Fiches de travail : Premier degré « INEQUATIONS à deux inconnues  » au collège 3^ème

Programme classe de 4^ème

Fiche 1 : Inéquation du premier degré à deux inconnues.

                      Fiche 2 : Système  d’  inéquation du premier degré à deux inconnues.

                        Fiche 3 : Situation-problème .

 Vers le programme de 3^ème  Collège

Corrigé

Vers le corrigé

Fiche 1 : Inéquation du premier degré à deux inconnues.

Info ++++

«   »  est une inéquation du premier degré de couple inconnu. (  )

Ø Activité : Remplacez «  » par « 4 »  et «  » par « 2 »  , vous obtenez :  «   »   …..

Effectuez le calcul .       ;  …«                       »   ………«   »   ……Vous constatez que l’inégalité est « vraie »……..

On dit  (alors) que le couple ( 4 ; 2 ) est solution de l’inéquation.

Ø Remplacez «  » par «  » et « y » par « 3 », vous obtenez : «   »   …..

Effectuez le calcul .          »   ;  …«   »   ………«   »   ……Vous constatez que l’inégalité est « . ……… »……..

On dit  (alors) que le couple ( -1  ; 3 ) ……………………………… de l’inéquation.

Les règles de calcul sur les inéquations à deux inconnues sont les mêmes que sur les inéquations à une inconnue .

Rappelez- les verbalement  .

Exemple :

  Considérons l’inéquation «   » de couple inconnu . (  )

En transposant, on obtient :                   

En  développant, on obtient :

«   »  =  «   »

Après simplification, on obtient :                    « . …………………………………………»

En divisant les deux nombres par « -2 » , on obtient :  «   »  ou  «   »

Définition :

                    On appelle « inéquation du premier degré à deux inconnues »  toute inéquation qui après transformation peut s’écrire sous la forme  «   »   ( ou :   )dans laquelle  «   » sont des nombres  et  (  ) le couple inconnue.

Ø L’inéquation « 3 x – 7 y + 5 > 0 » possède une infinité de solutions .

On ne peut pas toutes les écrire mais on peut en faire une représentation graphique.

L’ensemble des points du plan dont les coordonnées (  ) vérifient «   » est une droite dont l’équation est

       .  Nous allons tracer  cette droite .

A vous de tracer cette droite.

Cette droite détermine deux demi-plans : « P »  et « P’ ».

Ø Placez les points :

« C ( 2 ;3 ) ; D ( 5 ; -3 ) ; E ( - 3 ; - 4) ; F ( - 6 ; - 1 ) ; G ( 6 ; 2 ) ; H ( - 5 ; 4 ) ; J ( 4 ; 5 ) ; K ( 0 ; - 1 ) »

Ø Pour chacun de ces points , cherchez si les coordonnées (  ) sont solutions de :

«   »  ou de «   »

Vous constatez que tous les points dont les coordonnées (  ) vérifie  l’inéquation : «   » sont situés dans le demi-plan : ………………………….

Et que :

tous les points dont les coordonnées (  ) vérifie  l’inéquation : «   » sont situés dans le demi-plan : ………………………….

Il en est ainsi pour tout point du plan .

Ø On démontre ( et vous admettrez ) que :

La représentation graphique des solutions de l’inéquation «   »   et ( ) est l’un des demi-plans limité par la droite d’équation «   »

Remarque :

            Pour savoir quel est le demi-plan qui convient , on choisit un point quelconque et on cherche si le couple de ses coordonnées est solution de l’inéquation.

Exemple résolvons graphiquement l’inéquation «  »

«  » est la droite d’équation «  »

Choisissons un point non situé sur «  » .

Par exemple : «  O (0 ;0) » n’est pas solution de l’inéquation.

Donc la représentation graphique de «  » est le demi –plan de frontière  «  » ne contenant pas « O » ; ( ni «  » ).

Fiche 2 : Système  d’  inéquation du premier degré à deux inconnues.

Info +++

Voici deux inéquations du premier degré de couple ( x ; y ) : «  »  et  «  »

Cherchez l’ensemble des solutions communes à ces deux inéquations se dit aussi :

Résoudre le système d’inéquations :

Résolution graphique du système d’inéquations :

Ci-contre :

Dans le plan muni d’un repère on a tracé les droites d’équations :

«  »   et  «   »

Pour chaque inéquation, passez en coulur le demi-plan correspondant aux points dont le couple de coordonnées ( x ; y ) n’est pas solution de l’inéquation.

La partie non coloriée du plan est alors la représentation graphique du système.

Fiche 3 : Situation-problème .

Info ++ sur les sytèmes +

Rémi est délégué par ses camarades pour aller à la patisserie chercher des croissants et des brioches . UN croissant coûte « 3 € » et une brioche « 5 € ».

Il fait la collecte parmi ses camarades et récolte « 45 € ».

Sachant que chacun désire (au moins ) un croissant ou une brioche et que Rémi veut ( au moins ) une brioche et qu’il y a « 12 » personnes ( y compris Rémi), comment Rémi va-t-il effectuer ses achats ?

Résolution :

Appelons «  » le nombre de croissants et «  » le nombre de brioches ( «  » et «  » sont des nombres entiers ).

Transcrivons les données en langage mathématique.

C'est-à-dire écrire des inéquations.

Ø Argent dépensé pour les croissants   ( en € ) :  «   » . Pour les brioches ( en € )   «  »

L’argent total  dépensé doit être inférieur ou égal ( en €) se traduit par :

«   »   c'est-à-dire   «   »  

Ø Il y a « 12 » personnes et chacune veut  ( au moins) un croissant ou une brioche se traduit par :

«    »  C'est-à-dire  «     » 

Ø Rémi veut au moins une brioche  , se qui se traduit par   «   » , c'est-à-dire  «  »

( on a donc 3 inéquations que l’on va regrouper en système .)

On obtient alors le système d’inéquation dont les inconnues sont des entiers naturels ,

Ø On vous demande de résoudre graphiquement ce système .

Pour cela  faites le dessin sur une feuille à part.

Dans le plan muni d’un repère , tracez ces droites d’équations.

Hachurez ou coloriez les demi –plans  ne convenant pas .

Les points dont le couple de coordonnées est solution sont situés dans la partie du plan restée blanche ou sur la frontière.

Sachant que « » et «  » sont des entiers naturels , marquez ( en couleur) les points dont le couple de coordonnées est solution.

Combien en trouves-tu ?

Ø Dans chacun des cas ci-dessous , vous préciserez le nombre de croissants et de brioches.

-          Dans quel (s )  cas   l’ argent est-il complétement dépensé ?

-          Dans quel (s )   cas    chacun reçoit-il exactement un croissant ou une brioche ?

-          Dans quel (s )   cas   y a – t-il le maximum de croissants ?

-          Dans quel (s )   cas   y a – t-il le maximum de brioches  ?

-          Dans quel (s )   cas   la dépense est-elle minimum ? ( et de combien ? )

-          Dans quel (s )   cas   y a – t-il un croissant ou une brioche de plus que de personnes  ?

Fini le 11/01/16

Exercices

solution

1-

2-

3-

4-

Résoudre :

Résolution

1-a

1-b

1-c

1-d