Pré requis:

Régionnement et inégalité des distances (5ème)

Résolution de l’équation du premier degré à  deux inconnues

Fonction linéaire (représentation graphique)

Fonction affine (représentation graphique)

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index    

Objectif précédent :

Définition 

Inégalité degré 1 à 2  inconnues

Objectif suivant :

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DOSSIER : Résolution  d’ un SYSTEME :

·        de  2  INEQUATIONS du PREMIER DEGRE à deux  INCONNUES .

·        de   3  INEQUATIONS du PREMIER DEGRE à deux  INCONNUES

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

 Série 1 : niveau IV

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

 

SYSTEME avec 2 INEQUATIONS :

Info plus.

Par définition : la donnée simultanée de deux (ou plusieurs) inéquations s’appelle un « système d’inéquations ».

Résoudre un système d’inéquations  c’est chercher toutes les solutions « communes » aux inéquations.

Application 1:

On demande de résoudre graphiquement le système :

 

Transformations : 

On transforme (1)   y   >2 x -1

On transforme (2)  

-2y > -x - 4    Û  2y < x + 4   soit y < +2

 

le système devient :

 

 

On trace les  droites :

        d’équation :  y = 2x -1

 

et  ‘ d’équation : y’ =  +2

Pour chaque inéquation on considère le demi plan qui convient (on considère le point origine O (0 ;0) ; on cherche si il appartient ou pas au demi plan )

La solution graphique du système correspond à tous les points communs aux deux demi plans (zone non barrée)

Remarques : les droites   et    sont sécantes au point de coordonnées ( 2 ;3) ; Ce point  n’est pas solution du système. ( parce que nous avons des inégalités strictes) 


 

 

Résolution graphique d’un    SYSTEME   à  3  INEQUATIONS

 

 

 

Exemple 1:

Résoudre le système :               

 

Etant donnés deux axes de coordonnées « O  x »  et « O y » nous allons déterminer dans quelle région du plan se trouvent les points « M » dont les coordonnées satisfont à ces trois inéquations.

Pour cela construisons les droites qui ont respectivement pour équations :

(1)           3 x + 2 y  - 6 = 0    ( D)

(2)            x - 2 y + 2    = 0     ( D’)

(3)            4x - 3y +12 =  0  ( D’’)

 

Pour que l’inéquation (1) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine ( car pour « x » = 0 ; « y » = 0 l’inéquation est satisfaite).

 

Pour que l’inéquation (2) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui ne contient pas l’origine ( car pour « x » = 0 ; « y » = 0 l’inéquation n’est pas satisfaite).

 

Enfin pour que l’inéquation (3) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine ( car pour « x » = 0 ; « y » = 0 l’inéquation est satisfaite).

 

 

Finalement, on voit que « M » doit être à l’intérieur du triangle ABC formé par les 3 droites (D) ; (D’) ; (D’’).

 

 

 

 

 

 

 

Exemple 2 : Résoudre graphiquement.

 

On désire acheter pour une bibliothèque des romans de la pléiade (60 € l’un) et des encyclopédies (120€ l’une). On exige les trois conditions suivantes :

1°) Au moins deux romans.

2°) Plus d’ encyclopédies  que de romans.

3°) La dépense doit  être inférieure ou égale à 900 € .

Quelles sont les diverses possibilités d’achats ?

 

 

Désignons par « x » le nombre de romans (nombre entier) et « y » le nombre d’encyclopédies (nombre entier)

 

 

Les trois contraintes :

D’où :

 

 

Nous devons tracer les droites ” ; ”’ ;


”’’  telles que

 

Etude du graphique :

Le graphique montre « 8 » solutions répondant au problème.

 

Remarque :

Le point « M »  ( 3 pléiade , 6 encyclopédies) correspond à la dépense maximale de 900 €.

Le point « m » ( 2 romans , 3 encyclopédies) correspond à la dépense minimale de 480 €.

 

 

 


RESOLUTION DE PROBLEMES.

 

Exemple : Un fabriquant de meubles  peut fabriquer deux modèles de table , « X » et « Y » , demandant chacun des temps d’usinage et de finition différents. Son bois lui permet d’usiner 11 tables par jour. Un ouvrier  met 3 heures pour usiner une table « X » et 2 heures pour une table « Y ». La personne qui s’occupe des finitions met 15 mn pour finir une table « X » et 1 heure pour une table « Y ».

  

Les quatre ouvriers représentent au total 30 heures de travail  quotidien et la personne qui s’occupe des finitions travaille 8 heures par jour.

 

a)     Chercher le système  d’inéquations vérifiées par  le nombres de tables « X » et le nombre de tables « Y ».

b)     Si le fabriquant veut produire 11 tables par jour, quelles sont ses possibilités ?

c)      Recherchez, parmi les solutions trouvées en « b » si tous les ouvriers  travaillent à temps complet ?

d)     Si une table « Y »  est vendus 10% plus chère qu’une table « X », quelle solution choisira le fabriquant ?

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1°) Donner la procédure qui permet de résoudre « graphiquement » un système d’inéquations  du premier degré à deux inconnues.

 

EVALUATION

 

 

A) Résoudre le système suivant :

 

Corrigé dans le cours.

 

 

B) Résoudre graphiquement les systèmes d’inéquations suivants :

 

a)

 

c)

b)

 

d)

Que reste - t- il de l’ensemble des solutions si l’on ajoute l’équation x + y = 1 ?

 

 

C ) Représenter graphiquement l’ensemble des solutions de chacun des systèmes :

 

a)

b)

 

D ) Montrer à l’aide d’un graphique que le système suivant admet une seule solution entière.

Donner  cette solution.

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Un fabriquant de meubles  peut fabriquer deux modèles de table , « X » et « Y » , demandant chacun des temps d’usinage et de finition différents. Son bois lui permet d’usiner 11 tables par jour. Un ouvrier  met 3 heures pour usiner une table « X » et 2 heures pour une table « Y ». La personne qui s’occupe des finitions met 15 mn pour finir une table « X » et 1 heure pour une table « Y ».

  

Les quatre ouvriers représentent au total 30 heures de travail  quotidien et la personne qui s’occupe des finitions travaille 8 heures par jour.

 

e)     Cherchez le système  d’inéquations vérifiées par  le nombres de tables « X » et le nombre de tables « Y ».

f)        Si le fabriquant veut produire 11 tables par jour, quelles sont ses possibilités ?

g)     Recherchez, parmi les solutions trouvées en « b » si tous les ouvriers  travaillent à temps complet ?

h)     Si une table « Y »  est vendue 10% plus chère qu’une table « X », quelle solution choisira le fabriquant ?

 

Problème N° 2 : Résoudre graphiquement.

On désire acheter pour une bibliothèque des romans de la pléiade (60 € l’un) et des encyclopédies (120€ l’une). On exige les trois conditions suivantes :

1°) Au moins deux romans.

2°) Plus d’ encyclopédie  que de romans.

3°) La dépense doit  être inférieure ou égale à 900 € .

Quelles sont les diverses possibilités d’achats ?

 

(Voir dans le cours pour le corrigé)