Pré requis:

Les  coordonnées d’un point dans un repère cartésien   

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

  1.  Les  coordonnées d’un point dans un repère cartésien 
  2. Axes de coordonnées ( vecteurs)

Objectif suivant :

Le point  "coordonnées"

2°) Le point d'intersection de deux droites perpendiculaire..

3°) étude d'un système de deux équations de deux droites.

tableau    Sphère metallique

1°) Repérage :

2°) Vecteur : présentation des objectifs.

 

 

 

DOSSIER : Vecteur :  CALCULS  des COORDONNEES  D’UN POINT

 

 

( Point obtenu par translation ou par symétrie.)

 

 

 

 

 

I) La  TRANSLATION DE VECTEUR donné  

 

 

 

 

 

a ) par la représentation graphique.

 

 

b) détermination de la  position du point « B » par le calcul 

 

 

 

 

 

II) SYMETRIE d’un point PAR RAPPORT A UN POINT

 

 

Recherche des coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I »  

 

 

 

 

 

III) SYMETRIE  d’un point  PAR RAPPORT A L’ORIGINE DU REPERE

 

 

 

 

 

IV ) SYMETRIE d’un point  PAR RAPPORT A UN AXE.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

 

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation  

COURS :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné ,

 

SOS Cours : vecteur dans un plan,

 

Un vecteur    étant donné par ses coordonnées dans une base 

  ,   , tout point     a pour image dans la translation         le point   de  coordonnées          

  

Pour      ;   et  pour 

 

Avec          

D’ où les coordonnées du vecteur 

 

Et les  coordonnées du vecteur « v »

                                          

sym8

Exemples d’exercices  :

 

Données :

Les coordonnées du vecteur « v » sont :

                         ; et un point « A » tel que    

 

Questions : Quelles sont les coordonnées de l’image de A dans la translation   

 

a )par la représentation graphique.

 

b) par le calcul.

Nous écrivons :

                  ( lire : le point  A    à pour image le point    B    par la translation du vecteur « v ») ;

telle que    

           

 

 

 

 

 

a )détermination de la position du point « B » par la représentation graphique.

 

Procédure :

On trace  le vecteur «  » ; ensuite on place le point  « A »    et à   partir du point « A » , on trace une parallèle au vecteur « v » dont la longueur est égale à la norme du vecteur ; (voir ; tracer d’un parallélogramme) 

 

                   On relève les  valeurs des coordonnées du point « B »   sur le repère :

            

                         et        

 

On écrit    alors :            on peut simplifier l’écriture :

 

 

b)détermination de la  position du point « B » par le calcul :

 

(  Voir  le calcul des coordonnées du vecteur  )

 

Les  donnée sont   :     et    ;   avec « A »   à pour image dans la translation de        le point  « B » de coordonnées

 

On en déduit que   :   les coordonnées du vecteur     sont :   ;    

 

Nota : au collège ;  l’écriture les coordonnées du vecteur     sont :   ;      peut se simplifier ; sachant e :

 

Et on accepte de ‘écrire que les coordonnées du vecteur AB  sont :   ;    

 

Nous savons que        ;   

 

 

 

puisque :         

on peut donc écrire

 

    = 

 

 

Alors  ; on calcule les coordonnées de    

 

   =         ; soit         ;

 

 

et       Alors  ; on calcule les coordonnées de    

 

 

Soit : 

 

( sos calculs)

 

 

 

 

Conclusion :  Les coordonnées du point « B »   sont :

 

On écrit :

 

 

 

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT.

 

 

 

Pré requis :

a)    Voir "opposé" d'un nombre et la symétrie par rapport à O.

b)    calcul des coordonnées d’un vecteur

c)     le vecteur colinéaire opposé.

d)    le vecteur nul .

 

 

 

 

Recherche des coordonnées du point « B »   symétrique du point  « A »  par rapport au point « I »   : Exemple :    I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1)

 

 

Un point « » d’abscisse      et d’ordonnée     étant donné : .

 

Tout point      a pour image dans la symétrie centrale  , le point « B »  tel que :

 

 

Ou 

 

 

sym7

 

Remarque : si je connais les coordonnées du vecteur  IA , je peux soit en déduire, ou calculer  les coordonnées du vecteur IB  .

 

1°) Calcul des coordonnées du vecteur   :     

 

  sur « »  =   xA  -  x I  =  ( +2 ) – ( +3)  =  ( -1 )     ( SOS calcul numérique?)

 

  sur      yi   =    y A  -  y I =   ( + 1) – (  + 2) = ( -1)

conclusion :

      les coordonnées du vecteur    =  ( -1 ; -1 )   ; et  les coordonnées du vecteur « opposé »       est       = ( + 1 ;+ 1 )

 

  « l’opposé du vecteur ? ? ? »

 

 

 

2°)  Coordonnées du vecteur   

 

   sur « xi » :            xB   x I  =  ( xB ) – ( +3)

 

   sur « y»     :        y B   y I =   ( yB) – (  + 2)

 

 soit     ( xB  3 ;   yB   2)

le vecteur      (  xB3 ; yB –2 ) = le vecteur         si et seulement si :

xB3  = 1   et    si   yB 2 = 1 :

après calculs : xB  = 4  et yB = 3   ; 

les coordonnées de B sont ( 4 ;3  )

 

Conclusion : les coordonnées du point B symétrique du point A par rapport au point I  sont  ( + 4 ; + 3  )

 

(commentaire : les coordonnées du point B sont aussi les coordonnées du vecteur      telles que   vecteur     ( + 4   ; + 3    )

 

 

 

III) SYMETRIE  PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE

 

 

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie    .

Pour obtenir la symétrie d’un point par rapport à l’origine il suffit de prendre les valeurs « opposées » aux coordonnées données .

Exemple :

 

Soit un point A( +3 ; +2)  ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère  .

 

 

                                                    Si A ( +3 ; +2) ; son image ( B) dans la symétrie centrale  et B ( opp.+3 ; opp.+2)

 

Soit  B ( -3 ; - 2)

sym6

 

 

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

 

La symétrie peut se faire par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

( voir symétrie axiale ; orthogonale ; réflexion)

 

 

Exemples :

 

a)  A ( + 3 ; +2 )  a pour  image dans la symétrie par rapport à  ( O  )  le point A’ ( + 3 ; -2 )

(*  -2  est l’opposé de +2)

b) A ( + 3 ; + 2 )  a pour  image dans la symétrie par rapport à  ( O   )  le point A’’ ( - 3 ; + 2 ).

(*  - 3  est l’opposé de +3)

sym5

Conclusion :

 

1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des abscisses , un point A ( x A ; y A) a pour image le point A’ ( x A ; opp. y A) ;  ou A’(  x A ; - y A

 

2°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées , un point A ( x A ; y A) a pour image le point A’’ (opp. xA ; y A) ;  ou   A’ ( - x A ; + y A


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE

 

A) Traduire : A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie      .

 

B) voir cas par cas :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné  

 

 

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Si  nous écrivons :

                            T      :   A     B   ( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ;

                      

     telle que       

            

  a ) Faites une représentation graphique :

 

b) Déterminer la position du point B par le calcul :

 

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT

 

Comment opère –t –on  pour rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » ?  :

 

III) SYMETRIE  PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE.

 

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie   .    

 

Comment peut- on obtenir  les coordonnées du point dans la symétrie  d’origine O , dans un repère ?.

 

 

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

 

Soit un point A ( xA ; y A)  quelles sont les coordonnées de A ‘ et A’’ symétriques axiales  dans un repère cartésien ?.

 

 

EVALUATION

)Les coordonnées du vecteur « v » sont :

( 2 ,-3) ; et un point « A » tel que  A (1 ;2)

Questions : quelles sont les coordonnées de l’image de A ; notée « B » dans la translation T       

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

2°) Rechercher  les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I »   : On donne   I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1).

a)     solution graphique .

b)     par le calcul .

3°) Soit un point A( +3 ; +2)  ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère  .

a)     Solution graphique

b) Par le calcul

4°) Soit un repère cartésien orthogonal et un point A ( +3 ; +2) :

par rapport à l’axe ( O    )  et par rapport à l’axe ( O   )

a)      Par le calcul.

b)     Par le graphique