Pré requis:

 

 

Le barycentre

 

Lieux  géométriques

 

Composantes d'un vecteur

Boule verte

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

1°) Etudie précédente : la somme de deux ou trois vecteurs.

2°) revoir : multiplication d’un vecteur par un scalaire.

 

3°) l’addition géométrique de vecteurs .

 

4°) Repérage

 

Objectif suivant :

1°) Distance d’un bipoint Sphère metallique

   Info générales :

1°) Le repérage.

2°) « Vecteur » : liste des cours .

3°  ) liste alphabétique.

Objectif suivant

A )  Calculs  …de  coordonnées …spécifiques……

 

B ) suite : « vecteurs »

1°) Composantes d’un vecteur dans un repère .

2°) Somme de vecteurs "colinéaires"

3°) Addition géométrique de plusieurs vecteurs.

4°) info divers sur le barycentre.

5°)  Voir : un point « M » positionné relativement à des vecteurs unitaires ( géométrie dans l’espace) :  et  ;

Module : LES  VECTEURS

 

 

DOSSIER   :    les  coordonnées dans un repère ;   AXE  DE COORDONNEES  et changement d’axes.

 

 

·      Présentation d’un repère non ortho -non normé.

 

 

                                                     :      Pb.1 et pb 2

 

 

·      Cours (  suite 1 ) : distance entre deux points.

 

 

 

 

 

Changements d’axes par translation : pb. 3 ; 4 ; 5 ; 6

 

 

·      Cours (suite 2) :  pb. 7 ; 8 ; 9

 

 

·      Cours (suite 3) :cas « y= ax² + bx + c »  et  Généralisation….

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité :

Voir exemple « concret »  d’application

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

                                                       COURS

 

 

Deux droites indéfinies «  x ‘ O x » ; «  y ‘ O y » se coupent au point « O ». Si l’on marque sur  «  x ‘ O x » un vecteur  unitaire  et sur  «  y ‘ O y » un vecteur unitaire , les droites deviennent des axes orientés. Les longueurs de   et  ne sont  par forcément égales ( repère non ortho-non normé)

 

 

Soit « M » un point du plan.

 

Le vecteur  se décompose suivant « Ox » et « Oy » en deux vecteurs  et  :

 

             =   +  

et nous avons déjà vu  ( cours : addition de  (après pb 18….)  que :

 =    x             

   =   y   

donc :            =  x     +   y                   ( relation 1 )

     

 

vecteur016

 

 

Les nombres algébriques « x » et « y » , uniques pour « M », sont les coordonnées cartésiennes du point « M ». Dire que  « x » et « y » , sont les coordonnées de « M » ou que :     =  x     +   y               revient exactement au même.

 

« x » s’appelle « abscisse »   et « y » s’ appelle « ordonnée »

 

 

 

 

 

Problème 1

 

 

Soit deux points « M » de coordonnées  ( x0 ; y0 )   et « N » de coordonnées ( x1  ; y 1 ).

Quelles sont les mesures scalaires des projections du vecteur  sur les axes ?

La projection sur « Ox » est faite  parallèlement  à « Oy »    et sur «  Oy » parallèlement à « Ox ».

 

 

( faire une figure )

 

 

Info + °sur les mesures algébriques des composantes…. ;

 

 

Solution :

On écrira : le vecteur    =    +    ( relation 2 )

 

Ou : « X » et « Y » étant   les mesures scalaires des projection de        on écrit :      X    +   Y      =    +    ( relation 3 )

 

Mais d’après l’énoncé :

 

 

 

 = x0 +   y0                              ou : = -  x0 -   y0

                                                                                                                         ( relation (4)

   =  x1   +  y 1 .

 

 

En portant les  résultats (4) dans la relation ( 3 ) nous pouvons écrire :

X    +   Y      =   =     ( x1 -  x0 )     +   (y 1 - y0 ) .

D’où

 

 

 

X =   ( x1 -  x0 )  ( abscisse de l’extrémité (moins) abscisse de l’origine.)

Y =  ( y 1 - y0 )     ( ordonnée  de l’extrémité (moins) ordonnée  de l’origine.)

 

 

 

 

 

Problème 2

 

 

Les points « M » et « N » ont pour coordonnées respectives ( - 3 ; + 2 )  et ( 5 ; - 4) . Quelle sont les mesures des projections de  sur les axes ? 

( Faire la solution graphique.)

 

 

Réponses :

 

 

 

X = 5  - ( - 3)   ; X = 8

Y = - 4 – 2   ;    Y = - 6  

 

 

 

 

 

Cours (  suite 1 )

 

 

Dans la pratique , les axes « x’ O x »  et «  y ’O y » sont perpendiculaires et les vecteurs unitaires  et   ont même longueur. On dit alors que les axes sont « orthonormé » ( voir :orthonormal)  ou  que  et constituent une base orthonormée.

Les résultats acquis au problème « 1 » subsistent et les projections de        sont

 

 

 

x1 -  x0

y 1 - y0

 

 

Mais ici on peut déduire la distance de deux points « M » et « N » donnée  par la formule :

 =  ( x1 -  x0 )2  +  ( y 1 - y0 )2

 

Cette formule  de la distance de deux points en axes rectangulaires est fort utile à connaître , notamment pour une étude analytique du cercle ou de la sphère ( avec un terme ( en « z ») de plus)

Pré requis : « Pythagore »

( Faire la solution graphique.)

 

 

 

 

 

Changements d’axes par translation :

 

 

Voir : Soit un point « M » positionné relativement à des vecteurs unitaires :  et      a pour coordonnées «  x ; y » . On prend une nouvelle origine   dont les coordonnées par rapport aux anciens axes sont  «   et   » . les nouveaux axes  sont parallèles aux anciens. Relativement aux nouveaux axes « M » acquiert les nouvelles coordonnées «  X ; Y » .Trouver les relations entre : «  x ; y » «  X ; Y » «   et   »

 

 

 

 

 

Solution : Les axes parallèles ont même vecteur unitaire . Dés lors les données de l’énoncé sont :

 

 

 

 = x + y            ( 1 )

 =  X  + Y          ( 2 )

 =  +           ( 3 )

 

 

Et comme on sait que :  =    +                         ( 4 )

En remplaçant il vient :

 x + y        =   +     +  X  + Y                      ( 5 )

 

Et par conséquent :

 

 

 

 x = X  +

 y   =  Y  +

 

 

Ce sont les formules du changement d’axes par translation. :

A savoir :

les coordonnées anciennes = Les coordonnées nouvelles + (plus) Les coordonnées de la nouvelle origine.

 

 

 

 

 

Problème 4 :

Que devient la relation   ( 1 )   lorsque l’on transporte les axes parallèlement à eux –mêmes , au point    de coordonnées :

 

 

Solution :

Les formules du changement d’ axe sont :

 

 

 

x    = X +

y    = Y +                                                l’ensemble  ( 2 )

 

 

Portons ces évaluations dans ( 1 )

    ou     ce qui s’écrit encore : 

 

la réponse est donc :           ( 3 )

 

 

Problème 5

 

 

Que devient la relation :   lorsque l’on transporte les axes parallèlement à eux –mêmes , au point    de coordonnées

 

 

Orientation de la solution :

=  =        

 

Réponse :

 

 

 

 

 

Problème 6

 

 

Que devient la relation :  quand on transporte les axes parallèlement  à eux-mêmes au point : ?

 

 

 

 

 

Réponse :

 

 

 

 

 

Cours (suite 2) :

Noter  que les nouvelles formes acquises  après changement d’axes mettent en évidence par le point   est centre de symétrie de la représentation graphique des relations envisagées.. par exemple au problème « 4 » nous avons trouvé :    . Si on change « X » en « -X » on obtient    

Les changement de « X » en « -X »   entraîne celui de « Y » en « -Y » : Le point     est centre de symétrie.

 

 

 

 

 

Problème 7

 

 

Que devient la relation :    lorsque l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point :     ?.

 

 

Solution : les formules du changement d’axes sont :

 

Portons dans la relation ( 1) :

                 

                         Y – 1  = 2 ( X + 1 ) 2 – 4 ( X + 1 )  + 1

 

Développons :

 

                         Y – 1  = 2  X 2 + 4 X + 2 – 4 X – 4  + 1

Et réduisons    Y = 2 X 2

 

 

 

Problème 8

 

 

Que devient  la relation :  «  y = 3 x2  + 5 x – 4 »                              (1 )

Lorsque l’on transporte les axes parallèlement  à eux – mêmes  au point :   

 

 

 

Indications pour arriver à la solution :

 Formules :  « x = X -  »      ;  «  y = Y -  »

Porter dans ( 1) développer et réduire :

 

Réponse :                   Y = 3 X 2

 

 

 

 

 

 

 

Problème 9

 

 

Que devient l’expression : «  y = a x2 + b x + c »

Quand on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point

 

 

 

 

Réponse :   «  Y = a X 2 »

 

 

 

 

 

Cours (suite 3) :

 

 

Noter que le changement d’axes met en évidence que la droite   est axe de symétrie de la représentation graphique de « y = a x2 + b x + c ».

 On a trouvé en effet au problème « 9 » : : «  Y = a x 2 » , si on change « X »  en « -X » on obtient :

                              «  Y 1  = a ( - X ) 2  =   a X 2  = Y

A deux valeurs opposées de « X » correspond  la même valeur de « Y ». Il y a symétrie par rapport au nouvel axe des « Y ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

 

CONTROLE

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION.

 

 

Refaire les problèmes…du cours  …… ;;;;

 

 

 

 

 

 

 

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