Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 9 / 25

 

Documents « élève ».

 

LA PROPORTIONNALITE

et

préparation et lien avec

 

La fonction "linéaire"

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

 

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

 

Leçon

Leçon

N°9

LA PROPORTIONNALITE 

 et les calculs sur la proportionnalité ; son  application linéaire .

CHAPITRES

1)     Suites de nombres proportionnelles .

Info plus ! ! !

1)     Proportion et produit en croix

Info plus !!

2)     Coefficient de proportionnalité .

Info plus ! ! !

3)     Ecriture algébrique dite « équation »

Info plus ! ! !

4)      Tableau de proportionnalité .

C d INFO plus ! !

5)      Recherche du coefficient de proportionnalité 

Info plus !!!!!

6)     Représentation graphique d’une proportion

Info plus !!!!

7)     Problème résolu de proportionnalité.

Info plus !!!!

8)     Application linéaire .

Info plus ! ! !

 

COURS

 

i9

VOCABULAIRE  déjà utilisé : (Rappels)

:i

 

 I )  Rapport :

 

  On appelle « rapport » : le quotient obtenu par la division d’un nombre par un autre nombre.

 

   Le modèle mathématique d’un « rapport » est « une écriture fractionnaire fraction ».

 

Exemples :

Quotient :

Commentaire :

 

6 / 2  =  3

 

3

 

Le quotient est un nombre entier.

 

4,5 :2  =

 

2,25

 

Le quotient est un nombre décimal

 

8 : 3

 

 

Le quotient est une fraction irréductible  dit « rationnel »

 

* rapport de deux grandeurs :  en arithmétique le rapport de deux grandeurs ,le nombre qui exprime  la mesure de la première grandeur lorsqu’on prend la seconde pour unité , ou encore  quotient du nombre qui mesure la première par le nombre qui mesure la seconde avec la même unité ..

 

II ) Rapports égaux :

 

   On appelle « rapports égaux » des divisions  qui ont le même quotient  ( et dont le reste des divisions est identique ) .

 

- Le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions.

Exemple :  

 

- Traduction en langage   mathématique :

                        

 

 

Exemples types  :

Les quotients :

Commentaire :

 

6 / 2  =  3 ;  12 / 4  = 3

 

3

 

6 / 2  et  12 / 4 sont des rapports égaux

 

4,5 :2  =     ; 13,5 : 6 =

 

2,25

 

4,5 :2   et 13,5 : 6 ; sont des rapports égaux

 

8 : 3 ;    40 : 15

 

 

Le quotient peut être un nombre entier, un nombre décimal  ou une fraction .

 

II ) Suite de rapports égaux : 

 

  Lorsque nous avons plus de deux rapports égaux  nous pouvons  dire que nous avons  une « suite de rapports égaux » , le quotient de chaque rapport étant identique , ce quotient  est un nombre de valeur  « constante » , on l’appelle  « k »  (coefficient).

 

-   Traduction en langage mathématique :

                                              

 

Application :   ;      on trouve le même quotient donc  k = 5

 

FIN du rappel.

 

i9

La proportionnalité :

Info plus ! ! ! !

 

i9

I                       Proportion

Info plus !! et :i

 

Définition :

                  -   L'égalité de deux rapports est appelée "une proportion".

                  -  On appelle « proportion » l’égalité de deux rapports.

Recherche d’une proportion :

Cas : il y a proportion

 

Cas il n’y a pas proportion

  est ce que ces deux fractions forment  une proportion ?

  est ce que ces deux fractions forment  une proportion ?

Réponse :  oui si !!!!

Réponse :   

Réflexion :  Si  le quotient des divisions sont identiques , nous avons une proportion.

Réflexion  Si  le quotient des divisions sont identiques , nous avons une proportion.

Calculs :

9 : 3  = 3    ;  18 : 6 = 3

Etude du résultat du calcul :  le quotient est identique , le reste = 0

Calculs :

9 : 3 = 3   ; 27 ; 3 = 9

Etude du résultat du calcul :  le quotient est n’est pas identique .

 

Conclusion :

Les deux fractions forment deux rapports égaux c’est une proportion.

Conclusion :

Les deux fractions ne forment  pas deux rapports égaux ; ce n’est  pas une proportion.

Lorsque le quotient est identique et que  le calcul ne « tombe pas juste (c’est à dire que  reste différent de zéro ) » Une autre possibilité de calcul permet de vérifier si deux fractions sont égales : il faut calculer le « produit en croix » . ( on verra cette pratique plus loin dans le cours ) .

Exemple :on a deux fractions   

Les produits  de  ( 8   6  = 48   )  et  (16   3  = 48  )  sont  appelés "les produits en croix".

Dans la proportion   ; les nombres  « 8 » et « 6 » sont appelés "les extrêmes"  et  les nombres  « 3 » et « 16 » sont appelés "les moyens".

i Dans une proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Rappel    C d :  les  fractions équivalentes :

Généralisation :

 Pour vérifier si deux fractions sont équivalentes on fait le produit en croix .1

Traduction symbolique :   Deux fractions ( et    )     sont équivalentes,  c’est à dire :   =        

                                               

                                                 si          Num.1  x  Déno.2  =  Num.2 x Déno.1

 

Traduction littérale :

Deux fractions sont équivalentes si le produit du numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction est égal au produit du numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction.

Exemple : la fraction     est - elle égale à l’ écriture fractionnaire   ?

 

Solution : « oui » si  3 fois 37,5   est égal à    15 fois 2,5   ;

Calcul  n°1:  3 fois 37,5 = 112,5 ; calcul  n°2  15 fois 7,5 = 112,5

Conclusion :    on trouve pour les deux multiplications le même produit « 112,5 » ; on peut écrire que 

i9

II .        Coefficient de proportionnalité

Info plus ! ! !

 

Définition :  Le coefficient de proportionnalité est un nombre .

Ce nombre peut être « entier » ; « décimal » , « rationnel » , et  relatif ou pas relatif

 

Ce nombre, qui l’on appelle  : coefficient de proportionnalité  est obtenu par « calculs »  : ces calculs  sont une suite de divisions dont on obtient le même quotient  .

On obtient ce coefficient   lorsque  l’on  divise  chaque valeur  de la première  suite par le nombre correspondant  ( valeur correspondante : qui occupe le même rang )  de la seconde suite .

Exemple :   On obtient un nombre  en divisant  1,5  par 3  ( = 2)  ,  ce nombre « 2 » on le retrouve en calculant   8,6 par 4,3   , puis en divisant  19,2  par 9,6 . Conclusion ce nombre est identique . »2 » est appelé «  coefficient de proportionnalité  » , Ces valeurs numériques ,regroupées  dans un tableau , donne un nom particulier au tableau : on l’appelle « tableau de proportionnalité »  

 

Généralisons :  Si   deux  suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels : si l’on met ces nombres dans un tableau , on obtient un tableau de proportionnalité.

 

Le tableau  ci dessous   est appelé « tableau de proportionnalité »

  ´ 2      

¯

1,5

4,3

9,6

Dans cette   Ligne supérieure  les nombres forment la    « Première suite »

 ¸2  ­

3

8,6

19,2

Dans cette   Ligne inférieure   les nombres forment la    « seconde suite »

 

Pensées: 2 est le Coefficient  de proportionnalité 

 

 

 


Vérifications :   On a bien   4,3   2 =  8,6     et     9,6  2 = 19,2

 

Calcul du coefficient  de proportionnalité :

Le coefficient de proportionnalité est égal au rapport des nombres de la deuxième suite aux nombres correspondants de la première  suite .

Exemple de problème : les deux suites forment -elles une suite de rapports égaux ? si oui , quel est la valeur du coefficient de proportionnalité ?

Soit La première suite    { 1,5 ; 4,3 ; 9,6  } est  la deuxième suite { 3 ; 8,6 ; 9,2}

On cherche par le calcul si les deux suites possèdent un coefficient de proportionnalité , pour cela on effectue les calculs suivants   : (on divise les nombres de la deuxième suite par les nombres de la première suite en respectant la position de chaque nombre dans chaque suite )

Ce qui donne les opérations suivantes à calculer :

                    3 / 1,5  = ?     ;   8,6 / 4,3 = ?    ;  19 ,2 / 9,6 = ?

On effectue chaque division :

 Résultats : 3 / 1,5  = 2     ;   8,6 / 4,3 = 2    ;  19 ,2 / 9,6 = 2

Analyse des résultats : tous les  quotients sont  identiques , on trouve  « 2 »

Conclusion :  On peut conclure que « 2 » est le coefficient de proportionnalité 

 

i9

III   )    Rechercher si deux  suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels

Info plus ! ! ! !

 

Définition : Deux suites de nombres forment  une suite de nombres proportionnels (rapports égaux)   si le rapport entre les nombres de la première suite et les nombres correspondants (même classement dans la suite )  de la deuxième  sont    constant . ( même valeur )

 

Exemple :

Soit la première suite S1 = { 2 ; 6 ; 10 }    ; soit la deuxième suite  S 2 = { 4 ; 12 ; 20 } , sont - elles  proportionnelles ?

1ère Solution : si     2/4  = 6 / 12  =  10 /20

si  { 2 ; 6 ; 10 }  et { 4 ; 12 ; 20 } sont deux suites  de nombres proportionnelles   car  en faisant une simplification  (ou calcul) des rapports on peut  montrer que 

Rectangle à coins arrondis: 0,5  =   =   =   ;  ;   deviennent    ;

   donne un nombre constant   0,5

 

Proportionnalité et « l ’équation » :  y = a x  (qui est REPRESENTANTE  de  la fonction dite « linéaire »)

 Info plus ! ! ! ! !

Vocabulaire : on dit  aussi q ‘ une  « équation » est une «  écriture algébrique »

iLa fonction linéaire est le modèle algébrique  permettant de traiter  toutes les situations  problèmes de la proportionnalité.

Problème « exemple » :   2 kg de pommes  valent 1, 6 €   ; 3 kg valent  2,4 € ; 5 kg valent  4 € . Montrer qu’il y a « proportionnalité ».

On montre qu ‘il y a proportionnalité  en effectuant les calculs (1,6 ¸2 ; 2,4 ¸ 3  et 5 ¸ 4) ; ce qui nous permet d’écrire la suite de nombres « proportionnels » :

=  0,8   (0,8 étant le prix au kilogramme)

On peut dire que le prix à payer est égal  à 0,8 € multiplié par le nombre de kilogramme acheté.

Si on désigne par « y » le prix à payer ; par « x » le nombre de kilogramme acheté on peut écrire la formule :                  y  = 0,8 x 

Si le kilogramme de pomme passe à 1,2 € le kilo ; on établira la formule : y = 1,2 x

On voit que l’on a une formule qui s’écrit sous la forme algébrique :  y  =  a x ;

Remarque 1 :           On pourrait tracer la droite d’équation « y = 1,2x » dans un repère cartésien.

Remarque 2  « vocabulaire » : On dit que « y » est obtenu « en fonction de « x » que l’on écrira en symbole : f (x)   .

Alors on remplacera  l’équation «  y = 1,2 x »  et l’on écrira que  la fonction est  « f(x) = 1,2 x   »

+Généralisation :  On peut mettre les  suites de  nombres précédents sous la forme d’

 

une suite de rapports égaux ===......... ;

 

 

On peut dire que cette suite est égale au rapport   des     

 

 

Ce rapport est un coefficient qui est égal au nombre  que l’on nommera  « a » .

On peut donc écrire  que :     ===    

On  a  décidé de transformer ces  rapports de la forme         par  l’écriture  y = ax

c’est une autre  forme  d’écriture dite « algébrique », cette écriture algébrique est une égalité  appelée « équation » .

 

 

Cette   équation  qui est de la forme « y = a x »  est appelée : « équation de la fonction linéaire » .

Exemples d’équations : ( tous les « a » sont positifs)

  y = x     ( a = 1)  ; y = 2x  où ( a= 2 )  ; y = 2,34 x  ou (a = 2,34)  ; y = 1,05 x  où (a = 1,05)  ;  y = 5,24 x      (a = 5,24) ; ……

 

+   Application à des cas  concrets  (Adapté à la vie quotidienne)

D’autres applications seront traitées dans le  cours   10 /25 .

Série  1 :  

►Problème 1°)

   Le prix d’un kg de fruit est de 0,8 €. Donner une formule permettant de calculer le prix à payer en fonction de la masse achetée.

Solution 

Pour tout achat de ces fruits , on a :

                prix à payer  =  prix au kg nombre de kg

Si on appelle « x » le nombre de kg achetés  et « y » le prix à payer  on écrira :

                y = 0,8 x .

iL’expression algébrique  permettant de calculer le prix à payer (seconde valeur) en fonction  du prix à l’unité  est de la forme    y = ax

►Problème 2°)

 J’achète des pommes à 1,53 € le kilogramme ; quelle sera  la relation mathématique à utiliser ?

Solution : si « y » est le prix à payer et « x » le nombre de kg , 1,53  est le coefficient de proportionnalité .                    je dois payer : y = 1,53 x

Applications :

-si je prend  4,5 kg      ;   je payerai     y = 1,53 fois 4,5 ; soit  6,885 €

-si je prend  1, 350 kg ;    je payerai     y = 1,53 fois 1,350  ; soit  2,0655 €

 

Conclusion : Avec la relation y = 1,53 x  je peux  calculer la somme à payer quelque soit la masse; je multiplie la valeur de cette masse  par 1,53 .

►Problème n° 3

J’ai payé  7,2 €  pour des pommes vendues 0,8 € au kg . Quelle est la masse de pommes achetées ?

Solution : On sait  que la relation  à utiliser  est       y =  0,8 x

On connaît « y = 7,2 »   , on peut écrire   7,2  = 0,8 x   

Pour calculer « x » on transforme l’équation :

On simplifie  pour obtenir :     

Donc   x =  7,2   ¸  0,8   ;   soit    x =  9

conclusion :   la masse de pommes achetées est de   9 kg.

Série  2 :   Autre méthode de résolution d’un problème sur les proportionnalités :

on raisonne en passant par le tableau de proportionnalité.

  Problème n° 4  : J’ai payé 7,2 €  pour 10 kg pommes  combien paierai-je  pour  4 kg ?

solution :  (on établit le tableau suivant)

Nombre de kg

10

4

Prix payé

7,2

x  )

Calcul : On fera le produit en croix :

10   ´ ( x )  =  7,2   ´  4   ;  on transforme :  ( x) =  ( 7,2 ´ 4 ) ¸ 10 ;       x  = 2,88

Conclusion : le prix à payer pour 4 kg est de 2,88 €.

C d INFO plus ! !

+Première approche : nous avons vu précédemment  que nous pouvions mettre  dans un tableau des valeurs calculées.

Rectangle à coins arrondis: Ce tableau est appelé « tableau de proportionnalité »Problème  n° 5 : J’ai payé  pour des pommes vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’achète  une masse de 1,5 kg ; 4,3 kg  et 9,600 kg ;  pommes achetées ?

 

 

 

  ´ 2     

¯

1,5

4,3

9,6

Dans cette   Ligne supérieure  on met le nombre de  kilo acheté .

 ¸2  ­

3

8,6

19,2

Dans cette   Ligne inférieure   le prix à payer

 

Pensées: 2 ( prix au kilo )est le Coefficient  de proportionnalité 

 


+Deuxième approche : théorique

Problème  n°6  :

J’  achète  des pommes vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’ achète  une  masse  « quelconque » ( notée par la lettre « x » ) de pommes achetées ?  

On demande  d ’ établir l’équation  et de construire un tableau ou l’on peut connaître les prix à payer  pour  des sacs contenant 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 et  5 ( kilos achetés)

Solution :

1°)On pose : « x »  pour les kilos achetés ; « y » pour le prix à payer ; 

2°) On en déduit l’équation «  y = 2 x »

Rectangle à coins arrondis: Dans cette   Ligne supérieure  les nombres forment la    « Première suite ». Les valeurs de « x » sont  

 

 


3°) On en construit le tableau  de proportionnalité :

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

Rectangle à coins arrondis: Dans cette   Ligne inférieure   les nombres forment la    « seconde suite », les valeurs de « y » sont calculées .on sait que  les valeurs de « y = ax »

 

Rectangle à coins arrondis: Procédure : On construit deux lignes  « x » et « y » et autant de colonnes que de valeurs cherchées.
On remplit la ligne des « y ».
 

Application :  on sait que  y = 2 x 

 

 

 

 

x

1,5

2

2,5

3

4

5

 

y

3

4

5

6

8

10

 

On multiplie tous les nombres : 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; ……par « 2 » pour remplir le tableau.

 

IV.               autre activité demandée :

on   Recherche le  coefficient de proportionnalité

Info plus !!!!!

La recherche du coefficient de proportionnalité est un autre  moyen de traiter les problèmes de proportionnalité.

Problème n° 7 : j’achète 9 kg de pommes pour 7,2 € ;  une  offre  promotionnelle propose un lot de 3 kg de ces mêmes pommes à   2,99 €.

Y a - t-il un rapport de proportionnalité ?

Solution :

Pour le savoir  on effectuera les deux calculs  suivants   ( 7,2 : 9  et  2,55 : 3 ) et puis on comparera  le résultat de ces calculs :  7,2 : 9 = 0,8 ;   2,55 : 3 =   0,85 ;

  0,8 et 0,85  ne sont pas égaux !

Conclusion : Il n’y a pas  de proportionnalité parce que l’on a pas obtenu le même quotient.

 

VII.      autre activité : Faire la Représentation graphique  d' une proportion

Info plus !!!!!

La représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine .( O ) du repère

Exemple  N°8 : Un cycliste  se déplace à la vitesse moyenne de 20 km par heure ( 20 km/h ou 20 km.h-1 ).Déterminer l’équation « y » distance parcourue(km) en fonction de « x » durée du parcours(h) ; construire un tableau  de proportionnalité  avec  x = 1 h ; 2h et 3 h ; Tracer la droite  dans un repère cartésien. 

a)  L'équation algébrique  est    y = 20 x

Avec  " y " la distance parcourue, "x"  la durée en heure.

b) tableau :

Durée en h.

1

2

3

Distance   parcourue

20

40

60

c ) représentation graphique ( on reprend le tableau précédent on nomme les colonnes )

                Points ®

A

B

C

Durée en h.

1

2

3

Distance  parcourue

20

40

60

d) On trace le repère ( sur « x » 1h = 2 cm ;  sur « y » 20 km = 1 cm )et puis on place les points  A ( 1 ; 20) ; B ( 2 ; 40 ) ; C ( 3;60 )

La représentation graphique est une droite

Rectangle à coins arrondis: Il reste à tracer la droite passant par O ;A ; B ;C

 

Rechercher  un  complément d'informations  à la lecture de la représentation  graphique, et interpréter certains événements   :

Soit la représentation graphique ci- contre.

« Soit un cycliste qui quitte un lieu en un point O » .

1°) Compléter le tableau ci - dessous :

 

?

G

?

D

F

?

E

?

Durée en h.

0

 

1

 

 

2

 

3

Distance

parcourue

0

 

20

 

 

40

 

60

2°)  Quel commentaire peut - on faire  sur  les  points : G : D ; F et E ?.

 

 

Solution :a)  Après avoir remplir le tableau :

 

 

O

G

A

D

F

B

E

C

Durée en h.

0

0,5

1

1,30

1,75

2

2,50

3

Distance

parcourue

0

10

20

30

35

40

50

60

 

b) On peut faire les  commentaires suivants :

au point "G"   il met 0,5h  pour parcourir  10 km

au point "D"  il parcourt 30 km en 1,5 h

au point "F"  en 1,75 h  ( 1 .h  ou 1 h 45 min)  il  a parcouru 30 km

au point "E" il a parcouru  50 km au bout de 2,5 h ( 2h 30 mn )

 

 

 

IX)  Application linéaire .

Pré requis : repérage  et les calculs

1°) Info plus ! fonction linéaire présentation! !/

2°) fonction et application

Revoir ce dessus pour ce qui est du vocabulaire employé. !!!!!!         Dans ce chapitre

1°)  il faut savoir : compléter et utiliser un tableau de proportionnalité , et ;

2°) il faut savoir  déterminer , représenter et utiliser l’application linéaire liée à une situation de proportionnalité .

1°) Application linéaire :

·   «  k »  est un nombre non nul (  ¹ 0) 

· l’application linéaire de coefficient « k » fait correspondre à chaque nombre « x » le nombre  «  k ´  x ».

on notera  le  calcul  de  k ´ x = y    soit                y = k x   ,

   on dira  que le produit  de  « k x »  est l’image  de « x » par l’application linéaire de coefficient « k » . On dira donc   que  «  x  à pour image   k x »

 

remarque :On remplacera l’expression « à pour image »  par la flèche ci contre :          (cette  flèche  est orientée de gauche  vers la droite, la flèche aura un talon (trait vertical lié)

 

«  x  à pour image   k x » : on notera cette phrase par l’écriture symbolique :     x    k x

 

 

· Si l’application linéaire s’appelle «  » et  si « y » est l’image de « x » ;   ( remarque : « y » est le produit de k x )

 

 on notera                  y =    f (x)                               remarque : On lira que chaque valeur  de « y » est obtenu en fonction de la valeur de « x »:

 

 

 

2°) Application linéaire liée à une situation de proportionnalité .

exemple :    x -3,5 x  est associé à  ce tableau de proportionnalité

´ -3,5¯

x

 

- 3

-

0,4

1

2

 

y

 

+10,5

+1

-1,4

-3,5

-7

 

3°) Représentation graphique .   ( voir chapitre ci dessus : 6° )Représentation graphique  d' une proportion )

La représentation graphique de l’application linéaire de coefficient « k » est la droite d’équation  y = k x

Elle passe  par  le point  « O » ( 0 ;0)  et par le point « A » ( 1 ; k )

4°) Coefficient :

l’application linéaire   f   telle que  f ( 2)  =  ( -13)

            à pour coefficient      car           

en généralisant : l’application linéaire   f   telle que  f(x)  =  k x

            à pour coefficient « k »  =

La  représentation graphique d’une fonction linéaire est  une droite  qui passe par « O »

 

 


 

5°) Exemple de représentations graphiques :

Modèle : droite passant par l’origine  « O »

 

 

 

 

 

Les tracés ci contre et ci dessous sont des exemples de tracés utilisés dans la vie courante.

 

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par « O ».

 

 

D1   ; D2 ; D3 ; D4   sont des droites passant par « O »

 

Attention  de ne pas confondre : dans l’exemple ci dessous les deux droites sont  parallèles .

La droite d’équation  « y = (17x) / 20 » est la seule  qui passe par « O » , elle est la représentante d’une fonction linéaire.

 La droite d’équation  « y = [(17x) / 20] + 2  » ne passe  pas par « O » , elle n’ est pas  la représentante d’une fonction linéaire , elle est la représentante d’une fonction  dite  « affine » .

 

 

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