Pour l’étude du
chapitre « 2 »
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pré requis:
ENVIRONNEMENT du
dossier:
Objectif: Détermination de l’équation d’une droite de la
forme « y = a x +b ».
|
|
1° ) Connaissant le coefficient directeur et passant par un
point. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
TEST |
COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir
évaluation |
Interdisciplinarité |
|
||
TITRE de l’objectif:
Détermination de l’équation
d’une droite de la forme « y = a x +b » .
|
|
COURS
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Procédure : L’équation cherchée est de la forme « y = a
x + b ». On connaît « a », il suffit de
déterminer « b » Si la droite passe par le point A ( x1 ; y1) ; on a y1 = a x1 + b On en déduit la valeur de
« b » : b = y1 - a x1 (le calcul terminé , il
suffit de remplacer « b » dans l’équation de départ par la valeur trouvée) Exemple
résolu : Déterminer l’équation de la droite de coefficient
directeur « -0,5 » et passant par le point A ( 4 ; -1) L’équation est de la forme y = a x + b , Puisque
« a » = -0,5. Soit y
= - 0,5 x + b (1) Nous avons les coordonnées de A
« x » = 4 ; y = -1 On remplace dans l’équation (1) : -1 = 0,5 fois 4 + b soit -1 = -2 + b
d’où
après transformation :
« b » = 1 en conclusion : l’équation cherchée est y = - 0,5 x + 1 ( à vérifier par la résolution graphique)
Procédure : On connaît deux points
de la droite : Soit A ( x1 ;
y1) et B( x2 ;
y2) les points donnés. 1°) On calcule
« a » : tel que 2°) on se fixe (choisi)
un point « A » ou « B » , on
prend ses coordonnées et l’on termine par la procédure vue précédemment. Exemple résolu n°2 Déterminer l ’ équation de la droite passant
par les points A ( -2 ;1) et B ( 3 ; 3) 1°) on calcule
« a » : 2°) L’équation est de
la forme y = a x + b y = 0,4
x + b 3°) d’après l’ énoncé
,en « A » pour x = - 2 nous devons
avoir y = 1 1 =
0,4 fois (-2) + b 1 = - 0,8
+ b 1 + 0,8 = b d’ où b = 1,8
4°) L’équation cherchée
est y = 0,4 x + 1,8 Nota : on aurait
pu prendre les coordonnées du point
« B », nous serions parvenu au même
résultat. (à vérifier par le graphique) Autre méthode :
On sait que
l'équation est de la forme y =
a x + b . Ecrivons que
les coordonnées de A ;puis celles de B ,
vérifient cette équation . Nous obtenons : Pour A ( x = 1 et y = 2
) ; nous obtenons : 2 = a Pour B ( x = 3 et y
= 1 ) : nous obtenons : 1 = a Les relations ( 1)
et (2)
représentent la même
équation ; elles permettent de calculer "a" et "b" Commentaire : Nous sommes en présence d’un
système de deux équations que l’on décide de résoudre par la méthode de
l’addition.( voir résoudre
le système de (1) et (2) ) soit le système
: pour
résoudre ce système on décide de multiplier « a + b = 2 » par - 1 , on
peut ainsi remplacer dans le système « a + b = 2 » par
« - a - b = - 2 » nous
avons le nouveau système
: on additionne terme à terme
dans les deux membres : 3a - a = 2a ; b - b = 0
; 1 - 2 = -1 ; Le résultat de l’addition des deux équations
terme à terme nous donne donc 2a +0 = -1
on en
déduit que « a » = on en déduit
b = L équation de la droite AB est donc :
Exemple
d’application : on chauffe l’eau contenu dans un bécher à l’aide
d’un thermoplongeur. On note la température de l’eau toutes les minutes.
Sur un graphique, nous portons en abscisse les
durées « t » et en ordonnée la température correspondante « q ».
Observation : nous constatons que les points
sont « sensiblement » alignés : les températures semblent varier en fonction de la durée de chauffage
à prés comme une fonction affine. On décide alors
« d’ajuster » une droite à cet ensemble de points. Pour cela, on
utilise dans la pratique « la méthode Mayer » . (en statistique nous verrons « la méthode des moindres carrées ».) Méthode de
Mayer ou « ajustement linéaire ». ¨ Nous créons deux groupes de points.
Les valeurs de « t » étant ordonnées, on partage l’ensemble
de points en deux groupes d’égales
importance ( à une unité près). Nous obtenons :
( on aurait pu prendre trois points pour le premier groupe et quatre pour
le second) ¨Pour chaque groupe, on calcule les coordonnées du point moyen Remarques :ces
points sont aussi appelés : barycentres et la droite qui passe par ces
deux points est appelée : droite de Mayer. -
Coordonnée du point moyen du
premier groupe :
-
Coordonnée du point moyen du second groupe :
¨ On trace la droite passant par les deux points moyens : ( 2,5 ; 25,725) et ( 6 ; 36,66) ¨Cherchons l’équation de cette droite : Le coefficient directeur est :
D’ où la droite q =
3,12 t + b Si « t = 2,5 » , alors
« q = 25,725 » ; d’où 25 , 725 =
3,12 fois 2,5 + b Et
25,725 - 7,8 =
b ; soit « b =
17,925 » L’équation cherchée est : q = 3,12 t + 17,925 Commentaires : Par la méthode de calcul, la courbe d’ajustement
est forcément une droite et non plus une ligne brisée -la
droite de Mayeur. (de la forme y = ax+b) Cette méthode , évidemment
simple , à l’inconvénient d’être approximative, surtout quand le nombre des
points composant le nuage est élevé et
que leurs valeurs sont très
disparates. Soit trois nombres réels « a » ,
« b » , « c » donnés. Considérons la relation « a x + b y + C = 0 » Dans laquelle « x » et « y » sont deux nombres
représentant respectivement l’abscisse
et l’ordonnée d’un point « M »
D’une manière générale : L’ensemble des points « M » dont les coordonnées vérifient
la relation « a x + b y + c = 0 » est une droite. On démontre que ,
réciproquement, toute droite du plan a une équation du type : a
x + b y + c = 0 |
|
Travaux auto formatifs.
|
CONTROLE |
|
1°) Donner la procédure qui permet de déterminer l'équation d'une droite dont on connaît le coefficient directeur et un
point de la droite.
2°) Donner une procédure qui permet de déterminer l'équation d'une droite dont on connaît deux couples de nombres.
3°) Donner l’équation générale de la droite.
4°) dans l’équation générale de la droite :
Quelle conclusion faut-il
tirer sur la représentation
graphique ?
a) « a » = 0
et « b » ≠ 0
b) « a » ≠ 0 et « b » = 0
c) « a » ≠ 0 et « b » ≠ 0
|
|
N°1 : Déterminer l’équation de la droite de coefficient directeur
« -0,5 » et passant par le point
A ( 4 ; -1) ; à vérifier par le tracé.
N °2 :Déterminer l ’équation de la droite passant par les points A (
-2 ;1) et B ( 3 ; 3) ; à vérifier par le tracé.
N° 3 Déterminer l'équation
de la droite définie par deux points A (
1 ; 2 ) et B ( 3 ;1 ) ; à vérifier par le tracé. .
N°4 :
soit le tableau suivant :
|
Température « x » moyenne
extérieure : ( °C) |
- 5 |
-3 |
0 |
5 |
10 |
|
Consommation « y » de fuel / 24 h ( l ) |
38 |
36 |
32 |
25 |
18 |
Représenter le nuage des points M ( x ; y )
Ajuster une droite . Donner son équation.
En déduire la consommation à prévoir si la
température se maintient à - 10 °C pendant 5 jours.
SERIE2 :
1. Dans un repère orthonormal, on considère les courbes suivantes :
(C1 ) : y = -2x +1 ; (C2
) : y = x² + 3 y² = 5 ; (C3 ) : y = 7x ; (C4
) : y = x y + 3 x = 0 ; (C5 ) : y = 5 ; (C7) :
y = 3x + 6 y - 10 = 0
Parmi ces courbes, quelles sont celles qui sont les
représentantes d’une droite ?
2 . Dans un repère orthonormal , soit la droite
(D) : y = 6 1,5 x + 2,5
Dire si les points
suivants appartiennent à la droite (D) :
A ( 2 ; -
5) ; B ( 0,2,5 ) ; C ( -1 ; -1 ) et F (-6 ; 5 )
3 . Dans un repère orthonormal, on considère
les droites :
D1 : y = 2x + 5 ; D2 : y = -
3 x + 8 ; D3 : y =
x - 7 ; D4 : y = - x + 1
Déterminer
le coefficient directeur de chacune de ces droites
: .
4. Dans un repère orthonormal , soit la droite (
D) : y = -0,5 x + 2
a)
déterminer les ordonnées des points A ; B ; C et D d’abscisses
respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2
b) Déterminer les abscisses des points E ;
F ;G et H d’ordonnées respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2
5 . Dans un repère orthonormal , tracer les
droites :
(D 1 )
de coefficient directeur
« -1 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; 2
) ;
(D 2 )
de coefficient directeur
« 0,5 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; -1
)
(D 3 )
de coefficient directeur
« -1,5 » et passant par le point de coordonnées ( 1 ; -3
)
(D 4 )
de coefficient directeur
« 2 » et passant par le point de coordonnées ( -1 ; 1
)
6. . Dans un repère orthonormal, tracer les droites :
D1 : y = 2x + 5 ; D2 : y = -
3 x + 8 ; D3 : y =
x - 7 ; D4 : y = -
x + 1
7. Dans un repère orthonormal , déterminer une
équation de la droite ( D) passant par le point A ( 0 ; 5 ) et B ( -2 ; 3 )
8 . Dans un repère orthonormal , déterminer une équation de la droite ( D) passant par le
point A ( - 1 ; 4 ) et dont le coefficient directeur est « m = -4 ».
9. Déterminer une équation de chacune des droites (
D 1 ) ; ( D 2 ) et ( D 3
) données dans le repère orthonormal ci contre.
10. Dans un repère orthonormal , soit la
droite ( D) dont une équation est y = 3x
+ 5 . Parmi les droites suivantes :
D1 : y = 3x + 2 ; D2 : y = 3
x + 0,5 ; D3 : y
=-3 x + 0,5 ; D4 : y =
0,5 x + 4
Quelles sont celles qui sont celles qui sont
parallèles à la droite ( D) ?
11. Dans un repère orthonormal, soit la droite ( D)
dont une équation est « y = 3x +5 »
parmi les droites suivantes :
D 1 : 
; D2 = 
; D 3 = 
; D 4
= y = 3 x + 4
Quelles sont celles qui sont perpendiculaires à la
droite ( D) . ?