Classe de 3ème collège

 

 

 

 

Les équations de droites  ( tracés )

Programme de 3ème collège.

 

 

Pré requis:

 

Droites et repérage

Vers le corrigé.

Droites dans un repère cartésien…

 

Les repères cartésiens

 

ENVIRONNEMENT du dossier:                                                                                               

Index

AVANT :

1°) Coefficient de droite.

 

2°) Voir les fiches 3ème collège.

3°) Droites dans un repère .

 

COURS

APRES :

1°)  Les droites croissante ; décroissante,..

)le parallélisme et la perpendicularité

3°) Fonction affine : représentation graphique

4°) Calculs.

 

5°) Fonction affine : équations.

Complément d’Info :

 

 

 

 

 

TITRE : ETUDE D’ UNE DROITE DANS UN REPERE:

Les équations de droites  ( tracés )   Classe de 3ème collège

 

Fiche 1 : Diverses positions d’une droite suivant son équation.

 

 

Fiche 2 : Détermination de l’équation d’une droite.

 

 

Fiche 3 : Comment lire sur le dessin une équation de droite :

 

 

Fiche 4 : Intersection de deux droites.

 

 

Fiche 5 : Droites perpendiculaires ( dans un repère orthonormal )

 

 

Fiche 6 : Situation problème.

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

Pour en savoir plus :  Pour chaque chapitre il y a un retour au cours , il faut cliquer sur « info + »


 

 

 

Fiche. Les équations de droites  ( tracés )

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Diverses positions d’une droite suivant son équation.

 

 

 

Une droite est parfaitement déterminée quand on connaît son équation : «   ».

Les valeurs de «  » et de «  » déterminent sa position par rapport au repère :

·       « m » , le coefficient directeur , donne l’inclinaison de la droite par rapport aux axes.

·       « p » est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

 

 

Dans chacun des cas ci-dessous, dessinez ( en rouge)la droite dont on donne l’équation. ( Le repère est orthonormal ).

 

 

 

 

 

 

«   »   et  «   »  

«   »

 

«   »   et  «   »  

«  »

 

 

equation_droite001

 

equation_droite001

 

 

 

 

 

 

 

«   »   et  «   »  

«   »

 

«   »   et  «   »  

«   »

 

 

equation_droite001

 

equation_droite001

 

 

 

 

 

 

 

«   »   et  «   »  

«  »

 

«   »   et  «   »  

«   »

 

 

equation_droite001

 

equation_droite001

 

 

 

 

 

 

 

«   »     

«  »

 

Cas particuliers   

«  »

 

 

equation_droite001

 

equation_droite001

 

 

 

 

 

 

 

 

«   »

 

Cas particuliers   

«   »

 

 

equation_droite001

 

equation_droite001

 

 

 

 

 

 

 

Droites dont l’équation n’est pas de la forme  «  y« = mx + p »  

«  »

 

Cas particuliers   

«   »

 

 

equation_droite001

 

equation_droite001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 2 : Détermination de l’équation d’une droite.

Info +++++

 

 

 

 

 

Exemple 1 :

Tracer la droite « d » passant par « A ( 4 ; 3 )»   et de coefficient «  » .

 

Nous allons déterminer l’équation de « d ».

Cette équation est de la forme «  y = m x+ p »

 

« A est un point de « d » »

Puisque «   »  , l’équation s’écrit  «    » 

equation_droite002

 

 

 

« A est un point de « d » » se traduit par :   « les coordonnées de « A » vérifient l’ équation de « d ».

 

C'est-à-dire :    «   »   et après simplification  ,  «  »   d’ où   «   »

 

 

La droite « d » a alors pour équation :  «    » 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 1 :

 

«  »  ( lire « delta ») est une droite ayant pour équation :

 «  »

 

               Déterminez l’équation de la droite «  » passant par le point «  B ( - 1 ; 2) et parallèle à  «  »  .

 

Dessinez les droites «  »  et  «  »  .

equation_droite003

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemple 2 :

Placez les points «   »  et  «  ».

Tracez la droite «  » passant par «  » et « ».

Déterminons l’équation de «  » ( de la forme  «   »)

 

«E »  est un point de « D » » se traduit par :   « les coordonnées de « E » vérifient l’ équation de « D ».

 

( il en est de même pour « F »). On écrira alors :

 

equation_droite004

 

 

Pour « E » :     »

 

 

 

C'est-à-dire

Pour « F » :     »

 

 

 

 

 

Vous êtes en présence d’un système d’équations de couple inconnu ( m ; p ).  A vous de le résoudre……..

 

 

 

 

 

  ( on a multiplié par « -1 » le deuxième ligne ) ;

; on additionne :  ;   

 

On reprend une des équation de départ pour trouver la valeur de « p »   : :     » ; :     » :  

  ; «   »

 

Le droite « D » a alors pour équation  « y = …………… »

D’où l’équation de la forme  «   » passant par les deux points est    «   »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemple 3 :

 

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on donne les points :

 

 

 

Placez  ces points  et tracez le triangle « KLM ».

 

Déterminez l’équation de chacune  des droites supports des côtés du triangle « KLM »

equation_droite005

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Comment lire sur le dessin une équation de droite :

Voir : tangente ….

 

 

 

Par lecture sur le dessin , nous allons déterminer les équations de droites « d » et «  ». Ces équations sont  de la forme «   ».

 

 

 

·       Droite «  » :

 

«  » étant l’angle de «  » avec l’axe des abscisses,  « m » étant positif , vous savez que    .

En considérant le triangle rectangle hachuré , vous pouvez écrire : 

  .

D’autre part, vous savez que le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées

Vous lisez alors sur le dessin :  …………

La droite «  » a pour équation

«  »

 

equation_droite006

 

 

·       Droite «  » :

«  » étant l’angle de «  » avec l’axe des abscisses .

« m » est négatif , vous savez que     .

En considérant le triangle rectangle hachuré , vous trouvez :   d’où  «   »

Vous lisez comme précédemment : «   »

La droite  «  »  a pour équation   «  »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice :

 

Lisez sur le dessin ci-contre l’équation de chacune des droites :

 

 

  ………………………………………………………..

  ………………………………………………………

  ………………………………………………………

  ………………………………………………………

 

 

 

equation_droite007

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Intersection de deux droites.

 

 

 

 

 

 

Exemple 1 :

Deux droites ont pour équations respectives : 

«  »   et «  ».

 

Activité :

·       Dessinez ces droites.

·       Elles n’ont pas la même direction car elle n’ont pas le même coefficient directeur .donc elles se coupent. Soit « M » le point d’intersection.

Lisez sur le dessin les coordonnées de « M ».  M ( …. ; ….)

equation_droite008

 

 

·       « M » étant un point commun aux deux droites, ses coordonnées vérifient chacune des équations.

Donc les coordonnées de « M » sont solutions du système :

 

 

 

A vous de résoudre ce système………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité :

 

Les droites   ;  ; ; ont pour équations respectives :

 

«  »   ; «  »   ; «  »  

 

Calculez les coordonnées des points d’intersection de ces droites.

 

Dessinez ces droites et contrôlez sur le dessin.

 

equation_droite009

 

 

 

 

 

Fiche 5 : Droites perpendiculaires ( dans un repère orthonormal )

Info +++ sur …..

 

 

 

 

 

Le plan est muni d’un repère orthogonal d’origine « O ».

 

« D » et « D’ » sont deux droites d’équation respectives «   » et  «  ».

 

« d » et  « d’ » sont respectivement parallèles  à  « D » et à « D’ » passent par « O ».

« d » et  « d’ » ont alors pour équations respectives :

«   » 

et

«  »

 

equation_droite010

 

 

Appelons « A » le point  de « d » d’abscisse  « 1 »    «  A ( …. ;…..) »

Appelons « A’ » le point  de « d » d’abscisse  « 1 »    «  A’ ( …. ;…..) »

 

·       Calculons   OA² ;  OA’²  et  AA’²      ……….).

 

 donc  «   »   . ; donc  «   »  

 

   c'est-à-dire      

 

Donc 

 

 

 

·       Si « D »  et « D’ » sont perpendiculaires , « d » et « d’ » le sont aussi .

 

Donc le triangle «  » est  rectangle .

 

 

Grâce au théorème de Pythagore , on peut écrire :               

 

C'est-à-dire  ( en reprenant ce que nous avons trouvé ci-dessus)    :

 

 

 

 

 

        et après simplification :        c'est-à-dire :

 

 

«   »

 

 

 

 

 

Inversement :  Si «  » , en faisant les calculs en sens inverse , on démontre grâce à la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle « AOA’ » est rectangle en « O » c'est-à-dire  que « d » et « d’ »  sont perpendiculaires ainsi que « D » et « D’ ».

 

 

 

 

 

 

Théorème :

Etant donné , dans le plan muni d’un repère orthogonal , deux droites  «  »  et «  » d’équations respectives  «   »  et «  », si «  » et «  » sont perpendiculaires alors «   »

 

Si «  » alors «  » et «  » sont perpendiculaires.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 1 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormal tracez la droite « D » d’équation «  y = -2x +3 » et la droite   passant par « A ( - 2 ; 1 ) et perpendiculaire à « D ».

Déterminez par le calcul l’équation    .

equation_droite011

 

 

 

 

 

Activité 2 :

 

Déterminez l’équation de chacune des hauteurs du triangle « KLM » de l’exercice   « 2 » de la fiche 2.

 

Calculez les coordonnées  de l’orthocentre du triangle « KJM » .

Rédigez vos calculs sur une autre fiche.

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 6 : Situation problème.

 

 

Le plan est muni d’un repère orthonormal.

Vous compléterez  la figure tout au long du problème.

« d » est la droite d’équation : «  »

 

 

 

1°) «  » est le point de «  » d’abscisse «  » , calculez son ordonnée. ;  « » est le point  de « d » d’ordonnée «  » , calculez son abscisse.

 

2°) Tracez la droite «  » et placez «  »

 

3°) Déterminez l’équation de la droite (  ).

 

4°) La parallèle  à  (BC)  passant par « A » et la parallèle à ( AB )  passant par « C » se coupe  en « D ».

Déterminez les équations de ( AD ) et de ( BC) .

 

5°) Calculez les coordonnées de « D ».

 

6°) Déterminez les équations des droites  ( AC ) et de ( BD) .

 

7°)  ( AC ) et ( BD) se coupent en « I ». Calculez les coordonnées de « I ».

 

8°) Vérifiez par le calcul que « I » est le milieu de  et de   .

 

9°) Démontrez que ( AC) et (BD ) sont perpendiculaires.

Quelles la nature de « ABCD » ? ( Démontrez – le )

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

CONTROLE:

 

 

 

1°) Par définition quelle est la forme de l’équation d’une droite (D) ?

 

1°)  Compléter les phrases :

a)  Tous les points du plan dont les coordonnées ( x , y ) vérifient l’égalité :                  y = m x + p    , sont …………………………………………..

b)  Si un point est sur (D) alors ……………………………………………………

 

c)   x = k est l ‘équation d’une :  ……………………………………………..

d)   y = p est l’  équation d’une …………………………………………………..

2°) dans l’équation de la forme «  y = ax +b » quel nom donne - t-on à « a » et à « b »

 

3°) Donner la procédure permettant d’établir l’équation d’une droite dont on connaît : On connaît un point de la droite A ( x1 ; y1et son coefficient directeur « m ».

 

)Donner la procédure permettant d’établir l’équation d’une droite dont on connaît deux points appartenant à la droite.

5°) Soit l’équation de la forme « y = m x + p »  si « m = 0 » que faut  - il conclure ?

 

6°) Soit l’équation de la forme « y = m x + p »  si « y = 0 » que faut - il conclure ?

(on posera  «  - p/m  = P »

 

7°) En règle générale, que faut -il connaître , au plus simple , pour tracer une droite dans un repère ?

 

8°) Qu’indique le coefficient directeur d’une droite ?

 

9°) Compléter la phrase :

La valeur absolue du  coefficient directeur est  égale  ………………………………………………………………………………………….

 

10°) Quel est la nature du nombre représentant le coefficient directeur d ‘ une droite ?

 

11°) Quelle est la formule qui permet de calculer le coefficient directeur d’une droite : 

 

 

12°) si   m  >   0    , que peut - on conclure ?

13°) si    m   <    0  , que peut -on conclure ?

 

14°) On nous donne deux équations de droite. Quand peut on dire que ces deux droites sont « parallèles » ?:

 

15°) On nous donne deux équations de droite. Quand peut on dire que ces deux droites sont « perpendiculaires ou orthogonales » et non parallèles aux axes ? 

 

 

 

 

 

EVALUATION:

 

 

 

 

1.     Dans un repère orthonormal, on considère les courbes  suivantes :

 

(C1 ) : y = -2x +1 ; (C2 ) : y = x² + 3 y² = 5 ; (C3 ) : y = 7x ; (C4 ) : y = x y + 3 x = 0 ; (C5 ) : y = 5 ; (C7) : y = 3x + 6 y - 10 = 0

 

Parmi ces courbes, quelles sont celles qui sont les représentantes d’une droite ?

 

 

2 . Dans un repère orthonormal , soit la droite (D) : y = 6 1,5 x + 2,5

 

 Dire si les points suivants appartiennent à la droite (D) :

                                   A ( 2 ; - 5) ; B ( 0,2,5 ) ; C ( -1 ; -1 ) et F (-6 ; 5 )

 

3 . Dans un repère orthonormal, on considère les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ; D4 :   y =  - x + 1

 

Déterminer le coefficient directeur de chacune de ces droites

 

 

4. Dans un repère orthonormal , soit la droite ( D) :  y = -0,5 x + 2

 a) déterminer les ordonnées des points A ; B ; C et D d’abscisses respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2

 

b) Déterminer les abscisses des points E ; F ;G et H d’ordonnées respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2

 

5 . Dans un repère orthonormal , tracer les droites :

 

(D 1 )  de coefficient directeur  « -1 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; 2 ) ;

(D 2 )  de coefficient directeur  « 0,5 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; -1 ) 

(D 3 )  de coefficient directeur  « -1,5  » et passant par le point de coordonnées ( 1 ; -3 ) 

(D 4 )  de coefficient directeur  « 2 » et passant par le point de coordonnées ( -1 ; 1 ) 

 

6. . Dans un repère orthonormal, tracer  les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ;  D4 :   y =  - x + 1

 

7. Dans un repère orthonormal , déterminer une équation de la droite ( D) passant par le point A ( 0 ; 5 ) et  B ( -2 ; 3 )

 

8 . Dans un repère orthonormal , déterminer  une équation de la droite ( D) passant par le point A ( - 1 ; 4 ) et dont le coefficient directeur est  «  m = -4 ».

 

9. Déterminer une équation de chacune des droites ( D 1 ) ; ( D 2 ) et ( D 3 ) données dans le repère orthonormal ci contre.

 

10. Dans un repère orthonormal , soit la droite  ( D) dont une équation est y = 3x + 5 . Parmi les droites suivantes :

 

D1 :   y = 3x + 2 ;  D2 :   y =  3 x + 0,5  ; D3 :   y =-3 x + 0,5  ;  D4 :   y =  0,5 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont celles qui sont parallèles à la droite ( D) ?

 

11. Dans un repère orthonormal, soit la droite ( D) dont une équation est « y = 3x +5 »

parmi les droites suivantes :

 

D 1 :     ;   D2  =   ; D 3 =  ; D 4  = y = 3 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont perpendiculaires à la droite ( D) . ?