Classe de 4ème collège

 

 

 

Liste des cours de 4ème (programme)

 

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Ne pas confondre !!!   « cercle »  et « disque » ces deux mots désignent des « objets » différents.

CERCLE : une ligne particulière

DISQUE : une surface plane délimitée par une ligne particulière.

cercl

disq

Pré requis:

Notions : plan –ligne – point

 

Matériel de traçage

 

Le nombre "pi"

3D Diamond

La ligne courbe

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index accueil warmaths

 

 

Objectif précédent  

1°) Le cercle ( vu en primaire)

Objectif suivant :

)Les disques

2°) détermination du centre

3°) positions relatives de deux cercles

4°) positions relatives d’un cercle et d’une droite

5°) Cercle et symétrie.

6°) « Cercle » « disque » et « isométrie »

tableau    Sphère metallique

1°) Géométrie présentation

 

2°) Cours de niveau V

 

3°) Info complémentaires.

 

 

 

DOSSIER : LE CERCLE ; distance ; inégalité triangulaire.

 

 

Fiche 1 : Cercle.

 

 

Fiche 2 : Détermination d’un cercle.

 

 

Fiche 3 : Position relatives de deux cercles.

 

 

Fiche 3 bis.(positions relatives de deux cercles).

 

 

Fiche 4 : Construction de triangles.

 

 

Fiche 5 : Inégalité triangulaire

 

 

Fiche 6 : Régionnement du plan par la médiatrice   d’un segment .

 

 

Fiche 7 : Distance d’un point à une droite.

 

 

Fiche 8 : Positions relatives d’une droite et d’un cercle.

 

 

Fiche 9 : Tangente à un cercle.

 

 

Fiche 10 : Propriété des points de la bissectrice d’un angle.

 

 

 

TEST

 

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

 Sciences      Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

1°) Situation problèmes.

2°) Fiches  module 5 : ……arithmétique.

3°) Fiche spécifique :…

 

 

 

Fiche : cercle et dessins.

Fiche : le cercle et le tracé 

Fiche : cercle « exercices »

Fiche :cercle et problème.

Fiche : cercle et son périmètre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Cercle.

Info ++@

 

 

Définition :

« O » étant un point du plan et   « R »  un nombre positif, on appelle « cercle » de centre « O » et de rayon « R » l’ensemble des points du plan …………………… ……………

cercle001

 

 

 

 

 

Etant donné un cercle de centre « O » et de rayon « R ».

« M  est un point du cercle » signifie « OM = R ».

« E est un point intérieur au cercle »  signifie « OE …………….R ».

« F est un point extérieur au cercle »  signifie  « OF …………………….. R ».

 

Tout cercle admet un centre de symétrie qui est     « ……. ».

Tout cercle admet une infinité d’axes de symétrie ce sont ……………………………….

cercle002

 

 

Corde :On appelle corde d’un cercle tout segment dont les extrémités sont sur le cercle.

 

Démontrez oralement les théorèmes suivants :

Théorème 12 : Dans tout cercle, la médiatrice de chaque corde passe par le   ……………….. de ce cercle.

Théorème 13 : Tout diamètre passant par le milieu d’une corde est …………….de cette corde.

Théorème 14 :Tout diamètre perpendiculaire à une corde est ………….de cette corde.

cercle003

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : Détermination d’un cercle.

 

 

 

1°) Cercles passant par un point.

Ci-contre un point « P ».

 

Activité : dessinez des cercles passant par « P ».

Questions:

Combien pouvez-vous en tracer ? ………….une infinité……….

Quel est l’ensemble des centres de tels cercles ? ……………..

cercle041

 

 

2°) Cercles passant par deux points distincts.

 

 

 

Ci-contre : Deux points « A » et « B ».

Activité : Dessinez des cercles passant par « A » et « B ».

« O » étant le centre d’un de ces cercles, puisque « A » et « B » sont des points de ces cercles alors «  OA   ..OB »  .

Donc , « O » est situé sur la ………………………de  [AB].

 

Tracez cette droite sur la figure.

§  Choisissez un point « O’ » quelconque sur cette droite.

§  Dites en l’expliquant verbalement si ce point peut être considéré comme le centre d’un cercle passant par « A » et « B ».

On peut alors dire :

cercle042

 

 

Théorème 15 :

Par deux points « A » et « B » , il passe une infinité de cercles.

L’ensemble des centres de ces cercles est la  ………………………………… de  [AB].

 

 

 

 

 

 

3°) Cercle passant par trois points distincts.

 

 

On donne trois points distincts « A », « B » et « C ».

On se propose de déterminer  un ( ou des ) cercle (s) passant par « A », « B » et « C ».

 

Soit « O » le centre d’un tel cercle ( s’il existe ) .

Ce cercle devant passer par « A », « B » , « O »  doit être situé sur la médiatrice de   ………….

 Ce cercle devant passer par « B », « C » , « O »  doit être situé sur …………………………………………… ;   ………….

« O » est alors situé à l’intersection  ( si elle existe ) de ces deux droites.

 

 

 

v Les trois points « A », « B » et « C » sont alignés.

Tracez les médiatrices de  [AB]  et   de   [BC].

Que constatez-vous ?

cercle004

 

 

Démontrez le.

 

 

Ces droites ont- elles un point commun ? ……………………………………………………………………………..

Donc « O » existe-t-il ? ……………………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

Théorème 16.

Il n’existe pas  de cercle passant par 3 points distincts alignés.

 

 

 

 

 

v Les trois points « A », « B » et « C » ne sont  pas  alignés.

Tracez les médiatrices de  [AB]  et   de   [BC].

Les droites ( AB ) et ( BC ) n’ayant pas la même direction, les médiatrices se coupent.

 

Soit « O » le point d’intersection. Il est unique.

« O » étant sur la médiatrice  de [AB]  alors «  OA   OB » .

« O » étant sur la médiatrice  de [……]  alors «  …………… » .

Par transitivité de l’égalité , on a  «  OA = ……….= ……… »

Le cercle de centre « O » passant par « A » passe donc aussi par   ….et par ……..

Ce cercle est unique, tracez- le.

cercle005

 

 

 

 

 

Théorème 17.

¨Par trois points  non alignés , il passe un cercle et un seul.

 

 

 

 

 

Remarque 1 : Si deux cercles ont en commun au moins 3 points , ces cercles sont …………………………………………………………

Remarque 2 : Deux cercles distincts ne peuvent donc pas avoir plus de ……………………………..points communs.

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Position relatives de deux cercles.

Info +++@ ….

 

 

Activité : on vous demande de remplir la fiche suivante « Fiche 3 bis ».

 

Pour ce faire :

On considère deux cercles , l’un de centre « O » et de rayon « R », l’autre de centre « O’ » et de rayon « R’ » tel que «  R  R’ ».

On appelle « d » la  distance de leurs centre . « OO’ = d ».

Suivant la valeur de cette distance , les cercles occupent diverses positions l’un par rapport à l’autre.

Voici , ci –dessous, toutes les situations possibles , dans un ordre quelconque.

 

 

 

Position 1

Position 2

Position 3

 

 

cercle007

cercle011

cercle009

 

Position 4

Position 5

Position 6

cercle006

cercle010

cercle008

 

Complétez le tableau représentant dans chaque case le dessin correspondant convenablement choisi parmi l’un des six ci-dessus.

( Placez le centre des cercles ).

Vous prendrez  pour rayon  R = 19 mm  et R’ = 13 mm .

Dans chacun des cas , vous préciserez la distance de « d » (en mm) que vous aurez choisie.

Vous indiquerez le nombre de points d’intersection des deux cercles.

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 bis.(positions relatives de deux cercles).

 

 

 

Relation entre la distance « d » et les rayons.

Désignation et nombre de points communs.

Dessin.

 

« d = 0 »

Cercles concentriques.

 

……….point commun

« d = ……… » 

cercle044

 

«  d < R – R’ »

Un cercle est à l’intérieur  de l’autre.

……….point commun

« d = ……… »

cercle044

 

« d = R – R’ »

Cercles tangents intérieurement.

 

…. Point commun situé sur « OO’ »

« d = ……… »

cercle044

R-R’ < d < R+R ’

Cercles sécants .

 

………points communs

« d = ……… »

cercle044

d < R + R’

Cercles tangents extérieurement.

….point commun situé sur « OO’ »

« d = ……… »

cercle044

d > R + R’

Cercles extérieurs.

…..point commun

« d = ……… »

cercle044

 

 

 


 

 

 

Fiche 4 : Construction de triangles.

Info +++ @ triangle tracé…

 

 

 

 

 

Dans les trois cas suivants vous allez construire, si cela est possible, un triangle dont les mesures des côtés sont les nombres donnés . ( ce sont des millimètres) .

Pour faire ces constructions , il vous faudra tracer des cercles.

Précisez dans chacun des cas la position relative de ces cercles.  ( voir la fiche 3 ) et écrivez, avec les nombres donnés , l’égalité ou les inégalités correspondantes.

 

 

 

1er cas : mesure de côtés : 50 mm , 40 mm, 30 mm.

Faîtes trois dessins en partant chaque fois du côté  déjà placé.

 

 

 

Dessin1

Dessin 2

Dessin  3

 

Position des cercles : …………………………

Position des cercles : …………………………

Position des cercles : …………………………

Egalité ou inégalités : …………………………

Egalité ou inégalités : …………………………

Egalité ou inégalités : …………………………

cercle012

cercle013

cercle014

 

 

Tous les triangles obtenus sont-ils superposables ?........

 

 

 

2ème  cas : mesure de côtés : 35 mm , 17 mm, 13 mm.

Faîtes deux dessins en partant chaque fois du côté  déjà placé.

 

 

 

Dessin1

Dessin 2

 

 

Position des cercles : …………………………

Position des cercles : …………………………

 

 

Egalité ou inégalités : …………………………

Egalité ou inégalités : …………………………

 

 

cercle016

cercle017

 

 

Le triangle existe-t-il ? …………………………………………………………………………

 

 

 

3ème  cas : mesure de côtés : 35 mm , 20 mm, 15 mm.

Faîtes deux dessins en partant chaque fois du côté  déjà placé.

 

 

 

Dessin1

Dessin 2

 

Position des cercles : …………………………

Position des cercles : …………………………

Egalité ou inégalités : …………………………

Egalité ou inégalités : …………………………

cercle018

cercle017

 

 

Le triangle existe-t-il ? …………………………………………………………………………

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 : Inégalité triangulaire

Info + @ inégalité triangulaire.

 

 

Dans la fiche 4 ,   vous avez  pu  constater qu'il n'est pas  toujours possible de dessiner un triangle dont  les mesures des  côtés sont  trois nombres  donnés  quelconques.

 

 

·       Le triangle est « aplati » dans le cas où les cercles sont …………………... 
                Dans ce cas, un des nombres est égal à la ………………. des deux autres  ou ce qui revient au même,  un des nombres est égal à la            ……des deux autres.
 
·            Le triangle n'existe pas dans le cas où les cercles ne se …………………… Dans ce cas, un des nombres est strictement  ………………..    à la somme des deux autres
ou ce qui revient au même,  un des nombres est strictement     ……………………….            à la différence des deux  autres.

 

 

 

·       Le triangle existe uniquement dans le cas où les cercles se  ..…..
Dans ce cas, chacun des nombres est strictement        ………………………. à la somme des 2 autres
et chacun des nombres est strictement …………………….à la différence des deux autres.

 

 

 

Remarque   1
On peut dire que le triangle existe uniquement dans le cas où le « plus grand côté » est inférieur à la somme des deux autres

(explique oralement pourquoi les autres conditions sont automatiquement vérifiées).

 

 

 

 

 

Conséquences :     Etant donnés 3 points « A »,  « B »  , « C » distincts
 si ces points ne sont pas alignés, ils déterminent un triangle. Puisque ce triangle existe c'est donc qu'un côté quelconque est strictement inférieur à la somme des deux autres.
On peut donc écrire :       BC     BA + AC.

 

cercle019

 

 

 

 

 

*    Si les trois points sont alignés le triangle est aplati.
Un des points est situé sur le segment déterminé par les deux autres.
                      En appelant  « A »   ce point,    on a alors BC  BA + AC.   et par conséquent  BA       BC + AC    et   AC   BC + BA.    

 

cercle020

 

 

II n'y a pas de cas où l'on puisse écrire BC > BA + AC. En définitive on peut dire :

 

 

 

Propriété 39 :
   A , B , C étant 3 points  quelconques du   plan, alors   BC  BA + AC
 

   BC = BA + AC   signifie  que   A  est situé  sur  [ bc] .

 

 

 

 
Remarque  2    L'inégalité  ci-dessus  est  connue  sous  le nom d'inégalité  triangulaire.

 

 

 

 

 

Exercice :
« ABC » est un triangle quelconque et « M » un point  " à l'intérieur" du triangle « ABC ». Nous allons démontrer que  le  trajet  (B,M,C) est plus court que  le  trajet  (B,A,C). C'est-à-dire  que     BM + MC < BA + AC.

 

Activité :

Tracez    (BM)   qui coupe   (AC)   en « E » et tracez     [MC].

Dans  le  triangle « MEC »,   grâce  à la propriété 39,  on peut écrire   :  

MC <   ME + ……….

cercle021

 

 

Ajoutons BM aux deux membres de cette  inégalité  (cours sur …  Fiche 5)   :     BM + MC <  BM + …..+ …….
« M » est un point  à l'intérieur du triangle , donc « M » est situé   sur  [BE],   donc    BM + ME =  ……….
L'inégalité précédente  s'écrit alors   :                              BM + MC   < …… + ……..   ( 1) 

 

 

 

Dans  le  triangle « BAE »,   grâce  à la propriété 39,   on peut écrire   :         BE < B A + ………

Ajoutons « EC »  aux deux membres de cette  inégalité,   on obtient  :   BE + EC  <  BA + ……+ ……….

 

Or,   « E » est un point  de   [AC] ,   donc            AE  + EC  = …………..

 

L'inégalité précédente  s'écrit alors  :                             BE + EC < BA +……………    (2)

 

En considérant  les inégalités   (1 ) et  ( 2 )     ,  on peut écrire :   ………+……….   < ………+ ……….

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : Régionnement du plan par la médiatrice   d’un segment .

Info @ ……

 

 

 
Problème   :  Etant donné deux points  distincts A et  B,   cherchons    se  situent  les  points M du plan tels  que    MA < MB    ou    MA > MB .

 

 

 

Vous connaissez ,  déjà  l'ensemble des points « M » tels  que « MA = MB ».
Cet  ensemble  est  constitué par  les points de  la ………………….  De [ AB ]

 

 

 

Tracez  cette droite  sur  la figure  ci-contre.  Appelons-la « d ».

 

Cette droite partage  le plan en deux demi-plans,  l'un contenant « A »  ,   l'autre  contenant  « B ».
Elle  coupe   [AB]   en son milieu.   Appelons-le « O ».

 

*    Pour  tout point « M »  situé  sur  la demi-droite   [OA, on a évidemment    MA …….. MB.

 

cercle022

 

 

*    Choisissez    un point « M » dans le demi-plan contenant « A »,
« M »     non situé sur [OA  ni  sur « d »  . Tracez    [MA] et [MB] .
« M » et « B » étant de part et d'autre de « d »,   la droite d coupe [MB] en un point « E » situé entre « M » et « B » donc MB = ME + EB

 

 

 

Tracez   [EA] et appliquons la « propriété 39 »  au triangle « MAE » :  MA  < ……….. + …………..
Or « E »   est un point de la médiatrice de [AB] donc  EA = …………………………….

 

En remplaçant « EA » par « EB » dans l'inégalité précédente, on obtient :
                                                              MA <………..+ ………….  et comme ME + EB = ………….  alors MA <…………………
 
II en est ainsi pour tout point « M »  situé dans le demi-plan contenant  « A »     (  « d » exclue).
 
On prouverait de même que :  
                                   MA > MB pour tout point M situé dans le demi-plan contenant ………………   ( « d » exclue ).
On énoncera alors :

 

 

 

Théorème 18 :

Etant donné, deux  points  « A »  et « B » ,  en appelant « d » la . Médiatrice  de  [ab] ,

*    L’ensemble des  points  « M »  du  plan tels que   MA = MB est  la médiatrice  de. [ab],

*    L’ensemble des  points  « M »  du  plan tels que   MA  MB est  le demi-plan de frontière « d » contenant « A » ( « d » exclue)

*    L’ensemble des  points  « M »  du  plan tels que   MA  MB est  le demi-plan de frontière « d » contenant « B » ( « d » exclue)

 

 

 

Exercice

 

On donne 3 points « A » , « B » , « C ».
Tracez  les médiatrices de [AB] , [BC] , [ÇA] .
(comme sur la figure ci-contre)

 

(remarque : MA< MB < MC )

cercle023

 

 

Vous savez   que les médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Ces trois droites déterminent donc entre elles  ……….   zones dans le plan.
« M »  étant un point quelconque d'une des zones, vous allez  écrire une double inégalité entre      MA , MB , MC.

 

 

 

Exemple :

Pour la zone contenant le point A,
*    par rapport à la médiatrice de [AB],     on peut écrire MA< MB,
*    par rapport à la médiatrice de [AC],    on peut écrire MA<C.MC, 
*    par rapport à la médiatrice de [BC],     on peut écrire MB<CMC,
On en déduit que MA < MB < MC.

 

 

 

 

Activité :
Faites de même pour les autres zones, (écris la double inégalité dans la zone correspondante).

 

 

 

 

cercle024

 


 

 

 

 

 

Fiche 7 : Distance d’un point à une droite.

Info +++@ +++++

 

 

 

 

 

Voici , ci-contre ,   une droite « d » et un point « P ».
Choisissez    quelques points de « d » et mesurez leur distance à « P ».
Vous constatez  que ces distances sont différentes d'un point à l'autre.
*    On se propose de chercher un point de « d »  pour lequel la distance à « P » soit la plus petite possible.

 

Q’  avez- vous trouvé ?...................................................

 

cercle025

 

 

 

 

 

Voici comment on peut le démontrer :
Appelons « H » le projeté orthogonal de « P » sur « d ».
 Appelons « M » un point quelconque de « d », « M  H ». Le triangle « PHM » est rectangle en « H ». Or, vous savez  (théorème 11) que dans tout triangle rectangle l'hypoténuse est   le plus  ………… des côtés. Donc PM………..PH.

Donc « H » est le point dont la distance à « P » est la plus ………………..

cercle026

 

 

 

 

 

Définition :

On appelle distance  d'un point à une droite , la  distance, du point  à son projeté orthogonal sur cette droite.

 

 

 

 

 

ENSEMBLE DES POINTS SITUÉS A UNE DISTANCE IMPOSÉE D'UNE DROITE  DONNÉE

 

 

Ci –contre :     On donne une droite «  »  .
Activité :
Placez des points dont  la distance à «  »  (en mm) est 12.
Activité :
Tracez  en rouge l'ensemble de tous les points possibles.
 
Puis démontrez (oralement) le théorème :

 

cercle027

 

 

Théorème 19 :

L’ensemble des points situés à une distance imposée  d’une droite donnée est constitué par ………………………………………………………..

 

 

 

 

 

Exercice   1 :

Ci-contre.

Voici deux droites « e » et « f » .
 Déterminez les points qui sont à la fois à 10 mm de « e »    et à 8mm de « f ».

 

cercle028

 

 

DISTANCE DE DEUX PARALLELES.

 

 

Vous avez  vu en 5ème collège  que :

 

 

Définition

On appelle « distance de deux parallèles , la distance d’un point de l’une à son projeté orthogonale sur l’autre.

 

 

 

 

 

Exercice 2
Dans un parallélogramme, on appelle " hauteur " la distance des côtés opposés parallèles.
Mesurez  les hauteurs du parallélogramme ci-contre.
Vous  trouvez :……………..mm et  …………..mm.

 

cercle029

 


 

 

 

 

 

Fiche 8 : Positions relatives d’une droite et d’un cercle.
Info + @+++

 

 

 

 

 

ci-contre , voici une droite « d » et une droite « D » perpendiculaire à « d », coupant « d » en « H ».

 

Considérons des cercles dont le centre « O » est sur « d ».

La distance de « O » à « D » est égale à « OH ».

cercle030

 

 

1er   Cas       « H »  EST EXTERIEUR AU CERCLE
C'est-à-dire    OH ……R
Pour tout point M de D,  OM          OH (théorème       )
Donc, par transitivité      OM…….R
Donc , la droite et le cercle ont ……….   point commun.
On dit alors que la droite est extérieure au cercle.

 

cercle031

 

 

2ème  Cas  « H »  EST SUR LE CERCLE
C'est-à-dire « OH ….R »
On démontre comme précédemment que : 
Pour tout point « M » de « D » autre que « H »,  « OM……..R »
Donc, la droite et le cercle ont     ………….point commun.
 

cercle032

 

 

 

 

 

 

Définition
On appelle  « tangente » , à un cercle  toute  droite qui n'a qu'un point commun avec le cercle.
 
Théorème 20
Toute, droite passant par  un point d'un cercle et perpendiculaire au rayon passant par ce  point est tangente à ce cercle.

 

 

 

 

 

 

 

3ème  Cas : « H »   EST INTERIEUR AU CERCLE
C'est-à-dire   OH…….R.
Il est possible de démontrer que  la droite et le cercle ont ……….points communs.
On dit que la droite est sécante au cercle.
 

cercle033

 

 

Remarque
Grâce au « théorème 16 », on peut dire :
Une droite et un cercle ne peuvent pas avoir plus de deux points communs.

 

 

RECIPROQUES
1°) Si la droite est extérieure au cercle, peut-on avoir OH = R ?........     OH<R ?...................
(Explique pourquoi oralement). Donc il reste OH ……..R.

 

2°) Si la droite est tangente au cercle,  peut-on avoir OH < R ?.........  OH>R ? ………………
                             (Explique pourquoi oralement). Donc il reste OH……..R.

 

3°) Si la droite est sécante au cercle,   peut-on avoir OH > R  ?  OH = R ?
                                                          (Explique pourquoi oralement). Donc il reste OH ……..R.

 

 

 

Théorème 21 :
1°)  Une  droite est extérieure  à un cercle si et seulement si sa distance  au centre est  strictement supérieure  au rayon.  La droite et le  cercle  ont alors  0…. point commun.
2°) Une  droite est tangente   à un cercle si et seulement si sa distance  au centre est  égale  au rayon.  La droite et le  cercle  ont alors  1  ... point commun.
3°) Une  droite est sécante   à un cercle si et seulement si sa distance  au centre est  strictement inférieure  au rayon.  La droite et le  cercle  ont alors  2…. point commun.

 

 

 

 

 
*    Dans le cas d'une droite tangente à un cercle,
on peut transcrire le théorème de la manière suivante

 

 

 

Théorème 22
Toute  tangente  à un cercle  est  perpendiculaire. au rayon passant par  le point commun au cercle et à cette droite.

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 9 : Tangente à un cercle.

Info +++@  tangentes au cercle …..

 

 

 
Voici un cercle de centre « O »  et    2 points « A » et « B »  de ce cercle non diamétralement opposés.

 

 

 

Tracez par « A » et par « B »    les tangentes à ce cercle.  (pensez au théorème 22) .

 

Puisque « O » ,  « A » ,  « B » ne sont pas alignés, les tangentes se coupent (expliquez).

 

Appelons « P » le point d'intersection.
 

cercle034

 

 

1°) Démontrez que « O » , « A », « P », « B » sont situés sur un même cercle dont vous  préciserez  le centre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°)
a)    Tracez le cercle de diamètre [OP].
b)    Démontrez que la figure admet un axe de symétrie.
c)    Démontrez que [OP est la bissectrice de  et [PO bissectrice de   et que PA = PB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) Sachant que le rayon du cercle est 15cm et OP = 39cm  , calculez PA et PB et une valeur approchée à 1° près de .

 

 

 

 

 

Construction des tangentes à un cercle passant par un point extérieur au cercle.

 

 

 

On donne un cercle « C »  de centre 0 et un point P extérieur au cercle. On demande de construire les droites passant par P et tangentes au cercle « C » .

 

cercle035

 

 

La figure de l'activité précédente vous  suggère de tracer le cercle de diamètre []OP] .
Ce cercle coupe le cercle £ en 2 points A et B.
Grâce au théorème 8, puisque [OP] est diamètre, alors (PA) est perpendiculaire à (OA)  et comme [ÔA] est rayon du cercle « C » , alors grâce au théorème 20, (PA) est tangente au cercle.
Il en est de même pour (PB). Complétez la figure.

 

 

 

 

 

 

Activité :

 

On donne un cercle de centre 0. [AB] est un diamètre du cercle.
« M » est un point quelconque du cercle, M  A   ,    M  B.
 
1°) Tracez les droites  « d » et « d’ »  respectivement tangentes en « A » et  « B » au cercle. Démontrez que « d » et « d »' sont parallèles.
 
2°) Tracez  «   »   tangente en  « M »  au cercle.    «   »   coupe  « d » en « E » et «d' »  en « F ». Trace [OE et [OF.
Démontrez  que   est droit. (Utilisez   le « 2° »  de l'activité du début de la fiche ).
 
3°) Démontrez    que OE  0F = OM  EF.      (Utilisez le calcul d'aire).
 
 4°) Démontrez  que l'aire du trapèze « AEFB »  est le double de l'aire du triangle « OEF ».
 
Déduisez -en que « AE + BF = EF » 
 
 5°) Démontrez d'une autre façon que « AE + BF = EF »  (Utilisez  le 2° du début de la fiche ).     ,

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 10 : Propriété des points de la bissectrice d’un angle.

Info +++@  tangentes et bissectrices …..

 

 

 

 

 

Voici, ci-contre , un angle  et sa bissectrice          [Oz.
« M » est un point quelconque de [ Oz.
« H »   est le projeté orthogonal de « M »  sur [Ox.
« K »  est le projeté orthogonal de M sur  [Oy.

 

Appelons «   »    le support de [Oz. 
 «   »    est axe de symétrie de .  
 
  Expliquez   pourquoi (oralement) « H » et « K » sont symétriques par rapport à «   »   .

 

 

cercle036

 

 

On en déduit alors que MH ………..MK.           Donc M est  ……………………………………. de [ Ox et de [Oy.

 

 

 

Théorème 23

Tout point de  la bissectrice  d'un angle  est équidistant des côtés  de cet angle.

 

 

 

 

 

Réciproque
« P » est un point à l'intérieur de l'angle .
« A » est le projeté orthogonal de « P »  sur le support de [Ox.
« B » est le projeté orthogonal de « P » sur le support de [Oy.
« P » est tel que « PA = PB ».

 

cercle037

 

 

Démontrons que « P » est sur la bissectrice de .
Les triangles « OPA » et « OPB » sont des triangles rectangles. Grâce au théorème de Pythagore, on peut écrire :

OA² = OP² - PA²  et OB² =……… ………..

 

Puisque par hypothèse   « PA = PB »     alors « OA² = OB² »      et par   suite  « OA = OB »   .

 

Sachant que  « PA = PB » et  « OA = OB »   on en déduit que (OP) est ………………………………. de [AB ].
 
 (OP) est donc « axe de symétrie »  de la figure donc [OP est …………………………...

 

 

 

Théorème 24
Tout point   équidistant  des côté  d'un angle est situé sur la bissectrice de l'angle.

 

 

 

 

 

 

Exercice 1
Tracez l'ensemble des points équidistants  des deux droites sécantes ci-contre.
Cet ensemble est constitué par deux droites.
Ces deux droites sont ………………………………………………….                                                                    
Expliquez pourquoi (oralement).

 

cercle038

 

 

Exercice 2.

 

« CED » est un triangle rectangle en « E ». La bissectrice de  coupe (ED) en « F ». Démontrez que EF < FD.
 
(Utilisez le projeté « G » de « F » sur (CD)).
 

cercle039

 

 

Exercice 3
« ABC » est un triangle quelconque.
La bissectrice de  et la médiatrice de [BC]  se coupent en « M ».
 « H » et « K »  sont les projetés orthogonaux de « M »  sur (AB) et sur (AC).
Démontrez    que   « HB = KG » » (Utilisez le théorème de Pythagore).
 

cercle040

 

 

 

 

 

Exercice_4
 On donne un segment [AB ]  et deux demi-droites parallèles [Ax et [By situées dans un même demi-plan de frontière (AB).
 
Les bissectrices de        et  se coupent en « C ».
« C » se projette en « E »  sur [Ax  , en « F »    sur [By   et  en « H » sur (AB).
1°) Démontrez que « C »  est le milieu de [EF] (Utilisez CH).
2°) Démontrez  que le cercle passant par « E »,  « H » , « F » est tangent à (AB).
3°) Démontrez que le triangle « EHF » est rectangle en « H ».

 

 

 

29/11/2014

 

 

 



 

 

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

I )  Donner les définitions des caractéristiques suivantes :

centre 

 

 

cercle 

 

 

Rayon 

 

 

diamètre

 

 

circonférence

 

 

disque

 

 

arc de circonférence

 

 

corde

 

 

Angle au centre

 

 

II) Quelles sont les positions d’un point par rapport à un cercle. ?

 

III) Quelles sont les positions d’une droite par rapport à un cercle ?.

 

IV) Quand dit - on que droite est tangente à un cercle ?

EVALUATION :

 

)Tracer un cercle et   tracer et nommer la flèche ; la corde , le diamètre , le centre, le rayon , une tangente et une sécante

 

2°) D’un point situé à 12 cm du centre d’un cercle de  6cm de rayon , on mène deux tangentes à ce cercle. Quel est leur angle ?

 

3°)  devoir   de   tracés : cliquez ici

 ( à imprimer )