OBJ ;. connaître  les éléments neutres en vue de  neutraliser un terme ou un facteur dans un membre d’une égalité en vue de «  résoudre une équation   ».

Pré requis:  

Les éléments et ensembles

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Opposé d’un nombre .

 

Inverse d’un nombre

 

Le nombre arithmétique et le nombre archimédien.

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier

 

 

 

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Index  warmaths

Objectif précédent :

 1°) élément neutre de l’addition dans N;

2°) élément neutre de la multiplication. dans N

3°) les notions des  opérations (en arithmétique ).

4°)  Les propriétés sur les opérations des nombres arithmétiques et archimédiens.

Objectif suivant :

1°) Neutralisation d’un terme  ou d’un facteur .Sphère metallique

2°) Propriétés dans D relatifs .

3°) Informations sur D

4°) opérations  dans R

 

1°) Tableau       Sphère metallique 11

2°) les égalités (présentation)

 

 

DOSSIER: INFORMATIONS sur les propriétés des  4 OPERATIONS.

1°) Les éléments neutres et les éléments absorbants.

-       Cas particuliers :  «  a – 0 »  et « a :1 »

-       Multiplication d’un nombre par son inverse.

-       Addition d’un nombre avec  son opposé .

2°) Rappels sur les propriétés des 4 opérations dans N.

3°) Les propriétés des opérations dans D.

 

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Fiches d’arithmétiques

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                    

 

 

COURS

 

 

 

 

1°)   Les éléments neutres et les éléments absorbants .

 

 

 I)  L ’ELEMENT  ABSORBANT : 

 

  L’élément « absorbant » de la multiplication est « 0 » ; en effet    « 0  a  = 0 »

 

Exemples    :       0  3  = 0   ;   7   0   = 0

 

 

 

II )  LES   ELEMENTS   NEUTRES :   ( info plus : les éléments neutres…)

 

Définition : on appelle « élément  neutre » un nombre qui ne modifie pas le résultat d’une opération.

Il y a deux éléments neutres : le « 0 » pour l’addition et le « 1 » pour la multiplication.

Il est intéressant de connaître et retenir  , pour la leçon suivante  « neutralisation d’un terme et d’un facteur »  que

« a – 0 = a » et   que = a

a )  « 0 » est l’élément neutre de l’addition  :

 

                    9 + 0 =  9  ,  0 + 9 = 9    donc  9 + 0 = 0 + 9

 

on retiendra ,par extension , que  si  a + 0 = a   et  0 + a = a   on  conclura  que :          a + 0 = 0 + a

 

que   + 0 =       ;   ou    0 +  =

 

 

b )     le zéro n’est pas un élément neutre de la soustraction ! ! !

 

   mais  ,  il faut remarquer que  si l’on soustrait  « 0 » à un nombre ; la différence reste égale  à ce nombre . en effet  9 - 0 =  9

 

                       on  retiendra   que  a - 0  =  a ;   - 0  =           

      

c ) « 1 » est l’élément neutre de la multiplication . ( info plus : les éléments neutres…)

 

 

1°) Multiplier par « 1 » ne modifie pas le résultat de la  multiplication.

 

3 1  =

3

3,036528 1 =

3,036528

a 1    =

a

 1     =

3 1   =

3

1 ( 2+3) =

2 + 3

Cas particulier : 1  1     =  1 ² =  1

                                                                       

 

* Remarque :   « 1 » n’est pas l’élément neutre de la division ;  mais  si l’on divise par « 1 » , on ne modifie pas le quotient ( nom donné au résultat d’un division )

donc : diviser par « 1 » ne modifie pas le résultat de la  division.

 

3 : 1    =

3

3,036528 :1 =

3,036528

:1=

a

 :1=

3 :1 =

3

( 2+3) : 1  =

2 + 3

Cas particulier : 1 : 1     =  1

 

d) multiplication d’un nombre par son inverse :  ( voir : propriété : nombre arithmétique et  multiplication par son....)

 

  Un nombre multiplié par son inverse est égal à :     1

a     inv. a  =     a      =    1

 

Exemple :        2    inv. 2 =            2      =         =     =   =   1

 

*si vous avez des difficultés pour comprendre le calcul , voir  (multiplication d’un nombre par une fraction)

e  ) ADDITION d’un nombre par son  opposé :

  Un nombre ajouté de son opposé  est égal à    «  0 »

 a + opp. a  =     a  + ( - a )   =    a – a  =  0     

 

Exemple :        2 + opp. 2  =              2 + ( -2)   =  (+2 ) +( – 2)     =     0

 

*si vous avez des difficultés pour comprendre le calcul , voir  « addition de nombres relatifs »

 

 

2°)   LES PROPRIETES des opérations dans N :

 

a)  Addition et ses propriétés :

L’addition est l’opération qui associe deux nombres (entiers ou décimaux ) pour en faire une « somme »  tel que :    a + b

 

Les propriétés de l’addition : elles sont au  nombre de trois

 

L’addition est :

 

 

commutative

a + b = b + a

3 + 2 = 2 + 3

Associative

a +( b  + c )=  (a +b)+ c

2+(3+5) = (2+3)+5

Possède un élément neutre  « 0 »

a + 0 = 0 + a = a

3 + 0 = 0 +3 = 3

 

* remarque :b)   la soustraction ne possède aucune des propriétés de l’addition :

 

 

« ¹ » signifie « différent »

Exemples :

 

Ainsi

a -  b ¹  b - a

 

3 - 2    ¹ 2 - 3

Ainsi

a - ( b  - c )  =  (a - b)-  c

2-(3-5)    ¹ (2-3)-5

2- (-2)   ¹ (-1) –5

+4     ¹    -6

Ainsi

a - 0 ¹ 0 - a

a     ¹ -a

3 - 0   ¹   0 -3

3     ¹   -3

Si problème de compréhension , voir « expression et somme algébrique » et « somme de deux nombres relatifs »

 

2ème  Rappel  sur la  c)  multiplication et ses propriétés :

 

La multiplication est l’opération qui associe deux nombres ( entiers ou décimaux) « a » et « b »  pour obtenir un « produit » tel que : a  b ;

 

qui est égal à la somme du nombre « b » , « a » fois ; il y a  autant de nombre « b » que l’indique le nombre « a » ,    soit « b » fois le nombre « a »

 4   3  =  3 + 3 + 3 + 3

alors que :

 3   4 =  4 + 4 + 4

 

La multiplication possède  quatre propriétés suivantes :

Propriété :

Modèles :

Exemples

Elle est commutative

a   b = b   a

4   3 = 4   3

Elle est associative

a   (b  c) = (a  b)  c

2  ( 3  5) =( 2  3)  5

Elle possède un élément neutre « 1 »

a   1 = 1   a = a

3    1 = 1   3

Elle possède un élément absorbant « 0 »

a   0 = 0   a =  0

3    0 = 0   3

 

3°)   LES PROPRIETES des opérations dans D :

 

a)   PROPRIETES DE L ‘ADDITION DANS « D »  

 

-        Commutativité :   a + b =  b + a

-        Associativité    ( a + b ) +  c =   a + ( b + c )  =  a + b + c

-        Elément neutre :  a + 0 =  a  et  0 + a  =  a

 

b)  PROPRIETES DE LA MULTIPLICATION DANS « D  »  

 

-        Commutativité :  a    b =  b   a

-        Associativité  ( a   b )    c =   a   ( b   c )  =  a   b   c

-        Elément neutre :  a  1 =  a  et  1   a  =  a

 

 

c) DISTRIBUTIVITE DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT A L’ADDITION :

 

-        a ( b + c ) = ab + a c

-        ( a + b ) ( c + d ) = a c + ad + b c + bd

 

 

 

 

Commentaires :

 

 Ces connaissances seront utilisées en algèbre pour « résoudre » :

 

Définition du mot « RESOUDRE » :

 

« Résoudre "une équation" »   c ' est rechercher la valeur de l ' inconnue (généralement "x" )   qui vérifiera    que l ' égalité est vraie.

 

( l’égalité est vraie lorsque l’on a remplacé « x » par la valeur numérique  trouvée  et effectué les calculs avec la valeur  de « x » ; il faut trouver la même valeur pour chaque membre , après calcul )

 

pour « résoudre » ;  on nous donne une égalité contenant une lettre appelée « inconnue ».( exemple :   2 x + 12 = 17  ) ;la  lettre « x » se trouve être un facteur « intégrer » dans un terme.

 

On dit aussi que  « Résoudre » : c’est isoler « x » dans un  membre de l’égalité et placer les termes « nombres » dans l’autre membre.

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE:

Niveau V

 a) Quel est l’élément neutre de l’addition?

 

  b) Quel est l’élément neutre de la multiplication?

 

 

**EVALUATION:

 

Calculer :       3 + opp.3 = ?

                       3    inv.3 = ?


 

 

 

 

 

 

 

 

CORRIGE:

 

 

CONTROLE:

 a)Quel est l’élément neutre de l’addition?

              L’élément neutre de l’addition est  « zéro »  .

 

  b) Quel est l’élément neutre de la multiplication?

              L’élément neutre de la multiplication et de la division est 1.