I )   Définition 

II )  Théorèmes sur les positions relatives de deux droites parallèles et une troisième droite.

III )   Pour prouver que des droites sont parallèles .

IV ) Autre façon de le  prouver (par des  activités)

V) Vérifier à la règle et l'équerre le parallélisme de deux droites.

VI) Construction…

COURS:

I ) PARALLELISME :

 « parallélisme » : état de deux droites ou deux plans parallèles.

« Lignes parallèles » : se dit d’une ligne distante d’une autre dans toute son étendue

Ainsi :

Par définition :  Des droites parallèles sont des droites qui ne se coupent jamais.

Remarque :  Les droites sécantes ne sont pas parallèles

     Elles ont un seul  point commun, qui est le lieu où les deux droites se rencontrent!

II )  Théorèmes sur les positions relatives de deux droites parallèles et une troisième droite :

A retenir :

Théorème1 : Si deux droites sont parallèles , toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre

Théorème 2 : si deux droites sont parallèles , toute sécante à l’une est sécante à l’autre.

Théorème 3 : si deux droites  sont parallèles , toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Il faut montrer que si deux droites sont parallèles , elles déterminent avec toutes sécantes des angles correspondants égaux .

Pratiquement il faut effectuer une mesure  : on coupe deux droites supposées parallèles par une droite sécante  et l’on mesure  les 2 angles correspondants ,et l’on vérifie si ils sont égaux .

Les angles déterminés par deux secteurs angulaires situés d’un même côté de la sécante , l’un à l’extérieur de la bande , l’autre à l’extérieur sont égaux . Ce sont des angles « correspondants ».

Il y a  quatre  couples   d’angles correspondants , par exemple : ₃ ;₂

Il y a  4 groupes de deux angles correspondants :

FICHE 9 : Une façon de prouver que des droites sont parallèles.

Vous avez vu dans une leçon «  les angles « fiche 6 » )que :

si deux droites sont parallèles , elles déterminent avec toute sécante des angles correspondants égaux.

Inversement : on peut se poser le problème suivant :

Si deux droites déterminent avec une sécante des angles correspondants égaux, ces deux droites sont-elles parallèles ?

Voici , ci-dessous ,   deux droites  « xx’ »  et « y y’ » et une sécante « uv » qui les coupe en « A » et « B ».

   et    sont égaux . « xx’ »   et « yy’ » sont-elles parallèles ?

Expliquez pourquoi  (oralement si possible)          et    sont supplémentaires.

Puisque       et      sont égaux, alors    et      sont ………………………………………………..

Vous savez que , pour deux droites d’un plan , deux situations ( et deux seulement) sont possibles :

«  ou ces deux droites sont parallèles  ou elles sont  ……….. ……………. ».

Supposons que « xx’ »   et « yy’ » soient sécantes. Appelons « C » leur point d’intersection.

On aurait alors un triangle « ABC » dans lequel deux angles auraient pour somme « 180° » .

(     et      sont supplémentaires Ce qui est impossible.

Donc les droites « xx’ »   et « yy’ » ne peuvent être sécantes , elles sont donc …….. . …………

Dans les situations ci-dessous où les angles sont marqués par un arc de cercle sont égaux .

On eput affirmer que les droites sont parallèles .

Expliquez pourquoi ( à l’oral ,si possible ).

A retenir :

Si deux droites déterminent avec une sécante :

-        ou des angles alternes internes égaux

-        ou des angles alternes externes égaux

-        ou des angles correspondants égaux

alors ces droites sont parallèles.

Application :

Info : @ les tracés de parallèles.

Vous comprenez alors pourquoi  on peut tracer des parallèles en utilisant une équerre et une règle

Le bord de la règle matérialise  la sécante et les deux positions de l’équerre matérialisent des angles …………..

Voir ci-dessous.

IV) Vérifier que deux droites sont  parallèles à la règle et l'équerre .

Méthode : Un bord de  l'équerre coïncide  avec la droite " d ₁"; On fait glisser l'équerre sur la règle (qui conserve une direction fixe ) en passant de (1)  à la position ( 2).

Les droites "d₁" et " d₂" matérialisées par le bord de l' équerre sont parallèles si  la droite " d ₂" coïncide avec  le bord de l'équerre .

VI)  Tracé de deux parallèles :

Il y a  plusieurs possibilités , ils  sont fonctions du matériel  dont on dispose : la plus simple solution est la règle « non graduée » et l’équerre.

Exemple : avec la règle « graduée »  et l’équerre construire  deux droites parallèles  situées à   5 cm l'une de l'autre .

Solution :

-      Tracer une droite ( D).

-      Tracer une droite (d) perpendiculaire à ( D) qui coupe ( D) en  "H" . ( utiliser l'équerre)

-      Placer sur (d) le point "M"  situé à 5 cm de "H" .   ( il y a deux solutions )

Tracer la droite ( D') perpendiculaire à ( d ) et passant par M .

Travaux auto- formatifs :

Contrôle :

En vous aidant du cours , compléter les phrases suivantes :

►« parallélisme » : état de deux droites ou deux plans …………………..

► « Lignes parallèles » : se dit d’une ligne ………….. d’une autre dans …………………………………..

Ainsi :

►Par définition :  Des droites parallèles sont des droites qui …………………………..

►Droites sécantes : Les droites sécantes ne sont pas …………………………

►Elles ont un seul  ……………………, qui est le ……………………………………………

2°) Comment peut- on montrer , pratiquement ,que deux droites sont parallèles.

A retenir : collège 

1°) Citer les trois théorèmes relatifs  aux  positions relatives de deux parallèles et d’une troisième droite

2°) Comment peut -on prouver que deux droites sont parallèles ?

.

EVALUATION :

Construire  deux droites parallèles  situées à 5 cm l'une de l'autre .

pour cela :

-        Tracer une droite ( D).

-        Tracer une droite (d) perpendiculaire à ( D) qui coupe ( D) en  "H" . ( utiliser l'équerre)

-        Placer sur (d) le point "M"  situé à 5 cm de "H" .   ( il y a deux solutions )

Tracer la droite ( D') perpendiculaire à ( d ) et passant par M .