CONTROLE

 

A) Traduire : A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie O  .

B) voir cas par cas :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné  

 

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Si  nous écrivons :

                            T   :   A B   ( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ;

                            telle que AB = 

 

              AB  ( x + x A  ,  y + y A )  =    ( x ,y)

 

a )faites une représentation graphique :

 par la représentation graphique.

Procédure : On trace  le vecteur « v » ; on place le point A.  A partir du point « A » , on trace une parallèle au vecteur « v » dont la longueur est égale à la norme du vecteur ; (voir ; tracer d’un parallélogramme) 

On relève les  valeurs des coordonnées du point B sur le repère :

                xB     ;  yB   ;  que l’on écrit     B (  xB     ;  yB)

b)déterminer la position du point B

détermination de la  position du point « B » par le calcul :

(  Voir  le calcul des coordonnées du vecteur AB)

Sont donnés : ( 2 ,-3)   et « A (1 ; 2 ) »   à pour image dans la translation de  le point  B ( xB ; yB )

 

Les coordonnées du vecteur AB sont :  (xB –1 ) ; (yB  - 2)

  Nous savons que   AB =    on peut donc écrire

 

                     AB (xB 1 ) ; (yB  - 2)= ( 2 ,-3)  si et seulement si

 

                  (xB 1 ) = 2   ; soit    xB –1  = 2    ;    xB  = 3

et              (yB  - 2)=-3 ; soit   yB  - 2  =   -3   ;     yB   =  - 1

 

Conclusion :  Les coordonnées du point B sont : ( +3 ; -1) 

 

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT

Pré requis :

a) calcul des coordonnées d’un vecteur

b) le vecteur colinéaire opposé.

c) le vecteur nul .

Comment opère –t –on  pour rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » ?  :

Un point « I » d’abscisse xI  et d’ordonnée yI  étant donné : I (xI ; yI )  .

Tout point  A ( xA ; yA) a pour image dans la symétrie centrale I , le point B tel que :

IA  =  - IB

 

Ou  IB  =   - IA

 

Remarque : si je connais les coordonnées du vecteur  IA , je peux soit en déduire, ou calculer  les coordonnées du vecteur IB  .

 

 

)Coordonnées du vecteur IB

sur «l’axe  xi »   xB  -  x I  =  ( xB ) – (xI )

 sur l’axe yi   =    y B  -  y I =   ( yB) – (yI 2)

 

 

 

III) SYMETRIE  PAR RAPPORT A L’ORIGINE DU REPERE

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie O  .

Pour obtenir la symétrie d’un point par rapport à l’origine il suffit de prendre les valeurs « opposées » aux coordonnées données .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

Soit un point A ( xA ; y A)  quelles sont les coordonnées de A ‘ et A’’ symétriques axiales  dans un repère cartésien .

1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des abscisses , un point A ( xA ; y A) a pour image le point A’( xA ; opp. y A) ;  ou A’( xA ; - y A

 

)1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées , un point A ( xA ; y A) a pour image le point A’’(opp. xA ; y A) ;  ou A’( - xA ; + y A

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

 

)Les coordonnées du vecteur « v » sont :

( 2 ,-3) ; et un point « A » tel que  A (1 ;2)

Questions : quelles sont les coordonnées de l’image de A ; notée « B » dans la translation T

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

 

sym8 par la représentation graphique.

Sont donnés : ( 2 ,-3)   et « A (1 ; 2 ) »   à pour image dans la translation de  le point  B ( xB ; yB )

 

Les coordonnées du vecteur AB sont :  (xB –1 ) ; (yB  - 2)

  Nous savons que   AB =    on peut donc écrire

 

                     AB (xB 1 ) ; (yB  - 2)= ( 2 ,-3)  si et seulement si

 

                  (xB 1 ) = 2   ; soit    xB –1  = 2    ;    xB  = 3

et              (yB  - 2)=-3 ; soit   yB  - 2  =   -3   ;     yB   =  - 1

 

Conclusion :  Les coordonnées du point B sont : ( +3 ; -1) 

 

 

 

2°) Rechercher  les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I »   : On donne   I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1).

 

a)   solution graphique .

b)   par le calcul .

 

Solution graphique

 

 

sym7

PAR LE CALCUL :

Calculs  des  coordonnées du vecteur  IA , pour t en déduire, ou calculer  les coordonnées du vecteur IB  .

 


)Calcul des coordonnées du vecteur  IA :      

  sur « xi »   xA  -  x I  =  ( +2 ) – ( +3)  =  ( -1 )     ( SOS calcul numérique?)

  sur yi   =    y A  -  y I =   ( + 1) – (  + 2) = ( -1)

conclusion :

      les coordonnées du vecteur   IA  ( -1 ; -1 )   ; les coordonnées du vecteur « opposé » IA     est     – IA = ( +1 ;+1)

  « l’opposé du vecteur ? ? ? »

 

 

 

 

 

 

 

 

)Coordonnées du vecteur IB

sur « xi »   xB  -  x I  =  ( xB ) – ( +3)

  sur yi   =    y B  -  y I =   ( yB) – (  + 2)

 soit  IB ( xB-3 ; yB –2)

le vecteur IB  ( xB-3 ; yB –2) = le vecteur– IA   ( +1 ;+1)  si et seulement si :

xB-3  = 1   et    si   yB –2 = 1 :

après calculs : xB  = 4  et yB = 3   ; 

 les coordonnées de B sont ( 4 ;3  )

 

Conclusion : les coordonnées du point B symétrique du point A par rapport au point I  sont  ( + 4 ; + 3  )

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) Soit un point A( +3 ; +2)  ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère  .

a)   Solution graphique

b)   Par le calcul

 

Si A ( +3 ; +2) ; son image ( B) dans la symétrie centrale  est

 B ( opp.+3 ; opp.+2)

Soit  B ( -3 ; - 2)

 

sym6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) Soit un repère cartésien orthogonal et un point A ( +3 ; +2) :

par rapport à l’axe ( O )  et par rapport à l’axe ( O )

 

Par le calcul.

a)  A ( +3 ; +2)  a pour  image dans la symétrie par rapport à  ( O )  le point A’ ( +3 ; opp. +2)

(*  -2  est l’opposé de +2)

 

les coordonnées de A’ sont sur x = + 3 ;et sur y =  - 2

b) A ( +3 ; +2)  a pour  image dans la symétrie par rapport à  ( O )  le point A’’ ( opp.+ 3 ; +2)

(*  -3  est l’opposé de +3)

les coordonnées de A’’ sont sur x = -  ;et sur y =  +  2

 

 

 

Par le graphique .

 

( voir symétrie axiale ; orthogonale ; réflexion)

 

sym5