Pré requis:

Les opérations avec les décimaux relatifs :

Addition - Soustraction – Multiplication – Divisions – Rationnels

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

TITRE : RESUME : TRAVAUX NUMERIQUES ( 3^è/ seconde).


	Relations d’ordre.
	Règles de calcul sur les inégalités.
	Les intervalles
	Encadrement.
	Valeur absolue.

Travaux ; devoirs			Corrigé
TEST	Contrôle	évaluation	Contrôle	évaluation

Interdisciplinarités : (matière concernée)

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

COURS

Un nombre peut - être désigné de diverses façons. Lorsqu'on cherche une manière simple de désigner un nombre défini par une certaine écriture, c'est en fait cette écriture que l'on simplifie, et non le nombre donné sans ambiguïté par l'énoncé. Lorsqu'une écriture contient des lettres, et désigne un nombre, chaque fois que les lettres sont remplacées des nombres, on appelle cette écriture "expression algébrique" . Ex: 2x+5y- z

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I ) Rappels : LES ENSEMBLES

Info +

On retiendra que :

N désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.

Z désigne l’ensemble des nombres entiers relatifs

D désigne l’ensemble des nombres décimaux

Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

R désigne l’ensemble des nombres réels. ( les réels non rationnels sont dit irrationnels.

En résumé : N Ì Z Ì D Ì Q Ì R

Info .

II ) RELATIONS D’ ORDRE

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Relation d’ordre avec les décimaux relatifs.

Un réels « x » non nul est soit strictement positif ( on écrit x> 0) soit strictement négatif ( on écrit x < 0)

Le produit de deux réels de même signe est strictement positif.

Le produit de deux réels de signe contraire est strictement négatif.

La relation d’ordre est la relation « ³ » par définition : x ³ y équivaut à x- y ³ 0

La relation d’ordre est une inégalité simple et elle en possède les propriétés.

Autres Propriétés de la relation : ³

Quelque soient les réels « x » « y » , « z » , on a :

	A vérifier avec des nombres

Si et alors

Si x ³ y et y³ z alors x ³ z

équivaut à

Si , alors

Si et , alors

Si x< y et a<b alors < y+b

Si : et ;

Si et ;

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Règles de calcul sur les inégalités.

résumé

Soit « a » , « b » , « c » et « d » quatre nombres réels

	a £ b équivaut à		A vérifier avec des nombres.



	, si et






Info		Les INTERVALLES

Soient « a » et « b » des réels tels que a £ b

Un intervalle est l’ensemble R , noté ] - ¥ ; + ¥ [

ou l’un des sous ensemble suivants :

Ensemble des réels « x » tels que	Noté	Exemples :

	[ a ; b [
	] a ; b ]
	] a ; b [

	[ a ; + ¥ [
	] a ; + ¥ [
	] - ¥ ; b ]
	] - ¥ ; b [

L’intervalle [ a , b ] a pour centre et pour rayon

Lorsque , on dit que « » et « » encadrent « ».

Info+

►Les encadrements sont des doubles inégalités ; Ils ont les mêmes propriétés que les inégalités simples : addition membre à membres des encadrements de même sens…….

Mais , comme pour les inégalités simples , on n’ a pas le droit de les soustraire ni de les diviser . Lorsque l’on veut encadrer une différence « a - b » , on commence par encadrer (-b) puis la somme « a + (-b) , c’est à dire « a - b »

De même, pour encadrer un quotient , on encadre puis le produit , c’est à dire

D’un encadrement, on peut déduire un autre encadrement en agrandissant celui de départ, jamais en le diminuant.

► « x » étant un nombre rationnel ou irrationnel ;

« x » peut être exprimé en valeur « a ± r » où « a » est une valeur approchée de « x » à « r » prés

Ainsi : « x » peut être compris entre « a » et « a+r » soit a £ x £ a + r

On dira que : « a » est une valeur approchée par défaut de « x » à « r près »

Ainsi : « x » peut être compris entre « a - r » et « a » soit a -r £ x £ a

On dira que : « a » est une valeur approchée par excès de « x » à « r près »

Nous pouvons écrire l’encadrement , ce qui signifie que « a » est une valeur approchée de « x » à « r près »

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Valeur absolue.

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Pour tous réels « a » et « b » , la valeur absolue de « a » se note :

Dans l’intervalle [ a , b ] où « a » et « b » encadrent un nombre « c » , la distance de « a » à « b » se note : d ( a, b)

Pour tous réels « a » et « b »	A vérifier avec des nombres	Pour tous réels « x » et « y »	A vérifier avec des nombres

Si a ³0 ;		Si x ³ 0 , alors
Si a £0 ;		Si x £ 0 , alors
³ 0

équivaut à a = b ou a = -b		équivaut à x = y ou x = - y

Suite à ce qui a été vu dans « l’encadrement »

Pour tout réel « a » et tout réel positif « r » , les énoncés suivants sont équivalents :


d ( x, a) = r	d ( x , a ) £ r
x = a - r ou x = a + r	a- r £ x £ a + r
x Î [ a - r , a + r ]	x Î [ a - r , a + r ]

Distance .

Info +

Attention : Ne pas confondre « mesure algébrique d’un bipoint » et « distance entre deux bipoints. »

La distance entre des réels « x » et « y » est , par définition :

d ( x , y ) =

Sur la droite D de repère ( O , ) soient A et B les points d’abscisses respectives x = ( - 3) et y = (+ 4) . On a d (x , y ) = AB tel que d ( -3 ; +4) = AB