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Le cercle en primaire  ..    

 

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Le nombre pi ( découverte en 6ème ) collège

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1.     Le cercle

2.     Le disque

Liste des cours de géométrie plane.

 

 

 

 

 

DOSSIER :     LE  nombre  "pi" ; Symbole :      p

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COURS

 

La notation "    p   "  ; "pi" en grec , correspond à la première lettre du mot "périphéreia"  qui signifie "contour"

On prend  couramment la valeur décimale de  p  = 3,14   ;

                    3,14   n'est qu'une valeur approchée du nombre "p"  dont on connaît 900 000 décimales.

 

 

Notions historiques

 

Tous les cercles étant des figures semblables , l'on devine qu'il existe un rapport de configuration constant , c'est à dire le même pour tous les cercles , entre le périmètre "C" et le  diamètre 2R.

 

Les grecs ont désigné ce rapport de configuration par   p

 

Calcul approché du nombre p

 

 

Avant de savoir calculer exactement ce rapport , les anciens en proposèrent des valeurs approchées.

)Dans la Bible , on dit que p =  3 .Quelques lecteurs s'étonneront , et se demanderont sous quelle forme la Bible a pu parler de telles questions. S'ils sont curieux , ils chercheront au 1er livre des Rois , ch VII , verset 23.

 

2°) Les Egyptiens connaissaient une valeur approchée de  p  , s'il est vrai qu'ils ont introduit ce nombre dans la Grande Pyramide , comme rapport entre le périmètre de la base et la hauteur.

 

)Les Grecs se proposèrent , étant donné un cercle , de construire un carré de périmètre équivalent ; ou un autre carré de surface équivalente: c'est ce qu'on appelle la "quadrature" du cercle .Par la règle et le compas , ils ne parvinrent pas à résoudre le problème , mais en donnèrent une solution approchée très simple: la longueur du demi-cercle est   à  peu près égale à la somme des côtés du carré et du triangle équilatéral inscrits:

    

p  R  #  R+ R

 

D'où   p    # +

 

 

           p    #  3 ,146

 

.

4°) Nombre de décimales de p  en fonction des années :

 

pi

4°)  On peut obtenir  le nombre  p  ; expérimentalement :

 

                   On  mesure le périmètre , avec une ficelle ,(on évalue sa longueur ), puis le diamètre du cercle: on effectue le rapport ; il sera égal à p

 

    Si l'on sait mesurer une surface , en pesant un disque de rayon R et un carré de coté  R découpés dans une même feuille de carton : le rapport des masses sera égal au rapport des aires    , donc égal à  p .Cette seconde méthode est assez précise.

 

 

 

Définition de la longueur  du cercle:

 

 

La vraie difficulté dont les premiers calculateurs ne s'étaient  pas rendu compte, c'est qu'on n'avait pas défini avec précision la longueur d'une ligne courbe.

La longueur du segment AB , c'est la rapport à un segment unité ab .Pour évaluer ce rapport , on partage ces deux segments en parties toutes égales , ce qui peut se faire avec toute l' approximation qu'on voudra . Du segment on passera par addition à la ligne brisée.

 

 

Mais  la longueur d'un arc de courbe    ne peut être définie aussi aisément ; car , si l'on compare l'arc AB au segment unité ab , il sera impossible de les partager l'un et l'autre en parties toutes égales , puisque les fragments seront curvilignes sur AB , rectilignes sur ab . Dés lors , le rapport de AB à ab est malaisé à définir.

 

 

 

Travaux d' Archimède .

Archimède qui vécu à Syracuse , en Sicile (287-212) , fut l'un des plus grands génies de l'antiquité. Il étudia les lois de l'équilibre et énonça le principe des corps flottants ; l'on dit que , ses "miroirs ardents" , il tenta de défendre sa patrie contre l'attaque des vaisseaux romains.

Lors de la prise de Syracuse, il fut tué par un soldat ignorant , bien que le général romain Marcellus eût désiré lui sauver la vie.

 

 

En géométrie , il calcula les longueurs ,aires et volumes de certaines figures courbes , par une méthode nouvelle que nous allons exposer . (voir figure )

 

*On remarque que  le cercle peut être assimilé à  un polygone particulier; il possède une infinité de côtés

 

pi

 

Calcul du nombre pi  par Archimède.

 

Pour calculer la longueur  du cercle , un moyen expérimental consisterait à y promener un curvimètre , c'est à dire une roue armée de très petites dents très serrées : un compteur de tours ferait connaître le chemin parcouru  : on a par ce système substitué au cercle une ligne  brisée inscrite formée d'un très grand nombre de cotés très petits. 

 

      Archimède  a transformé cette méthode expérimentale  en un calcul précis.

 

 A un cercle de diamètre "2R" Archimède inscrit et circonscrit deux séries de polygones réguliers , en doublant indéfiniment le nombre de cotés. Il en calcule les périmètres successifs , non pas par des formules trigonométriques qu'on n'utilisait pas à cette époque , mais par des formules équivalentes fournies par des triangles rectangles .Il trouve ainsi pour les périmètres des carrés , octogones, hexagones … inscrit et enveloppants.

 

 

I4  = 2R 2,8284

E4  =2R 4

I8  = 2R 3,0615

E8  =2R 3,3136

I16  = 2R 3,1216

E16  =2R 3,1832

Et ainsi de suite…….

 

 

1°) les   "I "  vont toujours en croissant , puisque ce sont des périmètres de polygones convexes s'enveloppant les uns les autres

Pour la même  raison , les "E" vont toujours en décroissant.

 

2°) La différence "  E  - I "   : devient de plus en plus petite , et l'on peut démontrer avec rigueur (nous l'admettrons)  que  E -I   devient aussi petite que l'on voudra quand ont poursuit l'opération.

 

3°) Nous en conclurons que E et I tendent vers une limite commune: c'est cette limite qui est le périmètre C du cercle.  Ce périmètre est resserré de plus en plus entre les I  ( valeurs approchées par défaut ) et les E ( VALEURS APPROCHEES PAR EXES )  NOUS OBTIENDRONS AINSI LES DECIMALES SUCCESSIVES DU NOMBRE      p

 

 

Remarque sur la méthode :

 

La méthode d' Archimède , dira-t-on , n'est encore qu'une  méthode d'approximation .Mais l'immense progrés qu'approte cette méthode , est que cette approximation peut être poussée , aussi loin que l'on veut.Archimède introduisait  en mathématiques une méthode d'approximations successives qui , depuis, s'est généralisée sous le nom de méthode d'INTEGRATION.  

 

Archimède n'ayant pas à sa disposition les ordinateurs calculateurs , il n'est pas aller très loin dans le calcul et donna à "pi"  la valeur : # 3,141592  (Il y a 3 décimales exactes)

 

Les Successeurs d' Archimède:

 

Vers 1600 , la même méthode ,avec des perfectionnement de détail ,donna au Hollandais Adrien Méthius  pi = # 3,141592  (Il y a 6 décimales exactes)

 

En 1940 on connaissait  707 décimales au nombre pi.

 

 

La connaissance de tant de décimales pour le nombre "pi" est et restera probablement sans utilité pratique; c'est donc par simple amusement qu'il a été mis en vers les 126 premières:

 

 

que

J'

aime

à

faire

apprendre

un

nombre

Utile

aux

Sages..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3  ,

1

4

1

5

9

2

6

5

3

5  ;….


 

 

Pensées: Ne pas oublier la virgule ! ! ! ! ! 

 

 

 

 

 

 


On retiendra pour les calculs courants des deux valeurs de pi couramment utilisées :

                                              3,14    et    22 / 7

 

Impossibilité de la quadrature du cercle :

 

Le Français  Hermite et l' Allemand  Lindemann , au XIX eme siècle ,ont démontré qu'il est impossible , par la règle et le compas , de construire un cercle et un carré équivalent ; soit en périmètre , soit en surface , comme se l'était proposé les Grecs

 

 

D'autres problèmes de construction , comme la quadrature du cercle , sont insolubles par la règle et le compas seuls.

 

CONTROLE :

 

Donner deux valeurs approchées de « pi » :

 

EVALUATION

 

 

INTERDISCIPLINARITE