Pour obtenir un parallélogramme il nous suffit de superposer une bande à bords parallèles sur une autre bande à bords parallèles dont la largeur est différentes de celle de la première .

La partie commune (en rouge) aux deux bandes est un parallélogramme .

III ) PROPRIETES DU PARALLELOGRAMME

Première propriété :

Dans un parallélogramme les cotés opposés sont égaux :

*Soit le parallélogramme DCBA. Décalquons le coté AD puis faisons glisser le calque de façon que la point D se déplace sur le coté DC.

Lorsque le point D coïncide avec le point C , le coté DA prend la direction CB , puisque par un point , on ne peut mener qu’une parallèle à une droite.

Par ailleurs , nous constatons, lors du déplacement du calque , que le point A se déplace constamment sur le coté AB , donc lorsque le point D coïncide avec le point C , le point A coïncide avec le point B , puisqu’il doit se trouver à la fois sur le coté AB et sur le coté BC.

Donc

1°) un quadrilatère convexe qui a ses cotés opposés égaux deux à deux est un parallélogramme

si AB= DC et AD =BC on peut conclure que AB est parallèle à DC et que AD est parallèle à BC

2°) un quadrilatère convexe qui a deux cotés et parallèles est un parallélogramme.

si AB= DC et si AB est parallèle à DC on peut conclure que AD est parallèle à BC .

Deuxième propriété :

Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux.

Dans un parallélogramme DCBA traçons la diagonale AC puis décalquons le triangle ADC .

Déplaçons le calque sur le plan , de façon que le point C vienne en A et le point D en B.

Nous constatons alors que le triangle ADC se superpose au triangle ABC et qu’en particulier l’angle D se place exactement sur l’angle B.

Donc

On peut vérifier de façon analogue que =

1° ) un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme .Si AO = OC et si BO =OD on peut conclure que AB est parallèle à DC et AD est parallèle à BC

Un quadrilatère convexe qui a ses angles opposés égaux deux à deux et parallèles est un parallélogramme.

Si = et si = on peut conclure que AB est parallèle à DC et que AD est parallèle à BC.

Remarque : les angles adjacents à un même coté d’un parallélogramme sont supplémentaires :

ABCD étant un quadrilatère on peut écrire + + + = 360°

Or = et = donc 2 + 2 =360° et + = 180°

Troisième propriété :

Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu :

Soit O le point d’intersection des diagonales AC et BD .Décalquons le triangle AOB puis faisons tourner le calque de 180° autour du point O ; nous constatons que le triangle AOB se superpose au triangle DOC : en particulier OB coïncide avec OD et OA coïncide avec OC ,

Donc

Remarque : deux segments de droite parallèles compris entre deux parallèles sont égaux .

Les segments de droites AD et BC qui sont compris entre les parallèles x’x et y’y sont égaux : AD = BC

IV) Parallélogramme et symétrie centrale

Un point O étant donné , traçons deux droites passant par O.

Portons avec le compas sur chacune des deux droites de part et d’autre du point O des longueurs égales.

Par exemple :OA = OC = 5 cm ; OB = OD = 2,5 cm.

Cette construction fait apparaître une symétrie centrale S_O telle que :

S_O : où A à pour image C ; B à pour image D ; C à pour image A ; D à pour image B .

par2

Activités : Si nous mesurons les longueurs des côtés.

Si nous mesurons les angles , nous en déterminons les propriétés suivantes :

INFO : « Symétrie centrale @ »

par1

D’après les propriétés des symétries centrales, nous en concluons que :

- les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles.

- Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

- Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires ;

Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

RESUME :

Dans un parallélogramme :

1) les côtés opposés sont deux à deux parallèles .

2°) les côtés opposés sont deux à deux égaux .

3°) Deux côtés opposés sont à la fois parallèles et égaux .

4°)les angles opposés sont deux à deux égaux.

5°) les diagonales se coupent en leur milieu .

Ce qui suit est à retenir

parall

Définition :

Le parallélogramme est un quadrilatère convexe dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux .

[DA ] // [ BC ] et [ AB] // [ CD ] (1)

Propriétés :

-les côtés opposés sont deux à deux isométriques

DA = CB et AB = DC (2)

- les angles opposés sont égaux deux à deux

= et = ( 3)

- deux angles consécutifs sont supplémentaires (somme = 180°)

- les diagonales [ AC] et [ DB] se coupent en leur milieu (voir + : la symétrie centrale) (4)

(5 ) deux côtés sont isométriques et parallèles

Identification :quadrilatère ayant la propriété (1) ou (2) ou ( 3) ou ( 4) ou (5)

5- TRACES.

Le tracé d’un parallélogramme sans contrainte de dimensions (angle et longueurs des segments) ne pose pas de problème particulier. On trace deux droites parallèles puis une droite sécante à ces deux droites puis une droite parallèle à cette troisième droite.

► Identifier un parallélogramme :

Remarque : on nomme un parallélogramme par des lettres majuscules. Par convention, ces lettres sont lues dans le sens des aiguilles d’une montre, le premier point nommé est celui qui se trouve le plus en haut à gauche de la figure.

Exemples :

pa5

Parallélogramme (ABCD)

paraexo1co

Dans la figure ci contre je peut identifier le parallélogramme (BADE)

et le parallélogramme (BDFE)

( joindre les points pour constater que nous avons bien deux parallélogramme.)

► CONSTRUCTION d’ un parallélogramme à partir d’une droite est un point « O » extérieur à la droite

Du point « O » comme centre , avec un rayon plus grand que la distance de ce point à la droite x’x , on trace un arc de cercle qui coupe cette droite au point A.

Du point A comme centre , et avec le même rayon que précédemment , on trace un second arc de cercle qui passe par « O » et qui coupe la droite x’x au point B.

Du point A comme centre , avec un rayon égal au segment OB , on trace un troisième arc , qui coupe le premier en C :

La droite OC est parallèle à la droite x’x . En effet : le quadrilatère convexe ABOC est parallélogramme car il a ses cotés opposés égaux deux à deux :

On a OA = OC ; OA =BA donc OC = AB

et OB = AC

donc AB et OC sont parallèles .

paraconst

Voir d’autres tracés :

Recherche du quatrième sommet d’un parallélogramme avec un compas.

►à partir de deux droites sécantes.

►à partir de trois points.

Ces types de tracés vont être utiles lorsque l’on cherchera à tracer un bipoint équipollent à un bipoint donné.

Pour comprendre la définition d’un vecteur et la translation d’un vecteur dans un plan. En vue de faire la somme de plusieurs vecteurs.

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE :

(6^ème) 1 ) Donner la définition d’un parallélogramme :

(5^ème) 2 ) Citer les trois principales propriétés d’un parallélogramme.

EVALUATION

1°) construire un parallélogramme , sachant que deux côtés consécutifs mesurent respectivement 3 cm et 5 cm et que l’angle compris entre ces deux côtés mesure 54°.

Calculer les autres angles de ce parallélogramme .

2°) construire sans rapporteur un parallélogramme , sachant que ses deux diagonales mesurent respectivement 7 cm et 5 cm et forment entre elles un angle de 120°.

3°)Construire un parallélogramme dont les côtés mesurent respectivement 5,5 cm et 3,5 cm et la hauteur 2 cm.

4°) Construire sans rapporteur un parallélogramme , sachant que le côtés AB mesure 6 cm , la diagonale AC 8 cm et que l’angle BAC est égal à 30°.

5° ) Construire un parallélogramme ABCD , sachant que le côté AB mesure 3 cm , le côté BC 5 cm et la diagonale AC 7 cm.

Autres :

1. Parallélogramme ABCD de côtés AB = 35 mm et AD = 45 mm et = 120°
2. Parallélogramme ABCD tel que AB = 26 mm et AD = 48 mm et la diagonale BD = 40 mm
3. Parallélogramme ABCD de côté AB = 5cm et de diagonales AC = 4 cm et BD = 80 mm
4. Parallélogramme ABCD tel que AB = 2,5cm et AD = 5cm et la diagonale AC = 64 mm
5. Parallélogramme ABCD de côtés AB = 5cm et AD = 4cm et de hauteur AH = 3cm
6. Parallélogramme ABCD de côté AB= 30 mm et de hauteurs AH = 25 mm et AK = 32 mm ( niveau +++)

INTERDISCIPLINARITE