Pré requis:
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Objectifs EG1 |
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égalités EG2 |
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Expression algébrique (niveau 2) |
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ENVIRONNEMENT du dossier :
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Objectif suivant |
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DOSSIER : DEVELOPPER la forme :k (a
+b)
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COURS |
Interdisciplinarité |
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On dit
« distributivité de la multiplication par rapport à l’addition »
Commentaire :
La condition minimum pour réaliser un développement il
faut avoir un produit de deux
facteurs dont un facteur étant un nombre
ou une lettre ,le second facteur étant
composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes.
Les deux
Modèles mathématiques : k ( a +
b )
ou k ( a – b )
seront traités dans deux objectifs distincts .
Cet
objectif traite le modèle : k ( a +
b )
De quoi se compose un facteur ? ( un
« terme ») :
Un facteur (ou un terme) est un nombre
,ou une lettre, ou l’ensemble des
termes d’une parenthèse.
Différence entre un terme et un
facteur:
les termes
sont situés à droite et à gauche du signe opératoire « plus » ou « moins »,les facteurs sont situés à droite et à gauche du signe
( x ; appelé « croix »
qui signifie « multiplier »).
Termes semblables:
On appelle "termes
semblables" d'un polynôme des
termes qui ne diffère que par les coefficients.
Ainsi l' expression 8a2 +3bc + 5d2 - 4a2
Est un polynôme .( 8a2 , -4 a2 sont des termes semblables.)
Vocabulaire:
le signe opératoire de la multiplication ,en forme de
« croix » , peut se traduire par plusieurs « mots »:
le mot « fois » (
3fois 7)
par « multiplié
par » ( 3 multiplié par 7 )
« fois entre
parenthèses » ( 3 fois entre
parenthèses 5 + 2 ;
pour
3 ( 5+2)
« facteur de » ( 3
facteur de 5 + 2 ; pour 3 ( 5+2) )
CONVENTIONS D’ECRITURE:
Dans les expressions algébriques le signe « multiplier » n ‘ est jamais représenté
On ne trace pas
la « croix » pour éviter toute confusion avec la lettre
« x »,qui est couramment
utilisée pour représenter «
l’inconnue » .
En
l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:
un nombre et une lettre :
3x ;lire « trois fois ixe »
(le mot
« fois » doit être remplacé
par « multiplié par »
)
deux lettres :
« ab » ; lire « a fois b » ou « a » facteur « b »
un nombre
et une racine: 3
;lire « 3
fois racine carré de 18 »
un nombre et une parenthèse :
3 ( 2x + 1) ; lire « 3 fois entre parenthèses 2 ixe plus un » ou
aussi « 3 facteur de 2ixe plus
un »
les groupes de mots « fois
entre parenthèses » et « facteur de » ont la même
signification .
une lettre
et une parenthèse: x (
2x +2) , lire « ixe facteur
de 2ixe plus 2 »
entre deux
parenthèses : (2x+1)(3x+2)
, lire « 2ixe plus
un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )
DEVELOPPER: « Développer » est une activité mathématique
qui a pour but de transformer un « produit » en « somme algébrique » .
Cet objectif traite le modèle : k ( a + b
)
Exemple de situation : le
périmètre d’un rectangle P
= 2 ( L + l )
Si L = 45 et
l = 6 ; alors P = 2 ( 45 + 6 ) ; P =
2 ( 51 ) ; P = 102
Autre situation le périmètre = 102 ; la
largeur = 6 ; calculer L = ?
On peut écrire
102 = 2 ( L + 6) ; dans ce
cas pour trouver « L » il va falloir développer ! ! !
Ici s’arrête l’exemple :
Autres situations de calculs :
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Exemples: |
La solution se trouve dans la suite du
cours ! ! ! ! ! ! ! |
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2 ( 6 +45 ) |
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3 ((+ 4) +(-5)) |
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2 ( x + 3 ) |
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x ( 2x + 5 ) |
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autres exemples :niveau +++ |
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3x ( 7 x
+12 ) |
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x2 ( x
+ 3 ) |
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Procédure
de développement à appliquer : Exemple : a ( b + c )
a
) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.
a
fois b
= ab
b
) Multiplier le deuxième terme du
deuxième facteur par le premier facteur.
a fois c
= ac
c
) Rendre compte:
le
premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé
des deux termes calculés précédemment.
Conclusion : a ( b + c ) = a b + a
c
A
RETENIR
Traduction mathématique: a ( b + c ) = a b
+ a c
On dit aussi :
que
développer c’est « distribuer le
facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »
Applications:
Enoncé: Développer
(en vue de résoudre )
Développer : 2 (
x + 3 ) = ?
on calcule :
a) 2 fois x =
2x et
b ) 2 fois 3
= 6
c) Conclusion:
2 ( x + 3
) =
2x + 6
Autres développements :
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Exemples: |
Développement
(on ne demande de résultat) |
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2 ( 6 +45 ) |
2 |
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3 ((+ 4) +(-5)) |
3 ( +4 ) + 3 (-5) |
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2 ( x + 3 ) |
2 x + 2 |
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x ( 2x + 5 ) |
x2x + 5 x |
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a ( b + c + d ) |
ab +ac +ad |
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autres exemples :niveau +++ |
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3x ( 7 x
+12 ) |
3x |
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x2 ( x +3 ) |
x2 |
6 + 2 COMPTE RENDU d’un résultat : Il faudra ordonner le résultat
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Exemples: on développe
, |
On calcule Pour plus de clarté et par convention on
classera les termes par degré décroissant de l’inconnue « x » |
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2 ( 6 +45 )= 2 |
12 +90 |
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3 ((+ 4) +(-5))= 3 ( +4 ) + 3 (-5) |
(+12) +(-15) = (-3) |
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2 ( x + 3 )= 2 x + 2 |
2x+6 |
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x ( 2x + 5 )= x2x + 5 x |
On écriera « 2 x2 +5x » et non
5x + 2 x2 |
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a ( b + c
+ d )= ab +ac
+ad |
= ab +ac +ad |
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autres exemples :niveau +++ |
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3x ( 7 x
+12 )= 3x |
= 21 x2 +36x |
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x2 ( x +3 )= x2 |
= x3+3
x2 |
TRAVAUX AUTO FORMATIFS
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1° ) Que signifie: Développer ? |
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2° ) Donner la condition minimum permettant de
faire un développement. |
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3° ) Donner le modèle mathématique représentant
ce minimum. |
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I ) Développer les expressions suivantes : |
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9 ( 3 + 5 ) = (pour cet exercice uniquement ne pas effectuer
les calculs!!) |
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3 ( 4 + 2x ) = |
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4 (3x
+ 5 ) = |
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x (2y
+ 5x ) = |
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Série2 |
Développement
(on ne demande de résultat) |
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2 ( 6 +45 ) |
2 |
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3 ((+ 4) +(-5)) |
3 ( +4 ) + 3 (-5) |
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2 ( x + 3 ) |
2 x + 2 |
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x ( 2x + 5 ) |
x2x + 5 x |
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a ( b + c + d ) |
ab +ac +ad |
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autres exemples :niveau +++ |
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3x ( 7 x
+12 ) |
3x |
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x2 ( x +3 ) |
x2 |
Géométrie :
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Périmètre d’un rectangle : P
= 2 ( L + l ) |
Longueur |
largeur |
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P = 102 |
L = 30 |
l = ? |
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P = 102 |
L = ? |
l = 15 |
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CORRIGE
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Série2 |
Développement (on ne demande de résultat) |
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2 ( 6 +45 ) |
2 |
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3 ((+ 4) +(-5)) |
3 ( +4 ) + 3 (-5) |
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2
( x + 3 ) |
2 x + 2 |
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x ( 2x + 5 ) |
x2x + 5 x |
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a
( b + c + d ) |
ab +ac +ad |
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autres
exemples :niveau +++ |
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3x
( 7 x +12 ) |
3x |
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x2 ( x +3 ) |
x2 |