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Auteur :
WARME R.
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NOM :
……………………………… |
Prénom :
………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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16 / 26 |
DOC :
livre Elève .Cours interactifs - et travaux + corrigés. |
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DOSSIER N°16 : Cours INTERACTIF |
Information « TRAVAUX » d ’ auto
- formation |
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Objectifs de ce cours : - Savoir identifier un axe de
symétrie. - Savoir construire l’image d’une figure géométrique simple par : la symétrie centrale. La
Symétrie orthogonale. |
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I
) Pré requis:
Lectures importantes : |
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II ) ENVIRONNEMENT
du dossier : |
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Objectif
précédent : |
Objectif suivant : |
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III ) LECON n° 16 :
LES SYMETRIES CHAPITRES |
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IV) INFORMATIONS « formation leçon » : |
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Travaux auto -
formation. |
Interdisciplinarité
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Corrigé des travaux
auto - formation. |
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Contrôle |
évaluation |
voir
cas par cas ! !Cliquer ici : Voir
l’es symétries en architecture . |
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Des contrôles et évaluations sont proposées dans les "info
plus" de chaque chapitre. Un devoir de synthèse peut
être donné en prenant des exercices dans chaque partie des informations
supplémentaires. V )
DEVOIRS ( écrits): |
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* remédiation :
ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une
formation . |
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Leçon |
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N°16 |
L ' axe de symétrie
et SYMETRIE CENTRALE ;
« orthogonalité » , « centre de symétrie » et SYMETRIE ORTHOGONALE |
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CHAPITRES |
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Ne pas confondre symétrie centrale
et symétrie orthogonale
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Symétrie
centrale : le point est centre de symétrie. |
Symétrie orthogonale : la droite qui sépare les
figures est axe de symétrie. |
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F’ |
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Imaginer la figure F liée au centre ; F’ est la
position de F après une rotation de 180° , ( penser au manège) |
Reproduire avec une feuille de calque et constater qu’après pliage (
suivre l’axe de symétrie ) et remarquer que les deux figures se superposent . |
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Par
définition : la
bissectrice et la médiatrice sont appelées aussi :
« axe de symétrie » : uLa
bissectrice est l' axe de symétrie d'un angle |
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v La médiatrice
d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment .
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w Lorsqu'une figure est conservée par une
symétrie orthogonale d ' axe ( D ) , elle admet cette droite ( D ) comme axe de symétrie .
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² On dira que : Dans
une symétrie orthogonale par rapport à une droite « delta » , la
droite « delta » est appelée « axe de symétrie » Activité : Joignez les points pour obtenir le « symétrique : F’ » de la figure « F » .
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u
centre de symétrie entre deux points : Activité
:
Avec une règle tracer une
droite passant par M et O . a) Mesurer la distance [MO] avec un compas
. b) Reporter le point "N" tel que
"O" soit le milieu du segment [MN].
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Commentaire : On dit que les deux points M et N sont symétriques par rapport au
point O lorsque le point O est le milieu du segment [MN]. |
Résultat : Le point "O" est le centre de
symétrie ; le point "N" est l ' image du point
" M" dans la symétrie
de centre "O" . |
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vLe
centre de symétrie de figures
géométriques : |
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le centre
du cercle est centre de symétrie |
le centre
du cercle est centre de symétrie du polygone. |
Parallélogramme ( et
losange –rectangle- carré) . Le point de rencontre des diagonales est centre
de symétrie. |
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w
le centre de symétrie d’une figure quelconque « F ». « O »
est le centre de symétrie ; observer la figure , et constater qu‘il faut décomposer la ligne en une
« infinité » de points qui font individuellement l’objet
d’une symétrie centrale .
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III
) TRACES des éléments de base en SYMETRIE CENTRALE. |
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1°)
Savoir tracer le symétrique d’un point par rapport à un autre point . Activité : Construire « P », le symétrique de M par rapport à
"O" Procédure : tracer une
droite passant par M et 0 .
Avec un compas , prendre l’écartement
de O à M , conserver la pointe
en 0 et tracer un trait
coupant la droite , à l’opposé de M , pour obtenir le point P ; tel que le point "O" soit le
milieu du segment MP.
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2° ) Savoir construire le symétrique du
segment AC , noté [AC ] par rapport à
"O". Procédure
: - Construire le
point "A ' "
avec la règle et le compas ;
tel que le point "O" soit le milieu du segment A A '. -
Construire le point "C '
" avec la règle et le
compas ; tel que le point
"O" soit le milieu du segment CC '. -
Tracer le segment A ' C ' . ( noté [A’C ’]
) On dira que
: le segment [A ' C ' ] est appelé le symétrique du segment [A C ] l Remarque :
si le point B appartient au segment AC ; on remarquera que le
point B’ appartient au segment A’ C’ . L’alignement des points est
conservée . |
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Activité :
tracer le symétrique de [ AB ] par rapport au point O . ? Vérification : On peut vérifier qu’il y a parallélisme entre les segments
et qu’ils sont de même longueur : Il faut vérifier que [A ' C' ] est
parallèle à [A C ] . Rappel de 2 méthodes qui permettent de vérifier si deux côté sont parallèles : i
1 : si C , A
, C’, A’ forment un
parallélogramme , le point
« O » est le point
d’intersection des diagonales , elles se coupent en leur milieu . On
vérifie si A O =
OA’ et si CO = O’ C’ i
2 : Méthode :
Un bord de l'équerre coïncide avec la droite " d 1";
On fait glisser l'équerre sur la règle (qui conserve une direction fixe ) en
passant de (1) à la position ( 2). Les
droites "d1" et " d2" matérialisées
par le bord de l' équerre sont parallèles si
la droite " d 2" coïncide avec le bord de l'équerre
.
et l’on vérifie avec le compas que les longueurs
A'C' et AC sont égales. Puisque dans un parallélogramme les côtés doivent être parallèles et égaux deux à deux
,
on vérifiera que les côté A C’ et C A’
sont // et de même longueur . ·
Pour faire la symétrie centrale d’une droite on fait la symétrie d’un de ses segments : A _ : la symétrie de la droite ( A C ) , droite portant le segment AC , est la droite ( A ' C ' ) , droite
portant le segment A' C' . 3 ° ) Savoir
construire le symétrique de
l'angle par rapport à un
point :
( voir CD ) · Le point A ’ et les demi - droites y’ A’ et
x’ A’ forment le symétrique de
l’angle de sommet A par rapport
au point q .
Procédure : On nomme 3 points : le sommet "B" et l'on place un
point " A" et "C"
sur chaque demi - droite . (pour former
l'angle
-
Construire le point "A ' "
avec la règle et le compas ; tel que le point "O"
soit le milieu du segment A A '. -
Construire
le point "B ' "
avec la règle et le compas ;
tel que le point "O" soit le milieu du segment B B '. -
Tracer
le segment A'B' . -
Construire
le point "C ' "
avec la règle et le compas ;
tel que le point "O" soit le milieu du segment C C '. -
tracer le segment B'C'
· On
dira que : le segment [B'
A' ]
est appelé le symétrique du segment [A
B ] , On dira que : le segment [B' C'
] est appelé le symétrique du
segment [BC ] . Les deux segments [B' A' ]
et [B' C' ] ont un point
commun B' , ils forment l'angle ·Vérification : Il
faut vérifier , à l'aide du compas , que les angles Vérification de l' égalité des deux angles trois solutions immédiates sont possibles : j
soit par mesure à l’aide du rapporteur . k
soit par comparaison
à l’aide d’un transparent ou calque : lsoit
par comparaison avec un compas.
Rappel
de la méthode du compas : On
trace les arcs de cercle ( 1) et ( 2) de centre B et B' respectivement de
même rayon .
On
règle l'ouverture du compas AC ; en conservant la même ouverture , on déplace le compas
sur A'C' . Si AC = A'C' , les deux
angles ont la même mesure. 4° ) Savoir
construire le symétrique du polygone à trois côtés ( triangle) par rapport à un point
"O".( voir Cd)
la procédure utilisée pour construire la
symétrie de l’angle est la même que celle qu’il faut mettre en œuvre pour le
triangle : Il faut faire la symétrie de chaque point (sommet) et joindre
à la règle ces points . Application : On construit les points A' ; B' et C'
symétriques de A ; B et C par rapport
à "O" et l ’ on trace le
triangle A' B'C'
On dit aussi que l’on fait le
symétrique de chaque segment , qui compose la figure . Activité :
tracer le triangle A ‘ B ‘ C ‘ en
symétrie centrale par rapport au point
O .
N !
On vérifiera à l'aide du
compas que les longueurs et les mesures des angles sont conservées dans la
symétrie . 5° ) Construire le
symétrique du cercle par rapport à
"O"
( voir CD )
Procédure : Construire les points A' , B' C' et N' , symétriques
de A,B,C et N respectivement par rapport à "O" . Tracer le cercle (
C ) de centre N' et de rayon N'A' . On
peut constater que ce cercle passe aussi par les points B' et C' .
On peut ajouter d’autres points ! Pour construire le symétrique d'un cercle
il suffit de construire le symétrique du centre et celui d'un point
quelconque du cercle par rapport à
zéro . Alors avec un compas on trace le cercle symétrique de rayon R
= R ’ = OA = OB ; …… Après avoir observé les tracés précédents
: On retiendra : |
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Par une
symétrie centrale de centre
"O" : -
l'image
d'un segment est un segment parallèle
et de même longueur . -
l'image
d'un angle est un angle de même mesure
. -
l'image
d'un polygone est un polygone de mêmes
dimensions. -
L'image
d'un cercle est une cercle de même rayon . La symétrie centrale conserve les longueurs et
les angles . |
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Définition :
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Quels que soient la
droite D et le point A ,non situé sur « D » , il existe
dans le plan défini par « A » et « D » une droite D et une seule contenant le point « A » et
elle est dite
« orthogonale » à la droite « D » . |
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Remarque :
Deux droites orthogonales coplanaires ( dans
un même plan
) sont dites perpendiculaires. |
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Par
M , on trace une perpendiculaire à D
avec une équerre . |
Si M ’
est la projection orthogonale de M alors la droite passant par MM’ est
perpendiculaire à la droite D |
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IV
) ) TRACES des éléments de base en SYMETRIE ORTHOGONALE |
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activité :
Placer un point "A" à une distance de 3,5 cm de la droite ( D) et Construire le
symétrique orthogonal "A' "
par rapport à ( D ) . Procédure : -
Tracer une
demi droite perpendiculaire à
D , placer le point A. -
Prolonger
la demi droite et placer au compas le points A’ , symétrique de A , tel que O
soit le milieu du segment [
A A’ ].
O |
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De ce côté de « D » placer sur la demi droite le point A à 3,5 cm de D |
De ce côté placer le point A’ |
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deux
points A et A' sont symétriques par rapport
à la droite ( D ) lorsque la droite ( D ) est médiatrice
du segment [ A A '] La
droite ( D) est l'axe de symétrie , le point A' est l'image de A
dans la symétrie orthogonale d ' axe
( D ) . 2° )
Savoir construire le symétrique du segment AB par rapport à la droite
( D ) . 2 - 1 le
segment n’est pas sécant à l’axe :
-
Construire A'
, symétrique de A par rapport
à ( D ) : Tracer une droite (d ) perpendiculaire à ( D ) passant par A ,
relever la distance de A à la droite
(D) avec un compas , reporter cette distance sur la droite (D) ( de l'autre
côté de D ) le point A' obtenu est le symétrique orthogonale de A
par rapport à ( D) . -
Construire
B' , symétrique de B par
rapport à ( D ) : Tracer
une droite (d ) perpendiculaire à ( D
) passant par B , relever la distance
de B à la droite (D) avec un compas , reporter cette distance sur la droite
(D) ( de l'autre côté de D ) le point B ' obtenu est le symétrique
orthogonale de B par rapport à ( D) . -
Joindre les deux points
A'B' : Le segment A'B' est le symétrique du
segment AB par rapport à ( D ) . Activité : Construire le symétrique A’ B’
du segment A B .
A _ : la symétrie de la droite ( A B ) par , droite portant le segment AB , est la droite ( A ' B ' ) , droite
portant le segment A' B ' . 2 - 2 )
le segment coupe l’axe : Construire A' symétrique de A par rapport
à ( D ) puis B' , symétrique de
"B" par rapport à ( D ) . Le
segment A'B' est le symétrique du
segment AB par rapport à ( D).
On remarque que le
symétrique de C ; C' sont superposés . N ! On
vérifiera que les longueurs A'B' et
AB sont égales et que les segments
A'B' et A B se correspondent par pliage suivant la droite ( D ) .
D D ’ 2 - 3
) le segment ( D )
est perpendiculaire à l’axe
delta ( D ) : Procédure :
on détermine des bornes ( 2 points
nommés ) et l’on trace la symétrie orthogonale de chaque point ; on
trace ,pour conclure, une droite passant ces bornes symétriques.
. On
remarque que le symétrique de C ; C' sont superposés . N ! On vérifiera
que la perpendicularité est conservée
. 3°
)Savoir Construire le symétrique de deux droites sécantes (angle ) par rapport à la droite
( D ) ( Info :voir / O) exemple :
l’angle
Activité :
tracer
l’angle Cela
revient à construire [ A' B'] et [ B'
C'] , symétriques de [AB] et [BC] par
rapport à ( D)
On
comparera, à l'aide d'un compas, les angles. N !
Il faut vérifier , à l'aide du compas ,
que les angles Vérification de l' égalité
des deux angles trois solutions
immédiates sont possibles : j
soit par mesure à l’aide du rapporteur . k
soit par comparaison
à l’aide d’un transparent ou calque : lsoit
par comparaison avec un compas.
Rappel
de la méthode du compas : On
trace les arcs de cercle ( 1) et ( 2) de centre B et B' respectivement de
même rayon . On
règle l'ouverture du compas AC ; en conservant la même ouverture , on déplace le compas
sur A'C' . Si AC = A'C' , les deux
angles ont la même mesure. —
Si le tracé est effectué sur un transparent ( ou
calque) , on peut aussi faire la
vérification par pliage suivant la
droite ( D ) , les figures se superposent . 4°)Savoir
construire le symétrique de deux droites
parallèles par rapport à la
droite ( D ) nous
avons vu que A _ :
« la symétrie d ’ une
droite ( D ) , droite portant un
segment [
], est la droite ( D ' ) , droite
portant un segment [ ’
’
]’ . Ce qui est vrai pour une droite est vrai pour une deuxième droite , quelque
soit la position entre ces deux droites . Procédure : On tracera deux points appartenant à chaque
droite , pour obtenir deux segments .
On fera ensuite , la symétrie orthogonale des bornes de chaque segment . Il n’y aura plus qu’a tracer les deux droites passant par ces bornes
.(on vérifiera que le parallélisme est conservé) « SYMETRIQUES ORTHOGONALES DE
FIGURES. » 5° )
Savoir construire le symétrique du cercle
par rapport à la droite ( D ) exemple :
On
construit le symétrique du centre et celui du point du cercle par rapport à
la droite ( D ). Construire
les points A’ , B’ , C’ et N’ ,
respectivement symétriques de A , B ,
C et N par rapport à la droite ( D). Construire le cercle de centre N’ et
de rayon N’ A ‘ . On constatera que le cercle
passe aussi par les points B’
et C’ . 6° )
Savoir construire le symétrique
orthogonal d ’ une ligne courbe
pour faire la
symétrie d’une ligne courbe , il faudra rechercher le centre de chaque arc de
cercle s’il existe , autrement il
faudra faire la symétrie d’un très grand nombre de points rapprochés et choisis sur cette courbe . exemple :
vu au début du cours
7 °)
Savoir construire le symétrique du « polygone » par rapport
à la droite (
D ) . Rappel
de la définition d’un polygone : Un polygone est
une portion de plan limitée par une ligne brisée fermée. Les polygones usuels sont le
triangle , le rectangle , le carré , le trapèze , le losange . Procédure
à utiliser pour effectuer la
symétrie orthogonale d’un polygone : -
Nommer
chaque extrémité de segment ( toutes)
ou ( tous les sommets d’angle) , et centre d’arc de cercle (s’il
existe) par une lettre différente .(pour ce marquage il est conseillé
de tourner toujours dans le même sens , par exemple le sens des aiguilles d ‘
une montre ) -
Construire le symétrique de tous les points . -
Joindre
chaque point par une ligne droite ou
courbe , suivant le cas. Attention
de bien suivre l’ordre des
points ! ! ! ! En procédant ainsi on a construit le symétrique de chaque côté de
la figure par rapport à la droite ( D
). 7
- 1 le polygone est un triangle . Activité :
construire
le symétrique orthogonal du triangle
ABC par rapport à la droite D .
Procédure : Construire les points
A’ , B’ et C ‘ , respectivement symétriques de A ; B
et C par rapport à la droite ( D). Joindre
les points A ‘ , B’ et C’ . N !On
vérifiera , à l’aide d’un compas , que
les longueurs des côtés et les mesures des angles sont conservées
dans la symétrie . 7 - 2 le polygone est un carré : Procédure : On construit les points A ' B' C' et D' , respectivement
symétriques de A , B , C et D .et l'on
joint les points
.
· L’ordre des tracés des points n’est pas important , mais il faut prendre
garde de ne pas joindre B’ et D ’
ainsi que C’ et A’ Activité : construire le symétrique du polygone par rapport
à une droite ou axe .( d )
7 - 3 le polygone est un rectangle : Procédure : On construit les points A ' B'
C' et D' , respectivement symétriques de A , B , C et D .et l'on joint les points .
L’ordre des tracés
des points n’est pas important , mais
il faut prendre garde de ne pas
joindre B’ et D’ ainsi que
C’ et A’ 8
°)Savoir construire ( tracer ) une figure quelconque : Exemple :
ci dessous F’ est
la symétrie orthogonale de la figure F
par rapport à une droite « delta » . Remarquez
que le choix des points sur F
doit être réfléchi .
· L’image de
« F » dans la symétrie orthogonale par rapport a
« delta » est une figure « F’ » constituée par l’ensemble
des points qui sont les symétriques des points de « F ». · Sur le dessin ci-dessus , on a choisi quelques points
de « F » et on a déterminé leurs images .En imaginant que l’on fait la même chose pour
tous les points de « F » ,on peut compléter la figure « F’ »
.
REMARQUES :
· Dans une symétrie orthogonale chaque point « une Figure » et « son image » sont superposables ( par pliage) . Ce
qui signifie que dans une symétrie orthogonale la figure et son image ont
donc même forme et mêmes dimensions. i Ce constat étant
fait , la leçon suivante portera sur
les propriétés de la symétrie
centrale et sur les propriétés de la
symétrie orthogonale . |
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Leçon |
TRAVAUX
d ’ AUTO - FORMATION sur |
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LES SYMETRIES ·« AXE de
symétrie » et SYMETRIE CENTRALE ; ·
« ORTHOGONALITE » , ·
« CENTRE de symétrie » et
SYMETRIE ORTHOGONALE .
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TRAVAUX N°16
d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE 1°) Nommer
2 droites qui sont "axe de
symétrie" .précisez ? 2°)Compléter
les phrases suivantes : Par
une symétrie centrale de ………….
"O" : -
l'image d'un segment est ………………………………………. . -
l'image d'un angle est …………………………….. . -
l'image d'un polygone est
……………………………………... -
L'image d'un cercle est ……………………………………….. . La symétrie centrale conserve …………………………………..
. 3°)Compléter
les phrases suivantes : Par
une symétrie orthogonale ……………. ( D ) : -
l'image d'un segment est ……………………………………… . -
l'image d'un angle est un ……………………………………… . -
l'image d'un polygone est
………………………………………. -
L'image d'un cercle est ………………………………………… . La symétrie orthogonale conserve ……………………………….. . |
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TRAVAUX
N°16 d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION A)
Symétrie
centrale : 1°)
construire le symétrique de M par rapport à "O"
2°)
construire le symétrique du segment AB
par rapport à "O"
3°)
Construire le symétrique de
l'angle par rapport à
"O"
4°)
construire le symétrique du polygone ( triangle) par rapport à "O"
5°)
construire le symétrique du cercle
par rapport à "O"
6°) tracer
un segment [ A B ] de 7 cm de longueur et placer un point O à une
distance de 4 cm de la droite ( AB ) . Construire le symétrique [ A' B' ] du segment AB par rapport à O .
vérifier que le symétrique du milieu "N" du segment AB est le milieu N' de [
A' B '] . On dit que la symétrie
centrale conserve le milieu . |
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7°) Tracer : dessiner cette
figure sur une feuille ( prendre une
feuille de calque) |
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Dessiner
avec la règle et le compas la symétrie de la figure ci-contre de centre S . |
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Suite sur le CD : pour en faire plus !!!!! |
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Symétrie centrale ( cours 1) |
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Symétrie centrale (cours 2 ) |
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B ) Symétrie orthogonale : 1°) Construire le symétrique orthogonal du
point M , N et P . |
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2°) Construire le symétrique orthogonale du segment AB
, par rapport à la droite ( D ) . |
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3°) Construire le symétrique orthogonale du segment AB
, par rapport à la droite ( D ) . |
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3° ) Construire le symétrique orthogonale du segment AB
, par rapport à la droite ( D ) . |
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4°)Construire les symétriques des droites ( d 1
) et ( d2 ) parallèles par rapport
à la droite ( D) . |
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Dessiner la
figure ci-dessous dans la symétrie
orthogonale d’axe « delta » . Pour cela il faut déterminer
l’image de certains points . Laisser les droites perpendiculaires à
« delta » apparentes |
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Synthèse
COMPOSITION de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires. xx’
et yy’ sont deux droites perpendiculaires sécantes en
« O ».Dessiner l’image F’ de la figure « F » dans la symétrie
orthogonale d’axe x’x puis l’image
« F’’ » de la figure « F’ » dans la symétrie orthogonale
d’axe yy’ . |
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INTERDISCIPLINARITE Les symétries et applications . 1°) Tracer
, s'ils existent , les axes de symétrie
de la carte , ci - dessous : (
il ne faut pas tenir compte des chiffres ) |
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2°) Tracer , s'ils existent , les
axes de symétrie de la carte , ci - dessous : ( il ne faut pas
tenir compte des chiffres ) |
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3°)
Laquelle des droites ( d1)
, d2) et (d3) n'est pas axe de symétrie de la pièce ci
- dessous ? |
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4°)Le
dessin du boulon ci- dessous admet-il un
( ou plusieurs ) axe (s) de symétrie ? et l'écrou seul ? |
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5°)
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Expliquer
pourquoi certains véhicules portent à l'avant
l'inscription : |
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6°)
Le triangle ABC est isocèle . Peut - on dire que la médiatrice du côté AB est axe de symétrie du triangle ? Faire
une figure . Prendre AB = AC = 5cm et BC = 7 cm . |
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7°) Laquelle des droites ( d1) , d2) , (d3)
et ( d4) n'est pas axe de symétrie du rectangle ci - contre
? |
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Si vous voulez plus d’exercices : CD |
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Regardez : |
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Tracer la symétrie orthogonale
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Regarder :
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Tracer la symétrie centrale de
chaque figure , par rapport à « O » : |
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Info : identifier les axes de symétrie
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