Pré requis:

 

La translation

 

Inégalité triangulaire

 

Soustraction de deux nombres relatifs

 

Composantes d'un vecteur

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

IMPORTANT : si vous avez des problèmes , il faut reprendre à ce niveau :    voir la définition d’un BIPOINT     suivi du «  bipoint équipollent »

2°) Les coordonnées d’un vecteur

Objectif suivant :

Distance d’un bipoint

   Info générales :

1°) Le repérage.

2°) Vecteur : présentation des objectifs.

Objectif suivant

Somme de vecteurs "colinéaires"

Addition géométrique de plusieurs vecteurs (2012-2013).

 

 

Module : LES  VECTEURS

DOSSIER  LA  SOMME DE DEUX VECTEURS  "non colinéaires"

 

 

 

1°) Somme graphique

 

 

 

2°) Somme par le calcul

- Cas particuliers : les vecteurs colinéaires  

 

 

 

3°) Propriétés : : Propriétés de la somme de vecteurs

 

 

 

 

4°)Somme de 3 vecteurs 

 

 

 

5°)Opposé d’un vecteur

 

 

 

Quel que soit le vecteur      ( du plan « P » ) , on a : ( )  ;     on dit  que  le vecteur  nul    est   « élément neutre ».

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

COURS

 

 

 

 

 

1°)LA SOMME  GRAPHIQUE de  deux  VECTEURS :

 

 

 

 

 

Construction du vecteur somme :  

Le vecteur AD  est le « vecteur somme »

Est obtenu avec :

 

Tel que  le quadrilatère :    ( A,B,C,D) soit un parallélogramme.

 

vec3

 

 

Dans le cas précédent on aurait pu écrire que : =    +  

 

 

 

Cas particulier :

 

 

 

On peut écrire que

 

Ce genre d’égalité est connue sous le nom de « relation de Châles ».

Cette relation  permet de résoudre  des exercices du type :

Ecrire plus simplement :

 
 1° )   =   

2°)

3°) on sait que   

 4°)    

 

vec12

 

 

 

 

 

Remarque : Sciences , en statique , le vecteur somme est appelé « résultante » des forces.

Ainsi    est la résultante des forces    

vec13

 

 

 

 

 

 

Activités : 

Tracer le bipoint noté ( A,B) représentant de  :     puis le bipoint (B,C) représentant de :  

    .

Tracer le bipoint noté (A’,B’) représentant de :   , puis le bipoint ( B’,C’) représentant de  . :  

 

Dessin 1

 

 

Que peut - on dire des bipoints  (A,C)  et (A’,C’ ) ?  r réponse : ces bipoints sont des représentants du vecteur  ,noté :     .somme des vecteurs  

 

 

 

La somme          de deux  vecteurs   Ayant pour  représentants respectifs les bipoints ( A , B )   et   ( D , C )   ; ce vecteur « somme » a pour représentant le bipoint ( A , C )

 

 

 

 

 

 

Nous pouvons écrire sous forme mathématique :

 

 

 

 

Traduction :      

     appliqué  aux vecteurs :

 

CAS GENERAL :     (vecteurs  non colinéaires  ou colinéaires)

Représentation graphique  du vecteur « somme » ; nommé :   

 

 

Dessin 2

 

 

Procédure de traçage  :

-  fixer (sur le plan feuille ) la position du premier point  (A’)origine du premier bipoint.

 

 -  tracer le vecteur AB ; (( A’,B’ )bipoint équipollent AB) , on peut dire «  faire glisser par translation le vecteur AB en A’ » 

 

-    translater  le vecteur DC , (L’extrémité du premier vecteur  coïncide avec l ‘origine du deuxième vecteur)

 

-    Joindre  l’origine du premier vecteur avec l  extrémité du second vecteur ;

 

                 le vecteur « somme »  noté      à pour origine  l’origine du premier vecteur et pour extrémité , l’extrémité du second vecteur.

 

 

Remarque :   le vecteur     ne dépend pas du point « A »   choisi pour origine :

 

 

 

Complément :  Somme de deux vecteurs .

Et la translation   @ ( INFO Plus)

 

 

transtranslvect

 

 

 

 

 

CAS PARTICULIER: somme de deux vecteurs perpendiculaires,            

 

 

 

   et        forment un triangle   « rectangle » @  si le repère est orthonormé.

 

 

Dessin 3

 

 

    

Voir : composantes d’un vecteur.

 

 

 

 

 

D' après la relation de CHASLES  nous pouvons écrire que

 

La construction de la somme est toujours possible.

 

Dessin4

 

 

« norme d’un vecteur »      En général , la norme ( certains diront la longueur  ou mesure ) du vecteur somme est différente de la somme des normes des deux vecteurs :

ce qui se traduit en écriture mathématique :

 

 

 

Voir  dans les exercices  suivants  , le cas particulier où  :

 

 

 

2°)  CALCUL Somme de vecteurs 

 

 

 

Soit deux vecteurs    ;  avec   on demande de calculer : :    ( vecteur « somme »  )

 

 

 

 

 

Exemple :  on nous donne :  

 

 

 

On applique : :    devient : : :   

 

 

 

Soit   :

 

 

 

 

 

Cas particuliers : les vecteurs colinéaires  

( INFO PLUS : sur la somme  graphique de vecteurs colinéaires ;cliquer ici )

 

 

 

 

 

 

«  colinéaires »   Les vecteurs « colinéaires » ont la même direction  ( pas forcément le même sens , la même norme .)

Dessin 5

 

 

soit  un vecteur  ;    les autres vecteurs représentent : (leur norme sont différentes, peut-être même leur sens ; (« k »est un nombre qui  varie .)

 

le  vecteur «   »     n’est pas colinéaire aux autres vecteurs.

 

Dit autrement : Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont des supports parallèles, (ou superposés)  indépendamment du sens et de la norme de ces vecteurs

 

 

 

 

 

VECTEURS EQUIPOLLENTS :

INFO plus +++

 

 

      

Deux vecteurs sont équipollents si il ont la même norme , le même sens , et dont les supports sont parallèles (ils donc aussi « colinéaires »)

Ils forment un parallélogramme:

Dessin6

 

 

 

 

 

3°) Propriétés de la somme de vecteurs

 

 

 

 

 

 

a) LA COMMUTATIVITE

 

 

 

-        On vous donne un point A .

-         Tracer le bipoint (A,B)  représentant de     puis   le bipoint (B,C) représentant de    

-         Tracer le bipoint  (A,D) représentant de    puis le bipoint (D,E) représentant de

 

Que peut - on dire des points C et E ?

Que peut - on dire des bipoints  ( A,C) et ( A,E) ?

 

La somme de deux vecteurs est indépendante de l’ordre dans lequel on effectue cette somme :

 


 ( cette propriété s’appelle la commutativité)

 

Dessin 7

 

 

b) ASSOCIATIVITE :

 

 

 

Quels que soient les vecteurs :    ;

  

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) Elément neutre  

 

 

Quel que soit le vecteur     ( du plan « P » ) , on a : (  = (  

 

on dit  que  le vecteur  nul  est   « élément neutre ».

 

Pour tout vecteur     , il existe un vecteur    unique tel que           ;      

 

 

 

4°) Somme de 3 vecteurs :

 

 

Dessin 8

 

 

 

 

 

Tracer   le bipoint (A,B) représentant de   , le bipoint (BC) représentant de , la somme     est représentée par le bipoint (A,C).

 

Tracer le bipoint  (C,D) représentant  de          . quel est le représentant de la somme      ?

 

Que peut - on dire des points D et G ?

Que peut - on dire des bipoints ( A,D) et   ( A , G ) ?

 

 

 

Si             sont 3 vecteurs  (du plan  « P » ) ,   on a :    

(cette propriété  s’appelle : l ’  ASSOCIATIVITE   )

 

 

 

 

 

 

5°)L’OPPOSE du vecteur  ( cliquer ici : information plus sur l’opposé d’un vecteur)

 

 

 

Activité : tracer le bipoint  ( A, B) représentant de      puis le bipoint (B,C) représentant de         .  La somme         est représentée par le bipoint  ( A , C ) .

 

Que peut - on dire des points  A et C ?.........................................du bipoint  ( A ,C )...............

 

Quelque soit  le vecteur      du plan « P »  ,il existe un vecteur      du plan « P » tel que 

                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs

 

CONTROLE :

 

 

1°) Traduire en langage littéral : =   +

 

2°) Traduire en langage littéral :

 

 (faire les exercices page : ............)

 

3°) Il est un cas         =

  Donner sa représentation graphique ; citer les deux conditions  nécessaires.

 

4° ) Donner la procédure  permettant de tracer la somme  de deux vecteurs (dispersés dans un plan )

 

5°) Quels sont les caractéristiques  du vecteur somme   ( noté :   ). ?

 

6°) Quels sont les trois principales propriétés  de la somme de deux vecteurs (ou trois vecteurs) ?

(donner pour chaque le modèle mathématique )

 

7 ° ) Quelles sont les caractéristiques  du « vecteur opposé » à un vecteur donné ? (donner un exemple graphique)

8°) Quand dit - on que deux  ( ou plusieurs)  vecteurs sont colinéaires ?

 

 


EVALUATION :

 

 

tracer      =     +  

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

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