisant la règle :

( - 13 ) – ( +29 ) =

( - 13 ) + ( -29 ) =

( - 42 )

( + 17 ) – ( - 28 ) =

( + 17 ) + ( + 28 ) =

( + 23,7) – ( + 58,4) =

( + 23,7) + ( - 58,4) =

( - 34,7 )

( -  23,7) – ( - 23 , 7) =

( -  23,7) + ( + 23 , 7) =

0 – ( - 75 ) =

0 + (+ 75 ) =

( + 75 )

( - 3 , 7 ) – ( + 1,3 ) =

( - 3 , 7 ) +( - 1,3 ) =

( + 0,31 ) – (-  0,31) =

( + 0,31 ) + (+  0,31) =

( + 0,62)

( -  0,31 ) – ( 0) =

( -  0,31 ) + ( 0) =

( + 6,7) – ( - 2, 9 ) =

( + 6,7) + ( +2, 9 ) =

( + 9,6 )

( + 74 ) – ( + 35  ) =

( + 74 ) + ( - 35  ) =

( - 69 ) – ( - 45) =

( - 69 ) + (+ 45) =

( - 24 )

( - 2,8 ) – ( + 2,8) =

( - 2,8 ) + ( - 2,8) =

( + 57 ) – ( + 57 ) =

( + 57 ) + ( -  57 ) =

0

( -  57 ) – ( - 75  ) =

( -  57 ) +  ( + 75  ) =

III  )  Calculs avec plus de deux nombres relatifs.

III) Exemple :

Commentaire :

On reconnaît une chaîne d’opération de nombres relatifs ; contenant des additions et des soustractions .Nous devons transformer les  soustraction.

(-7, 5) - (+8,2) + (+3,8) - (-9,3) = (-7, 5) + (-8,2) + (+3,8) + (+9,3)

Nous sommes en présence d ’ une suite d’additions de nombres positifs et négatifs.

Nous allons regrouper les nombres de même signe :

(-7,5) + (-8,2) + (+3,8) + (+9,3)  =  (  (-7,5) + (-8,2) ) + ( (+3,8)+(+9,3) )

  On effectue  la  somme des nombres relatifs négatifs :

                                        (-7,5) + (-8,2) ) =   (-15,7)

On effectue  la  somme des nombres relatifs négatifs :

                                          (+3,8) + (+9,3)  =  (+ 13,1)

On peut écrire que

                                (-7,5) + (-8,2) ) + ( (+3,8)+(+9,3) =   (-15,7) + (+ 13,1)

 On calcule : 

                   (-15,7) + (+ 13,1)  = -  ( 15,7 - 13,1 )

 (-15,7) + (+ 13,1) =  (- 2,6)

Conclusion :

                     (-7,5) - (+8,2) + (+3,8) - (-9,3) = (- 2,6)

IV ) Recherche de propriétés de la soustraction.

Propriétés info ++

Activité 1 :

Ø Calculez :  ( - 27 ) -  ( + 13 ) = ( - 27 ) +   ( - 13 ) =  ( - ( 27 + 13 ))   =  ( - 40 )    ;

Ø  et calculez en inversant les termes : ( + 13 ) – ( - 27 ) =  ( + 13 ) + ( +27 ) =  ( + ( 13+27)) = ( + 40)

Vous constatez que    ( - 27 ) -  ( + 13 )     ( + 13 ) – ( - 27 )   ou   ( - 27 ) -  ( + 13 )     ( + 13 ) – ( - 27 )  

En conclusion la soustraction n’est pas « commutative ».

Activité 2 :

Ø Calculez  [  ( - 54 )  - ( - 36 )  ] – ( + 25 ) =  [  ( - 54 )  + ( + 36 )  ] – ( + 25 ) =  [  ( - 18 )  ] – ( + 25 ) =  [  ( - 18 )  ] + ( -  25 ) =  ( - 43 )

Ø et calculez :   ( - 54 ) -  [ ( - 36 )– ( + 25 ) ]  =  ( - 54 ) -  [ ( - 36 )+ ( - 25 ) ]  =  ( - 54 ) -  [( - 61 ) ]  =  ( - 54 ) +  [(+ 61 ) ]  =  ( + ( 61 – 54 ) )  = ( + 7 )

Vous constatez que : [  ( - 54 )  - ( - 36 )  ] – ( + 25 )   ( - 54 ) -  [ ( - 36 )– ( + 25 ) ]   

En conclusion :la soustraction n’est pas « associative ».

TRAVAUX  AUTO FORMATIFS :

CONTROLE

vocabulaire: traduire l’abréviation   « Opp . » 

Questionnaire:

1. Comment opère - t - on pour obtenir l’opposé  d’un nombre relatif négatif?

(.donner le modèle mathématique .)

2.comment opère  -  t - on pour obtenir  l’opposé d’un nombre relatif positif?

  (donner le  modèle mathématique )

3.Il est écrit que la soustraction de deux nombres  relatifs ne se fait pas ;il nous faut pourtant un résultat que faut-il faire ?

4.Pour transformer une soustraction  de deux nombres relatifs en addition de deux nombres relatifs que faut-il respecter impérativement ?

.5.Montrer le modèle mathématique de la transformation de deux nombres d’une soustraction en addition!

  6.Représentation graphique  des nombres  relatifs :

               sur une droite graduée   placez  un nombre   (exemple  +2,5)  et son opposé 

EVALUATION

Partie I :

1.  Faire les transformations suivantes:

       opp. (+5,3) =

        opp. (-6,7)  =

   2. Donner  l’opposé des nombres suivants:

       (+5,2)     ; (-78,9)  ;  (+  /  )   ;(   -   /  )   ; +  3 / 5   ; -  7 / 9 ;  -  ( 8/3  )

3.Transformer  les nombres suivants:

            -(+7,8)  =   +

           - ( -   9,3 ) =  +

* Représentation graphique:

        pour chaque exercice  (1;2;3)  placer  sur une droite graduée  le nombre et son opposé;on pourra remarquer la « symétrie » de chaque point et de son opposé par rapport à zéro.

4.Les opérations suivantes ne peuvent se faire  ,les transformer pour qu’un calcul soit possible:

a)       (+7,8)-(+7,8)=

 b)      (-7,8) -(-7,8) =

 c)       (+13,5)- (+4,72) =

 d)      (-78,5)-(+32,5)  =

5. Après  avoir transformées les opérations  précédentes ,effectuez les opérations .

NIVEAU II.

   Calculer  (en montant les étapes successives ):

       (+5,2) - (73,2)+ (23,8) = x

       - (-7,8) -(-25) -(-47) +(-32,5)  = y

       opp.(-5) - opp.. (+7)  +(+12)   =z

Niveau III : 

Calculer :

(-7.5) - (+8,2) + (+3,8) - (-9,3) = ?

montrer toutes les étapes de transformation.

Interdisciplinarités : 

Les vecteurs :

Recherche  par le calcul des coordonnées du vecteur  IA :     

  sur « x_i »   x_A  -  x _I  =  ( +2 ) – ( +3)  =  ( -1 )

  sur y_i   =    y _A  -  y _I =   ( + 1) – (  + 2) = ( -1)