Module : LES  VECTEURS

DOSSIER  LA  SOMME DE DEUX VECTEURS  "non colinéaires"

1°) Somme graphique

2°) Somme par le calcul

- Cas particuliers : les vecteurs colinéaires  

3°) Propriétés : : Propriétés de la somme de vecteurs

4°)Somme de 3 vecteurs 

5°)Opposé d’un vecteur

Quel que soit le vecteur      ( du plan « P » ) , on a : ( )  _;     on dit  que  le vecteur  nul    est   « élément neutre ».

COURS

1°)LA SOMME  GRAPHIQUE de  deux  VECTEURS :

Construction du vecteur somme :  

Le vecteur AD  est le « vecteur somme »

Est obtenu avec :

Tel que  le quadrilatère :    ( A,B,C,D) soit un parallélogramme.

Dans le cas précédent on aurait pu écrire que : =    +  

Cas particulier :

On peut écrire que

Ce genre d’égalité est connue sous le nom de « relation de Châles ».

Cette relation  permet de résoudre  des exercices du type :

Ecrire plus simplement :

 
 1° )   =   

2°)

3°) on sait que   

 4°)    

Remarque : Sciences , en statique , le vecteur somme est appelé « résultante » des forces.

Ainsi    est la résultante des forces    

Activités : 

Tracer le bipoint noté ( A,B) représentant de  :     puis le bipoint (B,C) représentant de :  

    _.

Tracer le bipoint noté (A’,B’) représentant de :   , puis le bipoint ( B’,C’) représentant de  _. :  

Dessin 1

Que peut - on dire des bipoints  (A,C)  et (A’,C’ ) ?  r réponse : ces bipoints sont des représentants du vecteur  ,noté :     .somme des vecteurs  

La somme          de deux  vecteurs   Ayant pour  représentants respectifs les bipoints ( A , B )   et   ( D , C )   ; ce vecteur « somme » a pour représentant le bipoint ( A , C )

Nous pouvons écrire sous forme mathématique :

Traduction :      

     appliqué  aux vecteurs :

CAS GENERAL :     (vecteurs  non colinéaires  ou colinéaires)

Représentation graphique  du vecteur « somme » ; nommé :   

Dessin 2

Procédure de traçage  :

-  fixer (sur le plan feuille ) la position du premier point  (A’)origine du premier bipoint.

 -  tracer le vecteur AB ; (( A’,B’ )bipoint équipollent AB) , on peut dire «  faire glisser par translation le vecteur AB en A’ » 

-    translater  le vecteur DC , (L’extrémité du premier vecteur  coïncide avec l ‘origine du deuxième vecteur)

-    Joindre  l’origine du premier vecteur avec l  extrémité du second vecteur ;

                 le vecteur « somme »  noté      à pour origine  l’origine du premier vecteur et pour extrémité , l’extrémité du second vecteur.

Remarque :   le vecteur     ne dépend pas du point « A »   choisi pour origine :

Complément :  Somme de deux vecteurs .

Et la translation   @ ( INFO Plus)

CAS PARTICULIER: somme de deux vecteurs perpendiculaires,            

   et        forment un triangle   « rectangle » @  si le repère est orthonormé.

Dessin 3

Voir : composantes d’un vecteur.

D' après la relation de CHASLES  nous pouvons écrire que

La construction de la somme est toujours possible.

Dessin4

« norme d’un vecteur »      En général , la norme ( certains diront la longueur  ou mesure ) du vecteur somme est différente de la somme des normes des deux vecteurs :

ce qui se traduit en écriture mathématique :

Voir  dans les exercices  suivants  , le cas particulier où  :

2°)  CALCUL Somme de vecteurs 

Soit deux vecteurs    ;  avec   on demande de calculer : :    ( vecteur « somme »  )

Exemple :  on nous donne :  

On applique : :    devient : : :   

Soit   :

Cas particuliers : les vecteurs colinéaires  

( INFO PLUS : sur la somme  graphique de vecteurs colinéaires ;cliquer ici )

«  colinéaires »   Les vecteurs « colinéaires » ont la même direction  ( pas forcément le même sens , la même norme .)

Dessin 5

soit  un vecteur  ;    les autres vecteurs représentent : (leur norme sont différentes, peut-être même leur sens ; (« k »est un nombre qui  varie .)

le  vecteur «   »     n’est pas colinéaire aux autres vecteurs.

Dit autrement : Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont des supports parallèles, (ou superposés)  indépendamment du sens et de la norme de ces vecteurs

VECTEURS EQUIPOLLENTS :

INFO plus +++

Deux vecteurs sont équipollents si il ont la même norme , le même sens , et dont les supports sont parallèles (ils donc aussi « colinéaires »)

Ils forment un parallélogramme:

Dessin6

3°) Propriétés de la somme de vecteurs

a) LA COMMUTATIVITE

-        On vous donne un point A .

-         Tracer le bipoint (A,B)  représentant de     puis   le bipoint (B,C) représentant de    

-         Tracer le bipoint  (A,D) représentant de    puis le bipoint (D,E) représentant de

Que peut - on dire des points C et E ?

Que peut - on dire des bipoints  ( A,C) et ( A,E) ?

La somme de deux vecteurs est indépendante de l’ordre dans lequel on effectue cette somme :

 ( cette propriété s’appelle la commutativité)

Dessin 7

b) ASSOCIATIVITE :

Quels que soient les vecteurs :    ;

c) Elément neutre  

Quel que soit le vecteur     ( du plan « P » ) , on a : (  = (  

on dit  que  le vecteur  nul  est   « élément neutre ».

Pour tout vecteur     , il existe un vecteur    unique tel que           ;      

4°) Somme de 3 vecteurs :

Dessin 8

Tracer   le bipoint (A,B) représentant de   , le bipoint (BC) représentant de , la somme     est représentée par le bipoint (A,C).

Tracer le bipoint  (C,D) représentant  de          . quel est le représentant de la somme      ?

Que peut - on dire des points D et G ?

Que peut - on dire des bipoints ( A,D) et   ( A , G ) ?

Si             sont 3 vecteurs  (du plan  « P » ) ,   on a :    

(cette propriété  s’appelle : l ’  ASSOCIATIVITE   )

5°)L’OPPOSE du vecteur  ( cliquer ici : information plus sur l’opposé d’un vecteur)

Activité : tracer le bipoint  ( A, B) représentant de      puis le bipoint (B,C) représentant de     ’    .  La somme         est représentée par le bipoint  ( A , C ) .

Que peut - on dire des points  A et C ?.........................................du bipoint  ( A ,C )...............

Quelque soit  le vecteur      du plan « P »  ,il existe un vecteur      du plan « P » tel que