Cours pour classe de (3^è/seconde).

Pré requis:

L’ensemble des Réels

Les égalités .

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT : Les opérations dans R

COURS

APRES : 1°) suite sur les relation d’ordre, intervalles,…. Préparation concours.

Complément d’Info : Programme de la classe de seconde.

TITRE : RESUME :

- Algèbre : LES EQUATIONS -

Développer et Factoriser	Info plus
EQUATION DU 1^er DEGRE A UNE INCONNUE " x"	Info plus !!
SYSTEMES D' EQUATIONS A DEUX INCONNUES ( x ; y )	Info plus

Travaux ; devoirs			Corrigé
TEST	Contrôle	évaluation	Contrôle	évaluation

Interdisciplinarités : (matière concernée)
F	H	Géo.	Vie quotidienne et vie familiale	Autres :	Sciences et technique	Physique Chimie Electricité	Statistique.

COURS

Un nombre peut - être désigné de diverses façons. Lorsqu'on cherche une manière simple de désigner un nombre défini par une certaine écriture, c'est en fait cette écriture que l'on simplifie, et non le nombre donné sans ambiguïté par l'énoncé. Lorsqu'une écriture contient des lettres, et désigne un nombre, chaque fois que les lettres sont remplacées des nombres, on appelle cette écriture "expression algébrique" . Ex: 2x+5y- z

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I ) Rappels : LES ENSEMBLES

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On retiendra que :

N désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.

Z désigne l’ensemble des nombres entiers relatifs

D désigne l’ensemble des nombres décimaux

Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

R désigne l’ensemble des nombres réels. ( les réels non rationnels sont dit irrationnels.

En résumé : N Ì Z Ì D Ì Q Ì R

Info ---

Développer et Factoriser

Une expression algébrique dépendant d'une variable "x" , peut se présenter sous forme d'une somme ou d'un produit.

Suivant le problème que l'on cherche à résoudre , on aura intérêt à présenter (dans la mesure du possible) la même expression algébrique tantôt sous forme d'un produit, tantôt sous forme d'une somme.

· Pour présenter une expression algébrique sous forme d'une somme, on dispose des règles de calcul sur les nombres : "On développe" l'expression. Il est toujours possible, et simple de développer une expression, et une fois le développement effectué et réaliser, il est "d'usage" de "réduire" en effectuant les opérations chaque fois que possible, et "d'ordonner" l'expression obtenue, en rangeant les termes dans l'ordre des exposants de la variable.

· Pour présenter une expression sous forme d'un produit, on "essaye" de "factoriser". Il n'est pas toujours simple ni même possible, parfois, de factoriser une expression algébrique donnée. Par exemple, on ne factorise par une somme de carrés.

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EQUATION DU 1^er DEGRE A UNE INCONNUE " x"

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· L'équation de la forme a pour solution unique

· L'équation de la forme a pour solution unique

· Le principal cas particulier : "l'équation produit".

Exemple :

On utilise dans ce cas le propriété suivante : un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

Ainsi pour le produit est nul si ou

Exemple algébrique

si le facteur (alors la solution est ) ou le facteur (alors la solution est )

On conclut que : l'équation admet deux solutions :

Remarque : ; signifie et

DROITES - FONCTIONS AFFINES -(inclus la fonction linéaire)

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Avant

· EQUATION D'UNE DROITE

Après

a) On connaît les coordonnées de deux points A et B :

Point : A ( 2;3) et point :B ( -3;1)

L'équation de la droite passant par le point A et B ; (AB) est de la forme y = m x +p. (1)

Des couples de points, on établit un système de deux équations:

On a

Après résolution on obtient : ;

On remplace dans (1) ce qui nous donne :

b) On connaît le coefficient directeur et un point :

L'équation de la droite est de la forme:

y = mx +p on donne m=-3 , A ( -1 ; 2)

On a et

D'où et

Avant

RESOLUTION D' UN SYSTEME D ' EQUATIONS INTERSECTION DE DEUX DROITES "D" et "D' "

Après

·.Il faut résoudre le système par les deux équations. (3 cas)

- Les droites sont sécantes, le système admet une solution.

- Les droites D et D' sont parallèles, le système n'a pas de solution. (aucun point commun).

si m=m' et p ¹ p' alors D // D'

- Les droites sont "confondues" (parallèles superposées), le système admet une infinité de solutions.

si m=m' et p = p' alors D = D'

* Si mm' = -1 alors D ^ D'

Dans un repère orthonormal, deux droites sont orthogonales lorsque le produit de leur coefficients directeurs est égal à -1.

SYSTEMES D' EQUATIONS A DEUX INCONNUES ( x ; y )

· Résolution par substitution.

Soit à résoudre le système défini par : (I)

On a successivement (II)

Dans la deuxième équation on remplace "y"par "1-3x" (III)

On développe et réduit dans la deuxième équation (IV)

On en déduit "x" dans la deuxième équation:

On remplace x = -1/7 dans la première équation :

d'où y = 1 + =

La seule solution du système est le couple de point :

· Résolution par combinaison

Soit à résoudre le système défini par :

"cas 1" On multiplie l'équation (1) par -3 et "cas 2" puis l'équation (2) par -2

On obtient -3x -6y = -30

Ce qui donne :

On additionne (1) + (2) soit -3x +3x -6y+y= -30 +15 ; -5y = -15 ; y = 3

On multiplie l'équation (2) par -2 ; on obtient -6x -2y = -30

-2 fois 3x + -2 fois y = -2 fois 15 ce qui donne -6x -2y = -30

on additionne (2) avec (1)

On addition l'équation (1) avec (2) ; on obtient -5x -0y = -20 ; x = 4

soit

d'où l' unique couple de nombres solution ( 4 ; 3 )

· Résolution graphique du système

Il suffit de tracer les deux droites d'équations :

Le couple de nombres "solution" sont les coordonnées du point d'intersection des deux droites sont l'abscisse et l'ordonnée.

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CONTROLE:

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EVALUATION:

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