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Auteur :
WARME R.
Document :
élève.
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NOM :
……………………………… |
Prénom :
………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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Commentaire
Une
fonction affine peut s’identifier à
partir de quatre modes de représentation :
A) EquationLéquation de la forme : y = ax
+b
C) Tableau de variation (très difficile
)
D) Représentation graphique. (droite ne passant par
"0" )
Cet objectif traite
des généralités sur la fonction linéaire appliquée à l’équation :
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Si
"a" est un rationnel ( fraction ou
écriture fractionnaire) ; " |
y = 
x
+ 2
Notation mathématique de la fonction affine :
f : x 
x + 2
Traduction
en langage littérale :
« fonction » où « x » () " a
pour image" « »
fois « x » plus deux.
Ce
que l'on peut dire de « x
+ 2 » :
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« |
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"2"
est un nombre appelé "constante"
il remplace la lettre "b" |
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« |
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« x »
est la variable de la fonction. |
On dira :
Que
la fonction affine de coefficient
« »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x
+ 2 ».
L’équation
représentant de la fonction affine est
une équation du premier degré à deux inconnues de la forme y = x+2
REMARQUE :
Bien
entendu dans l' équation : y = ax + b il faut que "a" soit
différent de zéro ; au cas ou nous aurions une autre équation qui sera de la forme :
y = 0x + b
soit y = + b
Voir l'étude du cas particulier :
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Etude
de la fonction : y = b |
(En règle général : il est construit à partir d’une équation (calculs) , ou à partir d’un
tracé (relevé des coordonnés de points)
)
Le graphe d ' une fonction affine est de la forme :
G = {( x1 ;
ax1+b) ; (x2 ;ax2+b) ;
......... }
Commentaire:
Le graphe est un ensemble de couples de
nombres (ou suite);du type : ( x ; a x + b )
le
premier nombre est attribué à « x » (valeur choisie)
le deuxième nombre est obtenu , après avoir remplacé "x" par la valeur
précédemment choisie et avoir fait le calcul
« ax
+ b».
Exemple d'
application :
On donne l'équation y = x+2
On
remarque que : l'équation
est de la forme "affine" (on
reconnaît la forme y = ax+b) avec « a » valant
et "b" valant
2 ;
On en déduit que :
le
couple "type" du graphe
aura la forme et sera noté : ( x ; x+2
)
modèle mathématique :
ce qui donnera pour l' équation : y = x+2 ;
le graphe sera de la forme
G = {( x1 ; x1
+ 2) ; (x2 ; x2
+ 2 ) ; ......... }
Si
l'on choisi des valeurs pour "x" on peut alors construire des couples de
nombres et ainsi obtenir un graphe de cette
"fonction"
Construction d’un couple de nombres (à partir
d’une équation) :
Si l’on
donne une valeur à « x »
(exemple : 9 )
on obtient un
autre nombre en utilisant
l’équation y = x+2 ;
(y = 
9+2 ; y =
(18 :3 ) +2 ; y = 6 +2
; y = 8)
c'est ainsi que nous obtenons le premier couple de nombres du
graphe de la fonction « x
+2 » : (9 ;
8)
On
remarque que l’on peut citer un couple
particulier de la forme: (0 ;b ) ; on a donné la
valeur "0" à "x"
Conclusion :
le
graphe représentant l ’ équation y = x
+ 2 est G =
{( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}
Exemples des
représentations graphiques types
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Construction dans un
repère cartésien:
I ) à partir d’un
graphe :
soit le graphe obtenu
précédemment G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}
,ces deux couples de nombres permettent de tracer la
représentation graphique de la fonction .
Procédure : reporter les deux
points ; A ( 0 ; 0) ;
B (9 ; 8 )
remarque : Dans un repère
cartésien , pour le couple (x1 ; x1+2)
à x1 on associe l’abscisse « x » appartenant à
l'axe des "x"
à « x1+2 »
on associe l’ordonnée « y1 »
; appartenant à l'axe des "y"
Si on analyse
ce graphe : G = {( 0 ; 2) ;
(9 ; 8 ) }
On reconnaît que la droite
passe par le point y = 2 pour x = zéro ,
on peut dire le second couple de
nombres (9 ; 8 ) est de la forme (x ; ax+b
) ; à démontrer ce qui n'est pas
évidence au prime abord .
On dit qu’il y a « variation » de « y » en fonction des valeurs de
« x » .
On sait que l’on
obtient la valeur de
« y » en fonction de la valeur
de « x » , ainsi si
« x » varie de valeur
alors « y » doit varier en fonction de « x+ 2 » ,
On dit aussi : que l’on trouve les valeurs
de « y » en fonction des
valeurs de « x » ; on note ce propos par :
y = f (x)
On a le droit d’écrire que
f(x) = y = x+2
Exemple : Nous pouvons regrouper les
couples de nombres calculés à partir
de ( x ; x+2)
Présentation
du tableau de variation:
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A |
B |
C |
O |
D |
E |
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x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
+1 |
+3 |
+6 |
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y = f(x) |
0 |
1,25 |
4/3 |
2 |
+8/3 |
+4 |
+6 |
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Les
coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :
A xA ou horizontalement
A (xA ,yA)
yA
Exemple :
Les
coordonnées du point « A » se notent :
A -3 ou A ( -3 , 0 )
0
Commentaire :
A chaque point
(A ; B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de
coordonnées dans la représentation graphique.
Pour faire la représentation graphique dans un
repère cartésien on prend dans le
tableau ,au minimum, deux points ( A (-3 ;-0); O (0; 2) ;
on trace la droite passant par ces ceux points ; on choisi
un troisième point et l'on vérifie si il est bien sur la droite tracée
précédemment :
E(+3 ;+4).......)
( voir comment remplir un tableau
numérique dit aussi de
variation)
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Exemple de représentation graphique de
l’équation y = |
La
représentation graphique d ’ une équation passe par la
recherche de plusieurs couples de
nombres ,utilisés comme coordonnées .
Deux
points suffissent pour tracer la droite ;plus un
troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette
droite ).
la représentation graphique de la fonction
linéaire est une droite (noté xx +2) , où l’ensemble des points
A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; x+2 )
Caractéristiques de
cette représentation graphique :
n
c’est
une droite (D)
n
cette
droite passe par un point particulier d ’ abscisse (0)
et d’ordonnée (2) , noté (0 ;2).
(cette remarque est importante si l'on veut
faire un changement de repère ,par translation de l'axe des abscisses et pour rechercher la pente de la droite)
n
elle
possède un point caractéristique ; à
d’abscisse valeur « 1 »
correspond la valeur de « » ;
noté P : (1 ; 
)
« »
s’appelle coefficient directeur de la
droite affine ,
c’est un nombre relatif :
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Exemples de
représentation graphique de la fonction
f (x) = |
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A) Représentation graphique de la
fonction f (x) = |
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B) Représentation graphique de la
fonction f (x) = |
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Vous
pouvez remarquer que :
Nous
avons « élargi » l’intervalle de « x » .
En A : nous avons construit la droite dans les « x » positifs.
En B : nous avons construit la droite en prenant
des valeurs de « x » négatives et positives.
Nous
avons pris un repère orthonormé ( les axes sont perpendiculaires et les graduations sont
de même longueur.)
Par
convention:
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Si le nombre "a" est « positif » ,dans la
représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira
que la fonction est « croissante ». Exemple : y = |
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Si
le nombre "a" est
« négatif » ,dans la
représentation graphique la droite "descend" du haut
gauche vers le bas "droit" ,on dira que la fonction est
« décroissante »., Exemple : y = - |
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Exemple d’une
représentation graphique croissante et décroissante. D1 est la droite représentante de l’équation : y = + D2 est la
droite représentante de l’équation : y = - |
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Remarque
: >0 ;
la droite est « croissante »
Le coefficient directeur « »
est un nombre relatif . c’est le coefficient directeur
de la droite de la fonction ou « pente » .
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La pente
. |
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La
pente est un nombre décimal
Calcul
de la pente :Nous avons déjà vu ce type de calcul
dans le cours 23/25
niveau V@ .
Se
souvenir que calculer la pente d’une
droite c’ est calculer
la tangente d’un angle , angle
formé par cette droite et une autre
droite « parallèle » à l’axe
des « x » appelée aussi « horizontale ».
La tangente
d’un angle est égale au rapport de la longueur du coté
opposé à l’angle sur la longueur du côté adjacent à cet angle
.
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Pente =
AB / BC = tangente de l’angle C |
Pente = PA / OA
= tangente de l’angle O |
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Exemple
numérique : On doit calculer
de la pente de droite passant par A et B . On
vérifie que le repère est orthogonal ( ce sera toujours le cas en formation niveau V et IV) AC
est parallèle à l’axe des « x ». ( appelée :
horizontale) BC
est parallèle à l’axe des « y » . ( appelée : élévation) Les
axes « x » et « y » sont
perpendiculaires , donc AC et BC sont
perpendiculaires , on peut conclure
que le segment AB est l’hypoténuse du triangle rectangle ABC. Calcul : On
désigne AC l’ horizontale et BC l’élévation. BC
= 3 et
AC = 4 Tangente
de l’angle A : La
pente de la droite ( notée « a ») . = 0,75 Conclusion
la droite « affine » est une
équation de la forme y = ax + b Dont
on connaît la valeur de
« a » = 0,75 |
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