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Cours sur les vecteurs

 

1°)  Définition du barycentre

 

 

2°) Construction du barycentre

 

 

3°) Propriété fondamentale du barycentre

SOS cours sur le barycentre..

 

4°) Coordonnées du barycentre

 

 

 

Exemple de calcul du  Barycentre en sciences

 

 

1°)  Définition du barycentre

triangle

 

 

Prenons une plaque triangulaire, posons dessus au point A un poids de 1kg, en B un poids de 2kg, en C un poids de 3 kg, et cherchons le point où l'on pourra faire tenir cette plaque en équilibre.

 

Ce point est appelé le barycentre du système   . Notons le G (il n'a rien à voir avec le centre de gravité du triangle).

Si on veut déterminer sa position sur la plaque, il faut savoir qu'il est caractérisé par la relation :1. +  2  +  3  = 0 .

D'une manière générale, le barycentre G de  vérifie toujours   . +   +    =  ..

Attention tout de même, le barycentre n'existe pas lorsque la somme des coefficients associés aux points est nulle. Par contre l'éventuelle présence de coefficients négatifs ne gène pas.

2°) Construction du barycentre

Pour construire le barycentre sur le dessin, il faut utiliser la propriété ci-dessus et décomposer 2 des 3 vecteurs en fonction de vecteurs que l'on peut tracer. C'est assez simple mais long :

 

 

 

 

 

1. +  2  +  3  =  .

 + 2 (+) + 3 (+ ) =

6  + 2  + 3  =

+ 2  + 3  = - 6

+ 2  + 3  =  6

  +   =

 =   + 

 

D’où la position de « G »

vecteurs triangle

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) Propriété fondamentale du barycentre

Si G est le barycentre du système , alors pour tout point M du plan, on a :

. +   +    =  . ( . +   +   )

 

Le dessin ci-dessous avec les chiffres du début l'illustre parfaitement.

dessin barycentre

Dans la pratique et dans les problèmes il faut en général placer M à un endroit particulier pour démontrer certaines choses.

 

 

4°) Coordonnées du barycentre

Si « A, B, et C »  sont 3 points dans un repère orthonormé, avec   «  A ( xA ; y A) ; B ( x B ; y B) ; C ( xC ; yC)  , et que « G » est le barycentre de , alors les formules suivantes donnent les coordonnées de G :

 

 

 

 

 


Les formules du barycentre se généralisent « bien sur » dans le cas où il y aurait plus de 3 points, on peut également prendre le cas particulier plus simple avec seulement 2 points. Enfin il faut savoir que le barycentre d'un système de points qui ont tous le même coefficient (le même poids) s'appelle l'isobarycentre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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