Système d'équations du premier degré à une inconnue

Pré requis:

Les Segments et droites graduées
Les intervalles
Les demi droites
Les inégalités….

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

Objectif précédent :

1°) Système : définition.

2°)Inéquation du premier degré à une inconnue

Objectif suivant :

1°)Problème du premier degré.

2°) Système du premier degré à deux inconnues

DOSSIER : SYSTEME d’ INEQUATIONS du premier degré à une inconnue.

- par le calcul.

- Avec la solution graphique

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS:

A) Solution par le calcul…..

Par définition : résoudre un système d’inéquations c’est trouver les valeurs de « x » qui satisfont à la fois à toutes ces inéquations

Ainsi , lorsque l’on doit résoudre un système de deux inégalités.

Les solutions du système sont les valeurs de « x » qui satisfont à la fois aux deux inégalités.

Exemple 1 :

Soit le système :

La première inégalité devient successivement :

La deuxième inégalité devient :

4x -

x >

« x » doit donc d’une part être inférieur à , d’autre part supérieur à , il n’y a pas contradiction.

Les solutions du système sont les nombres compris entre et ,

ce que l’on peut écrire par la double égalité : < x < ;

Ce qui se lit : « x » compris entre et ;

Remarque. -

Il peut se faire que les conditions auxquelles « x » doit satisfaire soient contradictoires ; dans ce cas le système est « impossible ».

Exemple 2 :

Résoudre le système :

L’inéquation (1) a pour solution x <1 et l’ inéquation (2) a x < -3

L’intervalle non barré donne pour solution du système x < - 3

Exemple 3 :

Résoudre le système :

L’inéquation (1) a pour solution x > 1 ; l’inéquation (2) a pour solution x < -3 .

Conclusion :le système proposé n’ a pas de solution.

Exemple 4 :

Résoudre :

On résout séparément chacune de ces inéquations, nous obtenons :

x < 2 (1) ; x < - 2 (2) ; x > - 5 (3)

solution graphique : Marquons sur un axe xx’ les points correspondants à ces nombres et barrons les valeurs de « x » qui ne conviennent pas à chacune des inéquations . L’intervalle non barré [ -5 ; - 2 ] sont les solutions du système ; soit : -5 < x < - 2

B) Solution par le calcul et le graphique…..

La représentation graphique permet de visualiser plus clairement l’expression de cette solution.

On reprend la résolution des deux inéquations vu précédemment !!!

Exemple 1
	: Résoudre le système suivant :
	Résoudre l’inéquation (1) 3x – 5 2 x + 8
	Résolution : 3x – 2 x + 8 + 5 x 13	Résolution pratique :: on ajoute « -2x » dans chaque membre. 3x – 5 – 2 x 2 x + 8 - 2 x 3x – 5 – 2 x + 8 + 0 on ajoute « +5 » dans chaque membre : 3x – 5 + 5 – 2 x + 8 + 5 on obtient : 3x + 0 – 2 x + 8 + 5
	Représentation graphique des solutions :
	Remarquez que le crochet indique que la valeur « 13 » est incluse comme solution….
	Résoudre l’inéquation (2) 7x + 4 4 x + 19
	Après une double transformation : 7x – 4 x + 19 – 4 Ensuite après « regroupement » : 3x + 15 Soit : x 5	Après réduction….
	Remarquez que le crochet indique que la valeur « 5 » est incluse comme solution….
	En résumé : les deux solutions sont : x 13 et x 5 écrit autrement : 5 x 13 On représente sur le même axe les deux solutions :

Exemple 2 :
	Résoudre le système suivant :
	Résoudre l’inéquation (1) : 3 x + 5 21 – 5 x
	Après une double transformation : 3 x + 5 x 21 - 5
	après « regroupement , on obtient : 8 x 16
	Soit la solution x 2

	Résoudre l’inéquation (2) : 2x – 8 < x – 7
	Après une double transformation : 2x – x < -7 + 8 Ensuite ; après « regroupement » : x < 1
Soit la solution : x < 1
	Remarquez que le crochet indique que la valeur « 1 » est exclue comme solution….
	Solution finale : x < 1
	Soit la représentation graphique : L’ensemble des solutions est représenté par la partie non hachurée de la droite.

Exemple 3
	Résoudre le système d’inéquation :
	Résoudre l’inéquation (1) - 4 x + 4 10 – 6 x - 4 x + 6 x 10 – 4 2 x 6 x 3

	Résoudre l’inéquation (2) x - 5 3x – 9 x - 3 x -9 + 5 - 2 x -4 x 2

	Regroupement des résultats :
	la droite ne présente pas de partie non hachurée. Conclusion : le système n’admet pas de solution.