Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n°2 / 25

 

 

INFORMATIONS sur

 

LA    FRACTION

 

 

et Calcul de DUREE

 

 

 

(INITIATION : Conversion  sexagésimal en décimal et vis à versa.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                         

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

DOC. INFO: Professeur ; Formateur

2/26

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

Titre :   FRACTIONS – ECRITURE  FRACTIONNAIRE  - DUREE.

DOSSIER  N°2  COURS  INTERACTIF :

 FRACTIONS – ECRITURE  FRACTIONNAIRE  - DUREE.

Information « TRAVAUX »

Cliquer sur  le mot « cours » !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir identifier une fraction, savoir utiliser la fraction ; Ecrire une fraction sous forme décimale.

- Savoir reconnaître et identifier des fractions égales.

- Savoir multiplier une fraction par un nombre.

- Savoir passer d’une Durée exprimée dans le système décimal dans un système sexagésimal et vis versa .

I ) Pré requis:

Division : (notion)

.

Fraction : progression vue en primaire.

.

Information  sur  La fraction  en arithmétique.

.

Fraction : unité

.

Pré requis : sur la fraction (pour niveau +++).

.

Lecture : la fraction ( nomenclature)

.

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

Objectif précédent :

1°) les nombres.

Objectif suivant :

1°) les 4 opérations

Ensuite :les  Opérations avec deux fractions.

3°) Valeur numérique d’une expression littérale

)Tableau :

)Liste des cours

3°) les opérations sur les fractions .

4°) calcul numérique : la fraction.

 

III )  LECON  n° 2 :

FRACTIONS – ECRITURE  FRACTIONNAIRE  - DUREE.

 

Chapitres :

 

Travaux  spécifiques : niv VI et V

Fraction

INFO 1  plus ! ! ! ! !

Dossier 138 - 139

Fraction décimale ; écriture décimale d’une fraction décimale et non décimale.

INFO 2  plus ! ! ! ! !

Dossier 150  et   Dossier 151

Fractions égales ( équivalentes)

INFO 3  plus ! ! ! ! !

Dossier 160  et dossier 162 - 163

Multiplication d’une fraction par un nombre

INFO 4  plus ! ! ! ! !

Dossier 158   et   Dossier 159

Calcul de durée   ( système sexagésimal)

INFO 5  plus ! ! ! ! !

Dossier 173

 IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

 

Travaux auto -formatifs

INTERDISCIPLINARITE : voir cas par cas ! !

 

 

Test

 

COURS  

Contrôle

Evaluation :

Travaux complémentaires :

 Série 1

rie 2

Série 3

 

Sciences :

- Les durées (n°1).

-  Calcul de temps ; de vitesse , de distance parcourue.

 

- la vitesse uniforme.

 

CORRIGE :

 

 

 

Travaux niveau VI et V sur les fractions  Dos 138 - 139

 

 

 

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - Formatif  ( intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   ( remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  ( remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif .

Ÿ

Devoir certificatif : ( remédiation )

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

Consignes :Travaux en « auto - apprentissage »

- Répondre sur feuille au « contrôle »

- Faire l’évaluation (écrire sur le document).

 

Lorsque ces travaux sont terminés demandez les corrigés. Comparez , corrigez , demandez des explications.

Validation : demander à ce que l’on vous remette  le questionnaire du devoir,que vous passerez en salle. (pour le préparer ) 

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°2

/ 26

FRACTIONS – ECRITURE  FRACTIONNAIRE  - et   DUREE

 

 

Chapitres :

 

Travaux  spécifiques : niv VI et V

Fraction

INFO 1  plus ! ! ! ! !

Dossier 138 - 139

Fraction décimale ; écriture décimale d’une fraction décimale et non décimale.

INFO 2  plus ! ! ! ! !

Dossier 150  et   Dossier 151

Fractions égales ( équivalentes)

INFO 3  plus ! ! ! ! !

Dossier 160  et dossier 162 - 163

Multiplication d’une fraction par un nombre

INFO 4  plus ! ! ! ! !

Dossier 158   et   Dossier 159

Calcul de durée   ( système sexagésimal)

INFO 5  plus ! ! ! ! !

Dossier 173

Consignes :Travaux en « auto - apprentissage »

- Répondre sur feuille au « contrôle »

- Faire l’évaluation (écrire sur le document).

 

Lorsque ces travaux sont terminés demandez les corrigés. Comparez , corrigez , demandez des explications.

Validation : demander à ce que l’on vous remette  le questionnaire du devoir,que vous passerez en salle. (pour le préparer ) 

 

COURS

 

 

i9

1° ) Fraction

:i

 

Cd ³  INFO 2 plus  !

Il y a « fraction »  si les deux nombres séparés par une barre sont des nombres entiers (noté :  N ).

 

 

 

Exemples :

   ;  ;        ; ….

 

 

 

 

Dans une fraction les  deux nombres sont séparés verticalement :   

 

Le nombre « a » et « b » sont des nombres entiers. En tout état de cause il faut que le nombre « b » soit différent de zéro.  ( noté :  b ¹ 0 )

 

 

 

 

« a » est le « numérateur »

 

 

 

« b » est le « dénominateur »

          Dans                le nombre entier « b »  , nombre en dessous du trait de fraction ( appelé : dénominateur) indique en combien de parties égales on divise une quantité ( appelé : Unité)

 

►►  Dans           le nombre entier  « a »  ,  nombre au dessus  du trait de fraction ( appelé numérateur) indique combien on prend de ces parties .

 

 

 

 

Exemple :  si   on découpe l’unité   1  en 7 parts ;    on peut écrire que     

Je prends 3 parts ;  je prends   les        de 1  .

On retiendra que     est une    fraction   .

A retenir :

Ecritures  qui sont considérées équivalentes ( équivalente  signifie «   égale valeur » )  l’opération à faire est la « division »   ( division = partage )

 

a : b

a ¸  b

a  /  b

 

 

 

 

 

i9   

2°) Ecriture décimale d’une fraction décimale ; ou d’une fraction non décimale.

:i

 

a)    Ecriture décimale d’ une fraction décimale :  

 

 Lorsque le dénominateur d’une fraction est  10 ; 100 ; 1000 ; …., nous avons ce que l’on appelle une fraction décimale (³)   :

 

 

les fractions :

 ;  ;  ;

peuvent s’écrire sous forme d’une écriture décimale :  0,7 ; 0,23 ; 0,367 ; 0,4563 .

 

Une fraction est décimale si  la « division tombe juste » . ( ³le quotient est exact )

 

 

 

 

b) Ecriture décimale d’une fraction « non – décimale » :

 

 

 

Une fraction est  dite « non – décimale » si la division ne tombe pas juste .( le quotient n’est pas exact ) :

Exemple : trouver l’écriture décimale de :      

 

  la division de 5 par 7 donne : 0,714285714285714285714285714285714 .(on pourrait continuer la division !)

 

 

       5 / 7      n’a pas de valeur décimale exacte ; il faudra   (³) « arrondir » pour donner un résultat et utiliser (³)   le signe « » » qui se lit «  presque  égal  à …. »

 

 

en conclusion  , on peut écrire que     5 / 7   »  0,714     arrondi  au millième près.

 

 

 

Remarques :

►On séparera la fraction et la valeur décimale arrondie  par  le signe « » » qui se lit «  peu différent de …. »

  La valeur décimale  représentant  la fraction non décimale  est le quotient  arrondi

 

 

i9  

3°) Fractions égales ( équivalentes)

:i

 

iremarque : On ne peut pas  additionner ou soustraire des fractions qui n’ont pas le même dénominateur, il faut transformer ces fractions pour pouvoir réaliser cette addition ou soustraction. La première étape est d’apprendre à trouver  par le calcul une fraction égale ( équivalente) à une autre fraction .

Pour  vérifier si deux fractions sont égales il faut  chercher à chacune  sa valeur décimale !

 

Définition :  Des fractions sont égales si elles ont la même écriture décimale .

 

 

on remarque que si l’on fait les  divisions ,  on obtient le même quotient

Exemple :

    « est égale »  à la fraction            que l’on peut écrire  ;

 

Parce que :  3 :5 = 0,6  et 24 : 40  = 0,6

 

Règle 1 : Si on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre , on obtient une fraction égale .

 

 

Exemple :                   =    = 

 

 

Règle 2 : Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre , on obtient une fraction égale .  ( Dans ce cas ,on dit que l’on simplifie la fraction .)

 

Exemple :

 

on remarque que :12 est divisible  par 2 ;3 ;4 ;12

 

Simplifier : 

 

 

 

 

►et que 24 est divisible  par  ;3 ;4 ; 6 ; 8 ;12 ; 24

 

►Je peux donc diviser  le numérateur et le dénominateur par 4 ;                               On a donc :

 

On pourrait  simplifier davantage ;et  diviser de nouveau par « 3 »:    

 

   ;

1 / 3  est une fraction dite « irréductible ». ( elle n’est plus divisible)

 

 

A savoir :  Une fraction est  dite «  irréductible »  si elle ne peut plus être simplifiée.

 

 

 

 

Règle 3 : Pour transformer une fraction donnée (exemple   )  en une fraction équivalente dont on impose (ou fixe)  le dénominateur ( 100 ) : ( exemple : = )

 

On divise  les deux dénominateurs   ( exemple : 100 :5 = on obtient le quotient « 20 »)  afin d’ obtenir le « quotient multiplicateur » ,  et l’on  multiplie  le premier  dénominateur  par le quotient calculé  précédemment .

Exemple :       On doit   « Trouver » une  fraction égale à    et dont le dénominateur est « 100 » :

    J’ai « 5 » et je veux « 100 » :   Pour obtenir  le nombre « 100 » à partir  du nombre « 5 » , il faut multiplier  « 5 » par 20 . ( parce que 100 /5 = 20 )

 

 

Je peux transformer la fraction 3/5 , et donner le dénominateur « 100 »

 

On a donc 

 

 

 

 

 

i9  

4°) Multiplication d’une fraction par un nombre

:i

 

1ère règle : Pour prendre la fraction   d’un nombre « c » on multiplie ce nombre « c » par le numérateur de la fraction « a »  , puis on divise le résultat ( produit ) par le dénominateur.

 

 

 

►Vous trouverez une explication sur « le pourquoi c’est comme cela  » lorsque vous étudierez « la multiplication de deux fractions ».

 

Exemple : énoncé :   « Prendre » les   de 24   :

     on en déduit de cet énoncé l’expression numérique (l’ opération) =    24

 

D’après la règle on calcule    :  3 24  =  72 ;et puis   on divise : 72 par  4 =  18

 

Règle 2 :Pour multiplier une fraction par un nombre , on peut calculer la valeur décimale  de la fraction  et multiplier cette valeur décimale  avec le nombre

 

On calcule le quotient de la division  ( a : b = q ) et l’on multiplie ensuite « q » par le nombre « c ».

Exemple :   calculer les  3/4  de 24 ;

                                                            

 

 

 

 

Procédure :

 

 

1°) Cet énoncé  se traduit par l’expression numérique :  24

 

 

2°) On  calcule  3 : 4 ;    ce qui donne 0,75

 

 

 

3°) on calcule  0,75  24   = 18

 

 

 

On remplace  dans  24    ;  par 0,75

 

Ce qui nous permet d’écrire que   24    =   0,75 24

 

 

Si l’on généralise  on dira que  :  Pour multiplier une fraction par un nombre , on fait le produit de la  valeur décimale  de la fraction  par ce nombre . 

 

 

i9  

5°)  Calcul de durée   ( système sexagésimal  et système décimal )  passage de l’un a l’autre .

:i

 

Pré requis info : « sur le Cd  la  Durée »

Remarque : nous avons vu dans la leçon n°1  que pour classer et ordonner  les nombres entiers et décimaux  on utilise le système de numération  décimale.

 

iOn peut exprime la durée  en utilisant deux systèmes de numération du temps  :

►le système décimal   : par exemple on dit  : trois heures et demi et l’on écrit 3,5h ; ou

le système sexagésimal : par exemple :trois heures et demi s’écrit   3 h 30 mn

 

Remarque :  ce  double système d’écriture et de lecture  est aussi utilisé , pour exprimer la mesure des angles en degré .

 

=Comme on dit indifféremment  « une heure  trois quart »   est égale à  « une heure quarante cinq  minutes »  .  ( 1 h 3/4  =  1,75 h  = 1h 45 mn)

 

La plupart du temps *: la durée est généralement exprimée  en Heure ; minutes ; seconde .

 

 

* Ce système de numération appelé  « le système de numération sexagésimal » ( base :60)

 

 

 

Dans le sport de haut niveau , on découpe la seconde en dix ; cent , voir mille . on a recours  au chronomètre électronique pour mesurer des durées   au dixième voir centième de seconde . (notamment en course automobile ; cyclisme , natation , 100 mètres à pied ...

 

 

Abréviations et Symboles utilisés  :

« heure »  à pour abréviation :    h

 

« minute »  à pour abréviation   min ;  le symbole est  …..’     (Signe appelé « apostrophe  » :      )

 

« seconde » à pour abréviation   s   le symbole est  …… ’’     (Signe appelé « double… apostrophe … »)

 

Ainsi  2 heures 30 minutes et 15 secondes peut s’écrire dans le système sexagésimal :

         2 h 30 min 15 s

         2 h  30 ’  15’’

Ainsi  2 heures 30 minutes et 15 secondes peut s’écrire dans le système décimal:

    2 , 525 h

 

 

 

 

Dans la vie quotidienne , il faut  savoir passer d’un système à l’autre 

 

 

Savoir passer du  système sexagésimal au système décimal 

 

On peut passer du système sexagésimal   ( exemple 1 h 30 min ) au système décimal ( devient :1,5 h : lire :une heure et demie ) :

 

 

 

Règle :Pour exprimer une durée dans le système décimal en prenant l’heure pour unité  , on divise le nombre de minutes par 60 .

 

 

Exemples :

 

 

 

a) Exprimer  1 h 30 min dans le système décimal :  ( l’heure étant l’unité)

Procédure :

 On divise  30 min par 60  , on obtient 0,5 . Donc  1 h 30 min  = 1,5 h

 

 

 

Durée exprimée  avec le système sexagésimal

1 h 30 min

=

1,5 h

    Durée exprimée  avec le système décimal .

 

 

 

b) Exprimer  1 h 21 min dans le système décimal :  ( l’heure étant l’unité)

Procédure :

Si on divise  21 par 60  , on obtient 0,35 . Donc  1 h 21 min  = 1,35 h

 

 

 

?Activité : transformer  1h 51’  = ? en  valeur décimale.

 

Autres exemples de transformation faisant intervenir des heures ; minutes secondes:

  1h 35 min 25s  =   1 + ( 35/60) + (25/3600)

                             =  1 + 0,583 + 0,006      = 1, 589

                              » 1, 6 0  h   à 0,01 près

  2 h 37 min 45 s =  2 + ( 37/60 ) + ( 45 /3600)

                               = 2 + 0,6166 + 0,0125

                              »  2,6291   h    à 0, 000 1 près

 

 

 

 

 

· Savoir  passer du système décimal dans le système sexagésimal.

 

 

 

Règle :Pour exprimer la durée exprimée dans le système décimal dans le système sexagésimal  , on multiplie  la partie décimale  par 60 pour obtenir le nombre de minutes.

 

 

Exemple 1:  

Enoncé :                Exprimer 1,6 h   dans le système  sexagésimal  

 

Procédure :

-   on décompose   1,6 h =  1 h + 0,6 h

-   on multiplie   0,6 par 60 :       0,6   60  =  36  ( 36’)   ; donc  0,6 h = 0 h 36 min

-   on écrit : 1,6 h =   1h + 0,6  h  =   1 h + 36 min

 

 

 

Exemple 2 :  Un trajet dure 2,70 h , exprimée  cette durée en H et  minutes .

 

 

 

Procédure :

-   on décompose   2,70 h =  2 h + 0,70 h

- on multiplie   0,7 par 60 :       0,7   60  =  42  ( 42 ’)   ; donc  0, 7 h = 0 h 42 min

- on écrit : 2,70 h =   2h + 0,7  h  =   2 h + 42 min

- conclusion le trajet durera 2heures et 42 minutes

 

Activité : convertir en h, min ,s :    5,51 h   ;  6,72 h    et    2,58 h

( nota : le problème se complique  si nous avons une valeur décimale  comprenant plus de deux chiffres ! ! voir sur le CD info plus!)

 

 

 

corrigé

5,51h  =  5 h + 0,51 fois 60 =   5 h + 30,6 mn  =  5 h + 30 mn + 0,6 fois 60 =  5h 30 mn + 36s

6,72 h =  6  h + 0,72 fois 60 =  6 h +  43,2 mn  = 6 h + 43 mn + 0,2 fois 60 = 6 h + 43 mn + 12s

2,58 h  = 2 + 0,58 fois 60  = 2 h + 34,8 mn = 2 h + 34 mn + 0,8 fois 60 =    2 h + 34 mn + 48 s

 

 

 

ETUDE   N°2

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