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ENVIRONNEMENT du
dossier:
Objectif
précédent : |
Objectif suivant : 2°) Le point d'intersection de deux droites perpendiculaire.. |
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DOSSIER : Vecteur :
CALCULS des COORDONNEES D’UN POINT |
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( Point obtenu par translation ou par symétrie.) |
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I) La
TRANSLATION DE VECTEUR donné |
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a ) par la représentation graphique. |
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b) détermination de la position
du point « B » par le calcul |
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Recherche des coordonnées du point B symétrique
de A par rapport au point « I »
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III) SYMETRIE
d’un point PAR RAPPORT A L’ORIGINE DU REPERE |
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IV ) SYMETRIE d’un point PAR RAPPORT A UN AXE. |
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Un vecteur
Pour Avec D’ où
les coordonnées du vecteur
Et les coordonnées
du vecteur « v » |
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Exemples
d’exercices : Données : Les coordonnées du vecteur « v »
sont :
Questions : Quelles sont les coordonnées de
l’image de A dans la translation a )par la représentation graphique. b) par le calcul. |
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Nous écrivons :
telle que
a )détermination de la position du point « B »
par la représentation graphique. On trace
le vecteur « On relève les valeurs des coordonnées du point « B » sur
le repère : On écrit alors : b)détermination de
la position du point « B »
par le calcul : ( Voir le calcul des coordonnées du vecteur Les données sont
: On en déduit que
: les coordonnées du vecteur Nota : au collège ; l’écriture les coordonnées du vecteur Et on accepte de ‘écrire
que les coordonnées du vecteur AB sont : Nous savons que on peut donc écrire
Alors ; on calcule les coordonnées
de
et Alors ;
on calcule les coordonnées de Soit : ( sos
calculs) Conclusion : Les coordonnées
du point « B » sont : On écrit :
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II)
SYMETRIE PAR
RAPPORT A UN POINT. |
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a) Voir
"opposé" d'un nombre et la symétrie par rapport à O. b) calcul des
coordonnées d’un vecteur c)
le
vecteur colinéaire opposé. |
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Recherche des coordonnées du point « B » symétrique du point « A » par rapport au point « I » : Exemple : I ( 3 ;
2) ; A ( 2 ;1) |
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Un point « Tout point
Ou |
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Remarque :
si je connais les coordonnées du vecteur
IA , je peux soit en déduire, ou
calculer les coordonnées du vecteur
IB . |
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1°) Calcul des coordonnées du
vecteur sur « sur yi =
y A
- y I = ( + 1) – (
+ 2) = ( -1) conclusion : les coordonnées du vecteur |
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2°) Coordonnées du vecteur sur « xi » : xB sur « yi » : y B soit le vecteur
xB après calculs : xB =
4 et yB
= 3 ;
les
coordonnées de B sont ( 4 ;3 ) Conclusion : les coordonnées du point B symétrique du point A par rapport au point
I sont
( + 4 ; + 3 ) (commentaire : les coordonnées du point B
sont aussi les coordonnées du vecteur |
III) SYMETRIE PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE
A ( xA ;
y A) a pour image B (- xA ;-
y A) dans la symétrie Pour obtenir la symétrie d’un point par rapport à l’origine il suffit
de prendre les valeurs « opposées » aux
coordonnées données . Exemple : Soit un point A( +3 ; +2) ;
donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère .
Si A ( +3 ; +2) ; son image ( B)
dans la symétrie
centrale et B (
opp.+3 ; opp.+2) Soit B ( -3 ;
- 2) |
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IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE. |
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La symétrie peut se faire par rapport à l’axe des abscisses ou des
ordonnées. |
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Exemples : a) A ( + 3 ; +2 ) a pour
image dans la symétrie par rapport à
( O (* -2
est l’opposé de +2) b) A ( + 3 ; + 2 ) a pour
image dans la symétrie par rapport à
( O (* - 3 est l’opposé de +3) |
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Conclusion : 1°) Dans la symétrie
par rapport à l’axe des abscisses , un point A ( x A ;
y A) a pour image le point A’ ( x A ; opp. y A) ; ou A’(
x A ; - y A) 2°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées , un point A ( x A ; y A)
a pour image le point A’’ (opp. xA ;
y A) ; ou A’ ( - x A ; + y A) |
A) Traduire : A ( xA ; y A) a pour image B
(- xA ;- y A) dans la symétrie .
B) voir cas par cas :
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Si nous
écrivons : T telle
que a ) Faites une représentation graphique : b) Déterminer la position du point B par le
calcul : |
II)
SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT
Comment opère –t –on pour rechercher les coordonnées du point B
symétrique de A par rapport au point « I » ? : |
III)
SYMETRIE PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE.
A ( xA ;
y A) a pour image B (- xA ;-
y A) dans la symétrie . Comment peut- on obtenir les coordonnées du point dans la
symétrie d’origine O
, dans un repère ?. |
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IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.
Soit un point A ( xA ; y A) quelles sont les coordonnées de A ‘ et A’’
symétriques axiales dans un repère
cartésien ?. |
1°)Les coordonnées du vecteur « v » sont :
( 2
,-3) ; et un point « A » tel que
A (1 ;2)
Questions : quelles sont les coordonnées de
l’image de A ; notée « B » dans la translation T
a )par la représentation graphique.
b) par le calcul.
2°) Rechercher
les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point
« I » : On donne I ( 3 ;
2) ; A ( 2 ;1).
a)
solution graphique .
3°) Soit un point A(
+3 ; +2) ; donner les coordonnées du point B par rapport au
point O , origine d’un repère .
a) Solution graphique
4°) Soit un repère cartésien orthogonal et un point
A ( +3 ; +2) :
par rapport à l’axe ( O ) et par rapport à l’axe ( O
)
a)
Par le calcul.
b) Par le graphique