Fiches sur les inéquations du premier degré à une inconnue au collège classe de 3ème ; corrigé

CORRIGE

Fiches de travail : Premier degré « INEQUATIONS à une inconnue  » au collège 3ème

Programme classe de 4ème

 

 

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Pré requis:

Inéquation ou inégalités (définitions)

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Les Segments et droites graduées

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Les intervalles

3D Diamond

Les demi droites

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent :

 

1°) les inégalités  

2°) L’ensemble des R  (les inégalités)

 

Cours sur les inéquations du premier degré.

Objectif suivant :

 

1°) Suite +++

)Inéquation du premier degré à deux inconnues  

3°) Résoudre un système de deux équations du premier degré  à une inconnue.

  1.  Info : liste des cours d’algèbre
  2. Résumé : algèbre.
  3. Liste des cours sur les inégalités et inéquations.
  4. Liste des cours sur les systèmes.

DOSSIER :

 

 

Fiches de travail : premier degré « INEQUATIONS à une inconnue  » au collège 3ème

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Problème (exemple)

 

 

Fiche 2 : Résolution d’inéquations du premier degré à une inconnue.

 

 

Fiche 3 : Exercices de résolution d’inéquations.

 

 

Fiche 4 : Cas particuliers.

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs .

 

 

Corrigé à faire

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

  systèmes                      Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

Fiche 1 : Problème.

 

 

Un  loueur en bord de mer  propose deux formules de location à la journée  de voitures à pédales ( pour 4 places)  , pour se promener sur un circuit touristique :

 Option A : 40 €  par la location d’une voiture.

 Option B : Abonnement de  150  € par an et 25 €  par jour de location d’une voiture  .

 

1°) Complétez le tableau correspondant à un abonnement d'un an.

 

 

 

 

Nombres de films loués

0

2

5

12

20

 

 

Dépense avec l’option « A »

 

 

 

 

 

 

Dépense avec l’option « B »

 

 

 

 

 

 

 

 

2°)   En appelant «  » le nombre de jours de location en un an :

 

 

 

Exprimez en fonction de «  » la dépense  ( en € ) avec la formule « A ».

 

 

 

 

 

Exprimez en fonction de «  » la dépense  ( en € ) avec la formule « B ».

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) Pour quel nombre de location de voiture  la dépense est-elle la même pour les deux formules ?

 

 

 

Dans ces conditions , on doit avoir : 

 

 

 

 

 

Vous êtes en présence d’une équation du premier degré à une inconnue  ; A vous de la résoudre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Réponse : La dépense est la même pour les 2 formules pour  ….10 locations .

 

 

 

 

 

4°) Pour combien de locations la formule « B » est-elle plus avantageuse que la formule « A » ?

 

 

 

(Conseil : il faut chercher pour quelles valeurs de « x » la dépense avec la formule « A » est supérieure à la dépense avec la formule « B ».)

 

 

 

 

 

C'est-à-dire      ; Vous êtes en présence  d’une inégalité .

 

Faisons un essai  avec 11 locations :  

 

 

 

 

 

Tout nombre mis à la place de « x » pour lequel l’inégalité  correspondante est vraie est appelé « solution » de l’inéquation.

 

 

 

·       En utilisant le tableau de la première question , donnez des solutions : …………> 12  …………On demande à partir de combien de jours de location la solution « B » est-elle interessante..…..

Résolvez une inéquation c’est trouver toutes les solutions de cette inéquation.

 

 

 

 

 

·       A vous de résoudre cette inéquation (comme vous l’avais appris en classe de 4ème )

 

 

 

 

 

 

 

              Réponse : La formule « B » est plus avantageuse  que la formule « A » dès que le nombre de jours loués est strictement supérieur à « 11 » .

 

 

 

 

 

5°) On dispose de  325 € , quelle  est la formule qui permet de louer la plus  grande nombre de jours . Justifiez votre réponse.

 

 

 

 

 

Résoudre : 

 

 

 

 

 

 

La solution « A » est la solution à retenir.

 

 

 

 

 

6°) La direction du magasin de location propose de remplacer la formule « B » par la formule « C » .

 

 


 

 

 

Fiche 2 : Résolution d’inéquations du premier degré à une inconnue.

 

Info :pré requis sur les transformations d’une égalité..

 

 

Exemple 1 : Résolvons l’inéquation «   » d’inconnue « ».

En imaginant que « u » représente une solution de l’inéquation, on est en présence d’une inégalité .

ON peut donc lui appliquer les règles de la leçon « …… » fiche 4 …..

 

 

 

Ajoutons « 8 » aux deux membres  , on obtient : «   »

 

Et après simplification , il reste : «   »

 

Ajoutons  « 5 u » aux membres  , on obtient :  «   »

 

Et après simplification , il reste : «   »

 

 

 

Remarque :

Vous constatez que tout revient à « transposer » « - 8 »  et « -5u » ( en changeant de signe ).

 

On a donc la même règle de transposition que pour les équations.

 

 

 

Ø Grâce à la règle de la leçon (fiche 5 )  , on peux diviser les deux membres par « 8 ».

 

     a les mêmes solutions que  «    c'est-à-dire  «   »

 

 

 

 

 

L’inéquation obtenue : «   » et l’inéquation  donnée ont les mêmes solutions.

Ce sont les nombres inférieurs ou égaux à  «  1,5 »

 

 

 

Représentation graphique des solutions :

inegal_002

 

 

 

 

 

Exemple 2 :

 

Résolvons  l’inéquation  «  » d’inconnue «  ».

 

Explique pourquoi (verbalement ) on ne change pas les solutions en développant.

 

On obtient :  «  »

 

En raisonnant comme à l’exemple précédent ( n°1) , on peut transposer  «  » ; «  » et «  »  ;

 

 

 

On obtient : «  » ;

«  » ;

«  » ;

« » ;

«  » ;

« » ;

« »

 

 

 

Ø Grâce à la règle de la leçon (fiche 5 ) , on peut diviser les deux membres par « -5 » .

 

Mais attention ! « -5 » est négatif , on obtient alors une inégalité de sens .. opposés … »

 

«   » a les mêmes solutions que «   »  , c'est-à-dire «   »

 

 

 

Les solutions de l’inéquation donnée  sont les nombres strictement inférieurs  à  «  »

 

 

 

Représentation graphique des solutions :

inegal_003

 

 

 

 

 

Exemple 3 :

 

 

 

Résolvons l’inéquation : «   »  d’inconnue « y » .

 

 

 

Multiplions les deux membres par le dénominateur commun le plus petit possible : « 12 »

Info @ sur le PPDM

 

 

Et développons , on obtient :

 

 

 

 

 

 

 

 

On multiplie tous les termes par « 12 »   :

 

 

 

 

 

Et après simplification , on obtient :         

 

 

A vous de terminer :

 

 

            ;   ;       ;    ;    faites la vérification : remplacez « y » par « 3,9 » et observez le résultat.

 

 

 

 

 

Représentation graphique :

inegal_004

 

 

A faire ……………….

 

 

 

 

 

Méthode de résolution des inéquations du premier degré à une inconnue :  

Info @ sur ++++

 

 

 

 

 

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue , on écrit une succession d’inéquations ayant les mêmes solutions jusqu’ à ce que l’on trouve une inéquation de la forme :  x > k     (ou   ) .

 

Dans la pratique , on utilise les règles c- dessous qu’il est possible de démontrer en utilisant les propriétés ( de la leçon @@ )

 

 

 

 

 

Règles :

 

Etant donné une inéquation , on obtient une inéquation ayant les mêmes solutions  en :

 

-        En transformant l’écriture de chaque membre individuellement .

-        En ajoutant ou retranchant un même nombre (ou terme) aux deux membres.

( ce qui revient à transposer un terme en changeant de signe )

-        En multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre strictement positif.

-        En multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre strictement négatif  , sans oublier de changer le sens de l’inéquation.

 

 

 

 

 


 

 

Fiche 3 : Exercices de résolution d’inéquations.

Info ++ sur d’autres exercices ou situations problèmes .

 

 

 

 

 

Exercice 1 :

 

 

Résolvez l’inéquation : 

 

 

Faire dans l’ordre :

 

 

 

-        Développez :

 

 

 

-        Transposez :

 

 

 

-        Réduisez les termes semblables

 

 

 

-        Divisez les deux membres par :

 

 

 

-        Donnez la représentation graphique des solutions :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2 :

 

 

Résolvez l’inéquation         

 

 

 

Multipliez les deux membres par le dénominateur commun qui est :  10

 

 

Et développez :

 

 

 

 

 

 

 

Simplifiez :

 

 

 

Développez :

 

 

Transposez :

 

Réduisez les termes semblables

 

Divisez les deux membres par :

 

Donnez la représentation graphique des solutions :

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 3 :

 

 

Résolvez l’inéquation suivante d’inconnue « x » ( à faire au brouillon )

Ecrivez les solutions , et faites la représentation graphique des solutions.

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 4 :

 

 

Résolvez l’inéquation suivante d’inconnue « x » ( à faire au brouillon )

Ecrivez les solutions , et faites la représentation graphique des solutions.

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 5 :

 

 

Résolvez l’inéquation suivante d’inconnue « x » ( à faire au brouillon )

Ecrivez les solutions , et faites la représentation graphique des solutions.

 

 

 

 

 

 


 

 

Fiche 4 : Cas particuliers.

 

 

 

 

 

 

Exemple1 :  Résolvez l’inéquation : 

 

 

 

 

 

Développez :

 

 

Transposez :

 

Réduisez les termes semblables :

 

 

 

 

Quel que soit  le nombre «  » ,  L’inégalité   est vraie .

 

Tous les nombres sont donc solutions de l’inéquation.

 

 

 

 

 

Exemple  2 :  Résolvez l’inéquation : 

 

 

 

 

 

Développez :

 

 

Transposez :

 

Réduisez les termes semblables :

 

 

 

 

 

Quel que soit  le nombre «  » ,  L’inégalité   est . …….. .

 

 

 

L’inéquation . ……………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

Activités :

 

 

Donnez les solutions des inéquations d’inconnue «  » ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fin le 11 / 10 /2015

 

 

Suite voir : Les systèmes d’inéquations à une inconnue.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS

 

CONTROLE :

 

Dans une inégalité si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif que faut – il faire impérativement ?

 

 

EVALUATION :

EVALUATION

Devoir :   (corrigé dans le cours)

 

Exercices

solution

1-

2x < 23,4

 

2-

-1,5 "e 69

 

3-

3 ( x + 1 ) "e x - 2

 

4-

> 4

 

 

Série 2 :

 

Résoudre les inégalités suivantes :

Rendre compte de trois façons différentes.

   4 x < 10

 

  - 2 x £ 5

 

3x – 3 > 5x -5

 

3x – 5 > x + 4

 

2x -< x +  

 

4x + > x + 4

 

Série 3.

 

 

Résoudre :

Résolution

1-a

 5x – 7  <   1

 

1-b

-2x + 2 < 5,7

 

1-c

8 ( 6x + 3) > 2x

 

1-d

 

 

 

Réponses :  x "d     ;  x "e 1,5 ;  x  >  ; x >

 

 

Résoudre le système suivant :

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

1°)  Démontrer que la moyenne géométrique de deux nombres est toujours inférieure à la moyenne arithmétique de ces deux nombres.

 

 

 

2° ) Démontrer que la moyenne arithmétique de deux nombres est comprise entre ces nombres.

 

ACTIVITE Niveau 3e :

 

 (Pré requis : @ les équations du premier degré et   @ les inégalités triangulaires ,et accès au corrigé)

 

Données : 

ABC est un triangle dont les côtés ont  pour mesure ( en cm).*

AB = 3x ; BC = 6 ; CA =  2x+1

Dans lequel « x » représente un nombre strictement positif.

 

1°)  faire la figure dans le cas où « x » = 1,5

 Placer [ BC ] ; puis AB =  « ……… » ; CA = « …….. ». 

2°) Pouvez- vous dessiner le triangle quand «x = 8 » ?

 

Commencer par calculer les  côtés : AB =  …….. ; CA = ……..

 

2°) Déterminer les valeurs de « x » pour lesquelles le triangle existe ( sans être aplati). Le triangle existe à condition que la longueur de chaque côté soit strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

 

 - AB < BC + CA   se traduit par   3x < 6 + 2x +1 ; en transposant on obtient

               3 x - 2x < 6 + 1 ; c’est à dire   «   x <  …….»   

 

- BC <  CA + AB   se traduit par   6 <  ……………..   ; en transposant on obtient

               6 - 1< 2x + 3x  ; c’est à dire   «   5 <  ………. »   

et en divisant les deux membres par « 5 » on obtient :        ……… <  x

 

- AC < AB + BC    se traduit par   2x +1 <  …………….   ; en transposant on obtient

               1 - 6 <   ………..  ; c’est à dire   «   - 5 < x »   

Ce qui est toujours vérifié puisque « x » est positif par hypothèse.

-        En définitive le triangle existe quand  1 < x et x > 7 c’est à dire  …..….. <  x  < ……

4°) Pour quelle valeur de « x »le périmètre du triangle est-il égal à 32 cm ?

 

5°) Pour quelle valeur de « x », le triangle est -il isocèle ?

 

- de base [ BC]    ;    AB = CA

 

- de base [ BC]      

 

6°)

- Pour quelle valeur de « x » ; CA = 2 AB ? 

 

- Pour quelle valeur de « x », CA = 2 BC ?

 

-        Pour quelle valeur de « x » ; CA = AB ?

 

7°) Se peut -il que le double de AB  soit égal au triple de AC diminué de la moitié de BC ?

 

 

Résoudre les inéquations suivantes :

 

1°)  Résoudre l’inéquation  3x – 5  2 x + 8

2°) Résoudre l’inéquation  7x + 4  4 x + 19

3°) Résoudre l’inéquation  2x – 8  <   x – 7

 

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