Auteur : WARME R. (2006)

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 17 / 25

 

 

DOCUMENT ELEVE.

 

 

LE  CERCLE .

 

et 

 

LE DISQUE.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

Leçon

Titre   ( version 2006)

N°17

LE  CERCLE   et  LE  DISQUE

 

CHAPITRES

 

 

1°) Le cercle  ( définition) .

Cd : :INFO plus sur le « cercle »!!!

 

 

2°) Tracer un cercle passant par deux points .

Cd :Info plus sur « cercle » et « centre »!!

 

 

3°) Tracer un cercle le diamètre est un segment donné.

Cd :Info plus « cercle » et « distance »!!

 

 

4°) Longueur  du cercle

Cd :Info plus : « circonférence » et « périmètre » !!

 

 

5°)  DISQUE   et   Aire du disque

Cd :Info plus sur l’aire du disque !!

 

 

 

 

 

 

 

Périmètre du cercle(dos 125)

 

 

 

 

 

 

6°) Calcul de la longueur d’un arc de cercle.

 

 

 

7°) Calcul de l’aire d’un secteur angulaire.

 

 

 

COURS

 

 

Le cercle est une ligne.

Le disque est une surface.

 

 

 

( Cd Info plus!!)

I ) LE  CERCLE .

INFO plus sur le « cercle »!!!

 

Définition :

                Le cercle est une  ligne courbe plane  , fermée, dont tous les points sont équidistants d’un point fixe appelé « centre ».

 

Le cercle est un « polygone" particulier »! Travaux d ' Archimède .

En géométrie et pour calculer la longueur de la circonférence  il déclara  que   le cercle peut être assimilé à  un polygone particulier; il possède une infinité de côtés

 

Caractéristiques : ( par définition)

Le diamètre "D" :

Le diamètre est une corde qui passe par le centre « O » , sa mesure est le double de celle d’un rayon .

 

Le rayon : Le rayon est le segment de droit qui joint le centre  à un point quelconque du cercle.

Pré requis :la médiatrice .

II ) SAVOIR TRACER UN CERCLE  passant par deux points

Cd :Info plus!!

Activité :

On trace un cercle !!!!!

On découpe un disque !!!!

Placer deux points  A et B distant de 4 cm . Tracer un cercle de rayon  2,5 cm et passant par les points A et B .:

Procédure :

 tracer dans l'ordre :

L'arc de centre A et de rayon 2,5 m.

L'arc de centre B et de même rayon.

Ces arcs se coupent au centre O du cercle .Tracer le cercle de rayon 2,5 cm .

 

Application:

Appareil permettant de déterminer la position du centre , par deux déplacements et deux tracés de médiatrices :

             Le centre du cercle est équidistant des points A et B et il appartient à la médiatrice du segment noté [ A B ] .

 

III ) Savoir tracer un cercle dont le diamètre est un segment donné.

Cd :Info plus « cercle » et « distance »!!

Activité :  tracer un segment de 5 cm , Tracer le cercle de centre O et passant par A et B

Procédure :

Déterminer la position du centre du cercle :

solution  u: diviser la mesure  par deux ( 2,5 cm) et placer le point  O

solution  v tracer  la médiatrice, elle passe par le  milieu de [AB].

 Pour finir tracer le cercle de centre O et passant par A et B .

Commentaire : les  longueurs  du  [OA] et   [OB ] sont égales .

 

i9  

IV ) CALCUL DE LA  LONGUEUR DU CERCLE .

Cd :Info plus : « circonférence » et « périmètre » !!

 

Expérience :. Faire un repère sur le bord d’ une  pièce de monnaie  , faire coïncider  ce point avec le 0 de la règle, faire rouler la pièce de monnaie, relever la mesure lorsque le repère revient en coïncidence avec la règle graduée. Cette mesure est égale à la longueur de la circonférence de la pièce.

« circonférence » :

Rectangle à coins arrondis: Circonférence                La circonférence est une  ligne courbe fermée dont tous les points sont à égale distance d’un point appelé « centre ».

 

   Le diamètre  noté ( D )  est égal à  2  fois le rayon =  ( 2r ) ; 

    Valeur de « pi »    noté  par le symbole  p : la valeur de pi est généralement donnée  dans l’énoncé du problème ; ce peut être :  3,14   ; 3,1416 ; 22 / 7 ; ou la valeur donnée par la calculatrice .  

 

Calcul de la longueur du cercle ( ou longueur de la circonférence ):

 

La formule permettant de calculer la longueur de la circonférence ( C )  du cercle  est  C = Dp

 

On a une autre formule , exprimée  en fonction du rayon:    C = 2rp    ou    C = 2p

 

-          Application  d'un calcul 1 :

 

Calculer la longueur du  cercle  de 8 cm de diamètre . ( prendre p = 3,14 )

 

- Solution :

C = Dp   ;  C =  8 p  ,  C =  8 3,14   =  25 , 12 cm

 

-          Application  d'un calcul 2 :

 

Calculer la longueur du  cercle  de 8 cm de diamètre . ( prendre p  de la calculatrice  ) exprimer le résultat au mm prés.

 

- Solution :

C = Dp   ;  C =  8 p  ,

Calcul :   C   = 25,132741228718345907701147066236 

 C  =  25 , 1  cm .

( Si on  utilise  la touche  p  de la calculatrice,  il faudra "arrondir" ! ! ! ! !)

 

Info  pré requis

V)  DISQUE   et   AIRE DU DISQUE .

Cd :Info plus sur l’aire du disque !!

 

Disque : Le disque est une figure géométrique plane.

.

Par définition : Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence du cercle  et de sa région intérieure.

 

Calcul de l’aire d’un disque :

 

Pour calculer l’aire du disque , on dispose  de deux formules

 

1ère  Formule :  exprimée en fonction du rayon ( R ).

 

A = p

« R » est le rayon du disque.

 

2ème Formule :  exprimée en fonction du diamètre : 

A =

 

« D » est le diamètre du disque.

On remarquera :                   R =  et     =   =

 

 

 Exemple de calcul :

  Enoncé :  Calculer l'aire d'un disque  de  8 cm de rayon .

 

Solution :  ( prendre p = 3,14 )

A = p   ;

A = p    ;

A =  3,14  (8 cm )²  ;

A  = 3,14 64 cm² = 200,96 cm²

Aire du disque de rayon 8 cm = 200,96 cm²

 

 

6°)LONGUEUR D’UN ARC  de cercle  :

 

On obtient la longueur d’un arc en multipliant la longueur de la circonférence par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360.

 

Calcul de la longueur d’un arc de cercle dont l’angle est exprimé en degrés :

Formule :  lg arc = °

On divise le périmètre du cercle en 360 parties égales ; pour multiplier par le nombre degrés de l’angle au centre de l’arc.

Si l’angle alpha(  )vaut 30 ° le rayon ( OA ou OB ) 35 mm :

 

On sait que lg arc = ° ;

 

soit : lg arc = ° = = mm

 

 

 

7°)  AIRE D’UN  SECTEUR CIRCULAIRE

 

Segment circulaire

Info plus ++++

On appelle segment circulaire l’espace compris entre un arc et la corde qui la sous tend

 

 

 

On obtient l’aire d’un secteur circulaire  en multipliant l’aire du disque  par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360.

 

 

Secteur circulaire :

SOS ARC et angle

On appelle « secteur circulaire » l’aire comprise entre un arc et les deux rayons ( OB et OA )  qui aboutissent à ses extrémités.

Aire : on obtient l’aire d’un secteur circulaire en multipliant l’aire du disque par le nombre de degrés de l’angle du secteur et en divisant par 360.

 

 

A = p r2

 

Application Trouver l’aire d’un secteur circulaire dont le rayon du cercle a 5 m et dont l’angle du secteur égale 45°.

 

1° aire du disque = 52 3,1416 = 78,54 m2

2° aire du secteur :  78,54 =  78,54 = 9,8175 m2

 

 

 


 

Leçon

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

 

N°17

LE CERCLE et DISQUE.

 

 

 

 

TRAVAUX  N°17    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

1°) Donner la définition du cercle.

 

2°) Donner la définition du disque.

 

 

3°) Donner la définition du diamètre.

 

4°) Donner la définition du rayon.

 

5°) Donner la formule qui permet de calculer la circonférence d'un cercle. ( en fonction du rayon  et en fonction du diamètre ) : 

 

6°) Donner la formule qui permet de calculer l' aire du disque . ( en fonction du rayon  et en fonction du diamètre )

 

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

 

A)   Tracer un cercle : 

 

1°) Tracer un cercle de rayon 2,5 cm passant par les deux points A et B  .

2°) Tracer un cercle de rayon 2,5 cm passant par deux points A et B  distant de 4 cm .

3°) Tracer un cercle de diamètre [MN] donné .

 

B) Calculs :  (prendre : pi = 3,14)

 

Périmètre :

1°) Calculer la circonférence  du  cercle de rayon 7 cm .

2°) Calculer la circonférence  du  cercle de diamètre  7 cm .

 

Aire :

3°) Calculer l' aire   du  disque  de rayon 7 cm .

4°) Calculer l' aire   du  disque de diamètre  7 cm .

INTERDISCIPLINARITE :

Conseil :en devoir choisir ou donner 1 problème par série .

 

LE CERCLE : LONGUEUR ET CALCUL D’UNE DIMENSION

Les rayons d’une bicyclette mesurent 27 cm. Quel est le périmètre de chacune des roues ?

1)          On veut entourer de grillage un puits circulaire de 1,15 m de rayon. Quelle longueur de grillage faudra-t-il acheter ?

2)        Une roue de bicyclette a 55 cm de diamètre. Calculer son périmètre. Quelle distance aura été parcourue après 100 tours, puis 500 tours de roue ?

3)        Un panneau de signalisation routière a 27,5 cm de rayon. Calculer son périmètre (en mètre).

4)        On remplace le galon sur les deux cercles d’un abat-jour. Quelle sera la longueur de galon nécessaire si les diamètres des deux cercles sont respectivement de 30 cm et 35 cm ?Calculer le périmètre du cercle ci-dessous.

 

25 m

 

 

 

 

 

5)        Ma bicyclette a des roues de 700 mm de diamètre. Calculer la distance effectuée lorsqu’elles font trois tours.

6)        Une fillette joue avec un cerceau de 80 cm de diamètre. Combien de tours complets le cerceau a-t-il effectué si elle l’a lancé sur une distance de 21 m ?

7)        Sur une plaque de liège, François confectionne une cible pour jouer aux fléchettes. Avec du ruban adhésif de couleur, il veut représenter cinq cercle ayant pour rayon respectif : 4 cm, 8 cm, 12 cm, 16 cm et 20 cm. Il dispose de deux rubans adhésifs de 3 m chacun. Quelle longueur de ruban lui restera-t-il (au cm près) ?

8)        Un arbre a une circonférence de 3,768 m. Calculer son diamètre.

9)        Un disque 33 tours tourne 33 fois sur lui-même en une minute. Son diamètre étant de 30 cm, calculer la distance parcourue par un point quelconque du périmètre si la face dure 15 mn, puis 20 mn 45 s.

AIRE DU DISQUE

Une table de salon circulaire a un rayon de 32 cm. Quelle est son aire ?

10)     On veut couvrir un puits circulaire de 55 cm de rayon avec une plaque métallique qui devra dépasser le bord du puits de 5 cm. Quelle sera l’aire de cette plaque ?

11)      Pour décorer une petite table ronde de 50 cm de diamètre, maman confectionne un napperon d’un diamètre inférieur de 15 cm à celui de la table. Quelle est l’aire du napperon ?

12)     Une pelouse circulaire a 47,10 m de périmètre. Calculer son aire.

13)     Sur le mur d’un collège, un artisan réalise une mosaïque circulaire de 6 m de diamètre. Il est payé 329 F par m² posé. A combien revient la pose de cette mosaïque ?

14)     Pour confectionner un dessous-de-plat, papa découpe, dans une planche carrée de 22 cm de côté, un disque qui touche les 4 côtés de la planche. Quelle est l’aire du dessous-de-plat ? Quelle est l’aire de planche inutilisée ?

15)     Un disque de 33 tours a un diamètre de 30 cm. Le trou central a 7 mm de diamètre. Calculer l’aire de la surface pleine (au mm² près).

16)     Un massif de fleurs a la forme d’un disque de 6,50 m de diamètre. Le jardinier doit y planter des rosiers et il estime qu’il faut environ 0,15 m² pour chaque plant. Combien de rosiers faudra-t-il prévoir ?

17)     Un couple a racheté un vieux moulin et entreprend sa restauration. Le moulin, de forme cylindrique, mesure 6,4 m de diamètre intérieur et comprend deux pièces superposées. Pour repeindre les plafonds avec deux couches de peinture, combien de pots de 2,5 l seront nécessaires si un pot couvre 35 m² ?

18)     Une table ronde de 1,10 m de diamètre est utilisée pour un repas de famille. On lui ajoute, au milieu, deux rallonges rectangulaires mesurant chacune 0,40 m sur 1,10 m. Quelle est l’aire totale obtenue ?

19)     Un enfant a réalisé en peinture un dessin représenté par la figure ci-dessous. Le visage, d’un diamètre de 20 cm, est peint en rose, le nez et la bouche en rouge ; les yeux sont laissés blancs. Calculer les aires des surfaces roses, rouges et blanches.

:bold'>