Programme  4ème .

 

Classe de 4ème – 3ème collège.

 

Programme  3ème .

 

 

 

 

 

Allez vers le corrigé …

 

OBJECTIF :  savoir définir un bipoint

DOSSIER :  LES VECTEURS :

Pré requis:

Point : Pré requis : ce qu’est un point..................)

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

Plan , ligne , point : généralités  Sphère metallique

Objectif suivant :

1°) Le bipoint équipollent Sphère metallique

2°) mesure algébrique d'un bipoint  sur une droite.

3°) Vers le cours sur « translation et vecteur »

 

1°) Vecteur : présentation des objectifs.

Fiches 3ème :   La translation de vecteurs 

 

 

Fiche 1 : Translation.

 

 

Fiche 2 : Vecteur d’une translation.

 

 

Fiche 3 : Image d’un point par un translation.

 

 

Fiche 4 : Vecteurs égaux et parallélogramme.

 

 

Fiche 5 : Exercices.

 

 

Fiche 6 : Image d’une figure par une translation.

 

 

Fiche 7 :  Image de figures élémentaires par une translation.

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

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Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité                         Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Translation.

Info +++@ ++++

 

 

Activités :

vecteu_trans_001

 

 

Ci-dessus : On vous donne u figure « F »  et deux points « A » et « A’ ».

v Tracez la droite ( A A ‘) .

v Prenez du papier calque et calquez ( sans bouger) « F » , « A » et la droite  ( A A ‘).

v Passez au crayon gris , sur le calque, l’envers du dessin de « F ».

v Replacez le calque dans la position initiale et faîtes glisser suivant la droite ( A,A’ ) .

(La droite « A A’ » de votre calque doit rester sur la droite (AA’) de la feuille.)

Vous arrêtez de faire glisser quand le point « A » du calque arrive en coïncidence avec le point « A’ » de la feuille.

 

Dans cette position , vous décalquez que la feuille le dessin de « F » .

On dit que  « F’ » est l’image de « F » dans une translation.

 

Remarque : les figures « F » et « F’ » sont superposables.

 

 

 

 

 

v Pour pouvoir effectuer une translation déterminée , il faut connaître :

 

 

                         Dans la translation effectuée ci-dessus , la donnée du couple de points ( A , A’ ) détermine parfaitement cette translation :

 

 

 

Quelle est l’image de « A » dans cette translation ?      .. A’…..

 

 

 

 

 

Activité : Exercice :

 

 

Parmi les figures ci-dessous , deux d’entre elles se correspondent par une translation.

Comme il y a deux façons de les faire correspondre, précisez celle que vous choisissez en complétant :   …….à  pour image ……

Placez ( ci-dessous à gauche ) deux points « O » et « O’ » tels que le couple ( O , O’ )définissez cette translation.

Joingnez ces deux points par un segment fléché pour indiquer le sens de déplacement.

 

 

vecteu_trans_002

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : Vecteur d’une translation.

 

 

 

Reprenez la translation vu dans la fiche 1 .(on vous propose un corrigé)

On a marqué sur  la figure « F » les points « B » ; « C » ; « D » ;  «  E » .

Placez sur la figure « F’ » les points « B ‘ » ; « C’ » ; « D’ » ;  «  E’  » images respectives  de « B » ; « C » ; « D » ;  «  E » .

 Matérialisez par un trait rouge le déplacement de « B »  à «  B’ » lors du glissement du calque.

Faîtes de même pour les points « C » ; « D » ;  «  E » .

 

 

vecteu_trans_003

 

 

v Le déplacement du calque s’étant effectué suivant la droite ( A A ‘ ), les traits rouges que vous avez tracés sont donc portés par des  droites et toutes ces droites sont  parallèles à la droite  ( A A ‘).

Le sens de déplacement est la même pour tous les points , c’est celui de    F  vers F’

La longueur du déplacement est la même ^pour tous les points .

Donc les segments  [ BB’ ] ; [ CC ‘ ] ; [ DD’ ] ; [ EE’ ] ;   ont même  longueur      ; celle de  [ AA’ ] .

 

 

 

v « M » étant un point quelconque de « F » , « M » possède une image et une seule , appelons – la « M’ ».

On passe de « M » à « M’ »  de la même façon que l’on passe de « A » à « A’ ».

 

C'est-à-dire :

 

 

 

 

 

 

 

 

v La translation étant définie par  ( AA’), le vecteur est désigné par 

  se lit « vecteur AA’ ».     La flèche    signifie qu’il faut lire « vecteur »et indique le sens : celui de « A » vers « A’ ».

  et     ne désignent pas  le même vecteur puisque le sens n’est pas le même .

 

 

 

v La translation peut-être définie par  ( B ,B’ ) ; ( C , C’) ; ( D , D’) ; ( E ,E’) etc …. ( M ,M’)  donc  ;  ;  ;  ;  .. etc .. désignent le même vecteur    .

 

On peut donc écrire :   =   =    =    = 

 

 

 

A retenir :

 =   signifie    

 

 

 

 

 

 

Dessin représentant un vecteur :

 

 

Pour représenter graphiquement un vecteur , on dessine un segment fléché.

 

 

Par exemple :

La droite (ST) donne la direction du vecteur   .

La flèche indique le sens  du vecteur.

« T » est l’origine et  « S » l’extrémité du couple  ( T , S )

La longueur  de  [ TS] donne la longueur  (on dira « norme ») du vecteur.

 

vecteu_trans_004

 

 

 

 

 

v Il y a  une infinité de couple de points correspondant au même vecteur.

v Il y a donc une infinité de façons de représenter graphiquement un vecteur.

vecteu_trans_005

 

 

Notation :

On a désigné par    le vecteur correspondant au couple de points ( dit : bipoint) ( A , A’) , mais on peut désigner un vecteur par une seule lettre . On écrit par exemple :       ,     ,  ,    etc….

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Image d’un point par un translation.

 

 

 

Une translation est parfaitement déterminée par la connaissance de son vecteur. O dira alors :

 

 

A retenir :

Dans la translation de vecteur      , « M’ »   est l’image  de « M » signifie    = 

 

 

 

Activité 1 :

Activité 2:

 

 

Ci-dessous . Dessinez les images « A’ » ; « B’ » , « C’ » des points « A », « B » , « C ». par la translation de vecteur    

Ci-dessous . Dessinez les images « D’ » ; « E’ » , « F’ » des points « D», « E » , « F ». par la translation de vecteur    

 

 

vecteu_trans_006

vecteu_trans_007

 

 

Remarque :

Dans toute translation, tout point possède une image et une seule. ( expliquez pourquoi verbalement )

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 : Vecteurs égaux et parallélogramme.

@ Bipoints équipollents

 

 

«  A »  , « B » ; « C » ; « D » sont 4 points distincts non alignés.

 

Considérons le cas où les couples ( A , B ) et ( C , D ) représentent le même vecteur.

On a alors      =   

 

Vous savez que     =   

 

 

Cela   signifie :

vecteu_trans_008

 

 

 

 

 

v Considérons le quadrilatère « ABCD ».

           On vient de dire qu’il est non croisé.  Et qu’il a une paire de côtés …parallèles …..et de même longueur.. 

 

Donc , grâce à la propriété « 15 » ( leçon n°…démonstration parallélogramme…) ; « ABCD »  est un parallélogramme.

On dira alors  que     =    alors « ABDC »  est un parallélogramme.

 

 

 

v Inversement : démontrez oralement que :  si « ABDC » est un parallélogramme  alors    =   

 

 

 

 

 

Remarque :

Dans le cas «  A »  , « B » ; « C » ; « D » sont alignés , nous dirons que le quadrilatère  « ABCD »  est un quadrilatère aplati.

vecteu_trans_009

 

 

 

 

 

Théorème :

 

     =     signifie que  « ABDC »  est un  parallélogramme.

 

 

vecteu_trans_010

 

 

Attention : ne vous trompez pas dans la disposition des points :  « ABDC »   et non « ABCD ».

 

 

Activité 1:        =     signifie que  « HRPS »  est un  parallélogramme.

 

 

 

Activité 2:    

 

TNKF  est un parallélogramme.

Ecrivez 4 égalités de vecteurs.

vecteu_trans_012

 

 

 

 

 

Activité 3:    

JZYX  est un parallélogramme aplati.

 

Ecrivez 4 égalités de vecteurs.

 

vecteu_trans_013

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 :  Exercices.

 

 

 

Exercice 1 :

 

 

 

On donne 3 points « D » , « E », « F » et un vecteur  .

 

Placez  les images « D’ » , « E’ », « F’ » de « D » , « E », « F » dans la translation  .

 

1°) Nommez les vecteurs égaux à  .

2°) Nommez  3 parallélogrammes  ( expliquez  verbalement )

3°) Ecrivez 6 égalités de vecteurs.

( ces vecteurs n’ayant pas la direction de  .)

 

vecteu_trans_014

 

 

Exercice 2 :

 

 

Ci-contre : voici un triangle « ABC » .

« M », « N » , « P » sont les milieux respectifs de [ BC ] , [ CA ] , [AB ] ,

En utilisant les noms des points «  A ; B ; C ; M ; N ; P ».

 

1°) Nommez tous les parallélogrammes de la figure.

 

2°) Ecrivez toutes les égalités de vecteurs.

 

vecteu_trans_015

 

 

Exercice 3 :

 

 

Voici , ci-contre, quatre points distincts « G ; H ; I ; J ».

 Dans la symétrie de centre « I » , « G » a pour image « K » ; « H » a pour image « L ».

 

Dans la symétrie de centre « J » , « G » a pour image « R » , « H » a pour image « S ».

1°) Complétez la figure.

 

vecteu_trans_016

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : Image d’une figure par une translation.

 

 

 

En utilisant le quadrillage ( mais pas le calque)

 

 

Dessinez l’image de la lettre « F » dans la translation .

Dessinez l’image de la figure ci-dessous dans la translation

 

vecteu_trans_017

vecteu_trans_018

 

 

 

 

Fiche 7 :  Image de figures élémentaires par une translation.

Info +++ sur ces translations

 

 

 

Vous venez de déterminer intuitivement l’image d’une figure par translation dans le plan quadrillé.

Vous avez pu constater comme on l’avait dit dans la fiche 1 que toute figure et son image sont superposables.

Vous allez le confirmer dans les 3 différents cas ci-dessous. En déterminant l’image de la figure donnée dans la translation de vecteur donné.

Pour cela vous pouvez construire l’image de quelques points de la figure.

 

 

 

 

 

Droite et demi-droite

Triangle

Cercle

 

vecteu_trans_019

vecteu_trans_020

vecteu_trans_021

 

Ce que vous venez de constater, il est possible de le démontrer , nous dirons alors :

 

 

 

Théorème 33 :

Dans toute translation ,

-        L’image d’une droite est une  droite   .  La droite et son image sont parallèles.

-        L’image d’une demi- droite est une  demi- droite   .  de même sens.

-        L’image d’un segment est un  segment   de même norme (longueur)..

-        L’image d’un angle  est un  angle    de même mesure.

-        L’image d’un cercle   est un  cercle     de même rayon.

-        Toute surface et son image ont la même aire.

 

 

 

 

 

Fiche 8 : Situation problème. ( d’après le sujet donné au brevet en 1987 Caen)

 

 

 

 

 

On donne un cercle de  centre « O ».

[ AB ]  est un diamètre et  « M » un point du cercle.

 

1°) Quel est la nature du triangle « AMB » ? (justifiez la réponse)

 

2°) On considère la translation du vecteur OM.

Construisez les points « A’ » ; « B’ » ; « M’ » image de « A ; B ; C »

Quelle est l’image de « O » par cette translation ?

3°) Quelle est la nature du quadrilatère « ABB’A’ » ? (justifiez votre réponse )

vecteu_trans_022

 

 

4°) Démontrez que « AM’B’ » est un triangle rectangle.

 

 

 

 

 

Fini le 9/1/2015.

 


 

 

 

 

 

TRAVAUX  FORMATIFS  « BIPOINT »    : Refaire toutes les fiches .

 

  CONTROLE:

 

 A )  Pré requis :traduire : (  C D )   ;   [  C  D ]    ; (  C , D )

 

B) Répondre aux questions suivantes :

)Donner la définition d'un bipoint.

 

)Donner la représentation mathématique « symbolique » d'un bipoint .

 

)Que signifie (A,B) ?

 

)Que représente (dans les cases se trouvent des lettres majuscules):

 

     (, )

 

)Donner la représentation graphique d'un bipoint.

 

)Qu'est ce qui est important dans la représentation ,symbolique (écriture) d'un bipoint.

 

7°)" (AB) ";traduire en langage littérale .

 

)Quel nom donne t - on à la droite passant par  le point "A" et "B"?

 

)Si dans un bipoint ,les deux points sont confondus ,que faut-il conclure?

 

10°)Deux bipoints sont égaux si ......

 

11°)A quoi est égal le milieu d'un bipoint?

 

12°-)Traduire en langage littéral:  (A,C)

 

13°)Traduire en langage littéral:    (A,B) = (C,D);quelle conclusion peut-on en tirer?

 

 

TRAVAUX  FORMATIFS :    EVALUATION:

 

I)Soit deux points situés dans un plan :

 

                   +  E

 

      + D

 Nommer tous les bipoints.

 

II)Soit quatre points du plan  (P)

 

 

        +  C

                               + D       

 

   F +                  G  +         

 

   a)Ecrire tous les bipoints formés par ces 4 points.

 

   b)Combien y - a -t- il de supports distincts?

 

   c)Sur le plan  « P » ,  Placer le point « F » et  le point « F‘ » pour que  (F,F’ ) soit nul .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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