CAP industriel.

 Géométrie :  DOSSIER : SYMETRIES   /  Objectif cours 23

Pré requis:

Notion :quadrillage

 

Tracé d’une perpendiculaire à une droite

3D Diamond

Les axes de symétrie  :

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   warmaths

Objectif précédent   3D Diamond

L’isométrie et la rotation axiale et la symétrie axiale

Objectif suivant Sphère metallique

Vers les généralités

tableau    Sphère metallique

)liste des objectifs cours de géométrie plane.

-        Liste des cours sur les symétries

 

DOSSIER « LES SYMETRIES »

SYMETRIE ORTHOGONALE     de figures simples

(dit aussi : symétrie axiale )

-        Symétrie orthogonale  de figures simples et propriétés

 

TEST

 FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

INFORMATION

La rotation axiale conduit  à la symétrie axiale

On calque R

On fait tourner le caque autour de (D)

On obtient en bleu le symétrique  de R par rapport à la droite (D)

rotaxR3

rotaxR2

rotaxR1

 

COURS :

 

 

Dans la  Symétrie orthogonale  de figures simples:

 

Dans un symétrie orthogonale par rapport à une droite « delta » , si le point A n’appartient par à « delta » , la point A a pour image  le point A’ ,

Alors la droite « delta » est perpendiculaire à ( AA’) et « delta » passe par le milieu du segment [AA’]

 

sy11

 

L’image d’une droite est une droite :

Remarque :

L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment « image » :

M milieu de [A,B] a pour image M’ milieu de [A’,B’]

Une symétrie orthogonale conserve  les distances :

d( A,M) = d ( A’,M’)

d( M,B) = d ( M’,B’)

d( A,B) = d ( A’,B’)

sy10

 

 

 

 

 

Une symétrie orthogonale conserve les angles.

=

sy9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'image d'un cercle de centre « O » est un cercle de même rayon.

Donc : l'image d'un disque est un disque de même aire.

Remarque : si les deux cercles sont tangents ; la droite est tangente aux cercles .( elle est perpendiculaire au rayon ) 

sy8

 

 

 

La symétrie orthogonale d’un rectangle est un rectangle de mêmes dimensions

sy7

 

 

 

 

 

La symétrie orthogonale d’un carré est un carré de mêmes dimensions

sy6

Donc un symétrie orthogonale  conserve les aires .

 

Deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles.

Remarque : Si M est un point de l’axe , alors l’image  de M dans la symétrie  est lui-même.

Il en est de même  pour tout point de « delta » , c’est pourquoi nous disons que « delta » est invariante dans la symétrie par rapport à « delta ».

sy5

 

La droite delta étant perpendiculaire  à l’axe de symétrie a pour image elle-même

sy4

 

Exemple de figures symétriques par rapport à une droite « D ».

Si l’on dessine ces deux figures sur une feuille de calque ; on remarque que ces figures se superposent.

La symétrie  d’une figure quelconque est cette figure quelconque.

 

sy3

 

 

 

EN CONCLUSION:

Dans une symétrie orthogonale par rapport à une droite « delta » , la droite « delta » est appelée « axe de symétrie »

 

Une symétrie  orthogonale   conserve :

L'alignement

Les longueurs

Les angles

Il en résulte que toutes figures  géométriques à  pour image  une figure de mêmes dimensions , donc de même aire.

Une symétrie orthogonale  conserve aussi :

les aires .

 

 

 

 

 

IMAGE d’ une figure dans une symétrie orthogonale.

Voici dans le plan ci dessous , une droite « delta » et une figure « F »

sy2

L’image de « F » dans la symétrie orthogonale par rapport a « delta » est une figure « F’ » constituée par l’ensemble des points qui sont les symétriques des points de « F ».

Sur le dessin ci-dessus , on a choisi quelques points de « F » et on a déterminé leurs images .En  imaginant que l’on fait la même chose pour tous les points de « F » ,on peut compléter la figure « F’ » .

               Ainsi dans toute symétrie orthogonale toute figure  et son image  sont superposables. Ce qui signifie que dans une symétrie orthogonale la figure et son image ont donc même forme et mêmes dimensions.

 

 

 

Exemple appliqué aux études de fonction :

L’axe « y’ y » est axe de symétrie dans le tracé de la fonction  « x2 »

Les points   A’ et A sont symétrique par rapport à « y’y »! !

F2xx

 


 

 

TRAVAUX AUTO-FORMATIFS :

 

CONTROLE

 

 

1°)  Que   conserve une symétrie  orthogonale   conserve ?:

 

 

EVALUATION:

 

Série1 :

Tracer la symétrie orthogonale

 

 

 

 

 

- d’un segment de droite.

 

 

-d’une droite.

 

 

- d’un angle

 

 

Tracer la symétrie orthogonale d’une figure géométrique simple.

 

 

 

 

 

Cercle

 

 

Disque

 

 

triangle

 

 

Carré

 

 

Rectangle

 

 

 

 

Série 2 :

Construction  de l’image d’une figure :

 

En utilisant le quadrillage , dans chacun des deux cas , dessiner les images des figures ci-dessous dans la symétrie orthogonale d’axe « d »

1°)

sy1

 

2°)

sy14

3°) Dessiner la figure ci-dessous  dans la symétrie orthogonale d’axe  « delta » . Pour cela il faut déterminer l’image de certains points .

Laisser  les droites perpendiculaires à « delta » apparentes  

sy13

 


 

4° )COMPOSITION de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires.

  xx’  et yy’ sont deux droites perpendiculaires sécantes en « O ».Dessiner l’image F’ de la figure  « F » dans la symétrie orthogonale d’axe x’x  puis l’image « F’’ » de la figure « F’ » dans la symétrie orthogonale d’axe yy’ .

 

 

sy12

 

 

ody>