		Classes de 4^ème
	Programme de la classe de 4^ème

Pré requis:		Le corrigé n’est pas disponible……..
Lecture : les POLYGONES
Et rappel sur les Angles.
Rappel :Il est conseillé de savoir définir et tracer les droites nommées ci dessous., ces connaissances sont utilisées dans ce cours !!!!
Hauteur
Médiane
Médiatrice
Bissectrice

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent

1°) Les triangles :généralités caractéristiques.

Objectif suivant

1°) Informations sur les triangles.

2°)Cas particulier : le triangle rectangle.

3°) Les droites remarquables et points particuliers dans le triangle et droite d’Euler.

1°) Résumé « collège »

2°) Devoir

3°) Liste des cours disponibles en géométrie plane.

	Fiches : sur les droites remarquables du triangle.
	Fiche 1 : Les MEDIATRICES.
	Fiche 2 : Les Hauteurs.
	Fiche 3 : Les Médianes.
	Fiche 4 : Les Bissectrices.
	Fiche 5 : Reconnaître un triangle isocèle.
	Fiche 6 : Le triangle équilatéral.
	Fiche 7 : Activités – Exercices.
	Fiche 8 : Propriété des points intérieurs à un triangle équilatéral.

	FICHE 9 : Application aux statistiques. (exploitation de données statistiques).

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Dev.

vecteurs et homothétie dans un triangle.

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

	Fiche 1 MEDIATRICES		Info « médiatrice » et « médiatrice -médiane- hauteur en collège P6 »

	Vous avez vu en 5° et au « leçon …fiche 6… » ) que les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. · Tracez les médiatrices du triangle « ABC » et le cercle circonscrit à ce triangle,

	Fiche 2 : Hauteurs.		Info ++ @
	On appelle « hauteur » d'un triangle le segment limité par un sommet et son projeté orthogonal sur le support du côté opposé. Par abus de langage " hauteur " désigne aussi la droite support de ce segment.
	Activité : Tracez les hauteurs des deux triangles ci-dessous (utilise ton équerre).

	Si votre tracé est bien fait, vous constatez que dans chacun des cas, les trois hauteurs sont______________________________ …………………………… C'est ce que nous allons démontrer.
	Ci-contre : Voici un triangle ABC quelconque. [AE] , [BF] , [CG] sont les hauteurs. Démontrons qu'elles sont concourantes.
	Par chaque sommet, tracez la parallèle au côté opposé. Vous obtenez le triangle MNP. Le quadrilatère ACBP est un ……………………………………… (Expliquez pourquoi oralement). Donc, grâce à la « propriété 10 » , BC = ………………………………. De même ANCB est un ……………………………………………….. Donc BC = ……………et par transitivité ……..=………… Donc A est le …………………. de [PN] . La droite (AE) est perpendiculaire à (BC) (car [AE] est une ……………..) et comme (BC) est parallèle à (PN), alors (AE) est …………………………………… à (PN) , Donc (AE) est ……………………………de [PN] . On démontre de même que (BF) est médiatrice de ………. et (CG) médiatrice de …………… Puisque les médiatrices des côtés d'un triangle sont ……………………………………………. alors (AE) , (BF) , (CG) sont …………………………………. .On dira alors :
	Théorème 25 : Dans tout triangle , les hauteurs sont concourantes en un point que l’on appelle l’orthocentre du triangle.

	CONSTRUCTION DES HAUTEURS D'UN TRIANGLE
	Voici ,ci-contre un triangle ABC. On a tracé le cercle de diamètre [BC] qui coupe (AB) en G et (AC) en F. Tracez [BF] et [CG] . Démontrez que [BF] et [CG] sont hauteurs du triangle ABC.
	· (BF) et (CG) se coupent en H . Trace (AH) qui coupe (BC) en E. Démontre que est hauteur
	Activité : Tracez comme on vient de le faire les hauteurs des deux triangles ci-dessous


	EXERCICES SUR LES HAUTEURS D'UN TRIANGLE.
	Exercice 1 : KLM est un triangle rectangle en L. N est un point quelconque de (KL). Trace par K la perpendiculaire à (MN) qui coupe (MN) en P et (LM) en R. Démontre que (RN) est perpendiculaire à (KM).
	Exercice 2 : On donne un cercle et [st] un de ses diamètres . « d » est une droite perpendiculaire à (ST). « U » est un point du cercle. (SU) coupe « d » en « W ». (UT) coupe « d » en « X » et (ST) coupe « d » en « Z ». 1°) Démontrez que (WT) est perpendiculaire à (SX). 2°) Démontrez que U,W,Z,T sont sur un même cercle dont vous préciserez le centre. 3°) Trouvez quatre points de la figure situés sur un même cercle.


	Fiche 3 : Les Médianes :
	On appelle médiane d'un triangle le segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. Par abus de langage "médiane" désigne aussi le support de ce segment.

	Voici, ci-contre , un triangle « ABC ». Tracez les médianes [BE] et [CF] . Ces deux segments ont un point commun (on peut le démontrer). Appelons-le « G ». Nous allons démontrer que la médiane [AD] passe aussi par G.
	Appelons « M » le milieu de [bg] et N le milieu de [CG]. Dans le triangle « ABC », par hypothèse « F » est milieu de [AB] et « E » est milieu de [ AC ] Donc, grâce aux théorèmes « 2 » et « 3 », (EF) est ………………………… à (BC) et FE = ……..BC. Dans le triangle BGC, « M » est le milieu de [BG] et « N » est le milieu de [CG] , donc, grâce aux théorèmes « 2 » et « 3 », (MN) est …………………… à (BC) et MN = …. Grâce à la transitivité du parallélisme, (EF) est ………………………………………….. Grâce à la transitivité de l'égalité EF = ………………………………………… Le quadrilatère convexe « FENM » a une paire de côtés parallèles et de même longueur, grâce à la « propriété 15 » ce quadrilatère est un ……………. Grâce à la « propriété 8 », ses diagonales se coupent en leur milieu, donc, « G » est le milieu de ………… et de ……………. donc, GF = GN et comme « N » est le milieu de [CG], « GN = NC » donc « CG = —CF » de même « GE = GM » et « GM = MB » donc « BG =…….. BE » Le point « G » est donc situé sur [CF] aux deux tiers de « CF » à partir de « C » . Le point « G » est donc situé sur [BE] aux deux tiers de…………..à partir de ………… On démontrerait de même, en considérant les médianes [AD] et [BE] (par exemple) que ces médianes se coupent en un point situé aux deux tiers de leur longueur à partir du sommet. Ce point est donc le point « G ». Donc les trois médianes sont concourantes.
	Théorème : Dans tout triangle , les médianes sont concourantes en un point appelé « centre de gravité » du triangle. Ce point est situé aux deux tiers de la longueur de chaque médiane à partir du sommet.

	Activités :
	Exercice 1 : On vous donne, ci-contre, un triangle ABC et M milieu de [AB]. Placez sur [MC un point « D » tel que « CD = 2 MC » . (AC) coupe (BD) en E et (BC) coupe (AD) en « F ». Démontrez que « E » est le milieu de [BD] et « F » le milieu de [AD].
	Exercice 2 « ABCD » est un parallélogramme de centre « 0 ». « M » est un point extérieur au parallélogramme. Démontrez que les triangles « AMC » et « BMD » ont même centre de gravité.


	Fiche 4 : Les Bissectrices	Info ++@ +++

	Voici un triangle « ABC » quelconque. Tracez les bissectrices de et de . Ces deux demi-droites se coupent en « I » ( « I » est situé à l'intérieur du triangle). Nous allons démontrer que « I » est aussi situé sur la bissectrice de .
	Grâce au théorème 23, on peut dire que : « I » étant situé sur la bissectrice de , il est équidistant de (AB) et de …………… « I » étant situé sur la bissectrice de , il est équidistant de ………et de ………………. « I » est donc équidistant de (AB) et de ………………….. donc, grâce au théorème 24, il est situé sur la bissectrice de ……………………. Tracez -la, Donc les trois bissectrices du triangle ABC sont …………………………. en « I » . * Appelons « M » , « N » , « P » les projetés orthogonaux respectifs de « I » sur (BC) , (CA) , « IM » , « IN » , « I P » sont alors les distances respectives de « I » à (BC) , (CA) , (AB) et on a alors : « IM …… IN …….I P ». Donc les trois points « M » , « N » , « P » sont situés sur un même cercle de centre ………. Puisque (IP) est perpendiculaire à (AB) , et que [ I P ] est un rayon, alors, grâce au théorème 20, (AB) est ………………………. à ce cercle. De même (BC) et (ÇA) sont …………………. à ce cercle. Tracez ce cercle. On l'appelle le cercle inscrit dans le triangle ABC.
	Théorème 27 Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

	Activité : Exercice.
	1°)Sur la droite ci-dessous , construisez un triangle « DEF » tel que (en mm) DE = 102, DF = 48, FE » 90. Le côté [ D E] est déjà placé. Déterminez le centre 0 du cercle inscrit dans le triangle DEF et tracez ce cercle. Placez les points « G », « H », « K » projetés orthogonaux de « O » respectivement sur (EF),(FD),(DE).

	(suite) 2°) Démontrez que DEF est un triangle rectangle (fais les calculs sur une autre feuille). 3°) Démontrez oralement que FGOH est un carré. 4°) Démontrez oralement que DK = DH , KE = EG , HF = GF = R (R : rayon du cercle inscrit) 5°) Vous allés calculer le rayon « R » du cercle inscrit. (Vous contrôlerez sur le dessin)
	Mise en équation :
	« K » étant un point de [ DE] , alors « DE = DK + KE » et puisque « DK = DH » et « KE = EG » alors DE =……..+ ……… « DF = DH + HF » donc « DH = DF ………………. Or, « DF = 48 » et « HF = R » donc DH =……….+ ……… « EF = EG +………. » donc « EG =…………. » Or, « EF= ………… » et ………………….donc « EG =………………………. » Sachant que « DE = 102 », l'égalité « DE = DH + EG » peut s'écrire : 102 = 48 - R + …………. · Vous êtes en présence d'une équation. A vous de la résoudre.


Fiche 5 : Reconnaître un triangle isocèle.		Info ++ @ ++sur le triangle isocèle++
Vous avez vu en 5° (et on l'a rappelé dans les fiches 10 ) que :
Rappel : Dans tout triangle isocèle, la hauteur principale, la bissectrice principale, la médiane principale et la médiatrice de la base ont leurs supports confondus (avec l'axe de symétrie du triangle).
Démontrez « verbalement » les propriétés suivantes relatives à un triangle. 1°) Si la médiatrice d'un côté est aussi bissectrice de l'angle opposé alors le triangle est isocèle. 2°) Si la médiatrice d'un côté est aussi hauteur, alors le triangle est isocèle. 3° ) Si la médiatrice d'un côté est aussi médiane, alors le triangle est isocèle. 4°) Si une hauteur est aussi médiane, alors le triangle est isocèle. 5°) Si la bissectrice d'un angle est aussi hauteur, alors le triangle est isocèle.
Nous allons démontrer ensemble la 6° propriété : 6°) Si dans un triangle la bissectrice d'un angle est aussi médiane, alors le triangle est isocèle. ( voir le dessin ci - dessus )
Hypothèse : [AM] médiane [AM bissectrice de	Conclusion : BAC est isocèle (AB = AC)
• Appelons « E » le symétrique de « A » par rapport à « M » ; par définition, « M » est alors le milieu de ……………………. Par hypothèse, [AM] est médiane donc M est le milieu de …………….. alors, grâce à la propriété 12, « ABEC » est un …………………………. Donc, grâce à la propriété 10 : AB =………………………………… et par définition (AB) est parallèle à ………………………………. En considérant ces deux parallèles et la sécante (AE) , On peut dire que les angles et occupent la position ………………………………..;donc, grâce à la propriété 4 , ……………. [AM étant bissectrice de (par hypothèse), alors = ………….. donc =……………… donc, grâce à la propriété 26, le triangle « ACE » est ………………………….. Donc, par définition, « AC = EC » et comme « AB = EC » alors « AB =…………. ». donc, par définition, le triangle « BAC » est …………………………….

· En regroupant les 6 propriétés, on énoncera alors :
Théorème 28 :

Activité : Exercice On donne un segment et deux demi-droites parallèles et situées dans un même demi-plan de frontière (AB). Tracez la bissectrice de . Elle coupe en « C ». Tracez par « B » la perpendiculaire à (AC). Elle coupe (AC) en « O » et en D. 1°) Démontrez que « ABD » est isocèle. 2°) Démontrez que [BD est la bissectrice de . 3° ) Démontrez que « ABC » est isocèle. 4°) Quelle est la nature du quadrilatère « ABCD » ? (faîtes une démonstration)


	Fiche 6 : Le triangle équilatéral.	Info ++++@+le triangle équilatéral+++

	Ci-contre , on vous donne « ABC » , un triangle équilatéral. Activités : 1°) Trace son cercle inscrit et son cercle circonscrit. Expliquez pourquoi (verbalement) ces cercles sont concentriques. 2°) Soit « O » le centre de ces cercles, tracez (AO). (AO) coupe (BC) en « M ». 3°) Quelle est la position de « O » sur [ AM ] ? 4°) Soit « R » le rayon du cercle circonscrit et « r » le rayon du cercle inscrit. Quelle relation existe-t-il entre « R » et « r » ?


	Fiche 7 : Activités – Exercices.	( pas de corrigé fait …)

	Exercice 1 ABC est un triangle quelconque. M est le milieu de E est le symétrique de A par rapport à M. F est le symétrique de C par rapport à B. Démontrez que B est le centre de gravité du triangle AFE.
	Exercice 2 MNPR est un parallélogramme de centre 0. G est le milieu de [MN] . (RG) coupe (MP) en H. (NH) coupe (MR) en K. Démontrez que K est le milieu de \| MR]
	Exercice 3 ABC est un triangle quelconque. D est le milieu de [BC] . E le milieu de [CA] , F le milieu de [AB] . Démontrez que les triangles ABC et DEF ont le même centre de gravité.
	Exercice 4 ABCD est un losange tel que = 60°. La perpendiculaire à (AD) passant par B coupe (AC) en E. La perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AC) en F. Démontrez que AE = EF = FC.
	Exercice 5 ABC est un triangle tel que BC = 2 AC . [AM] est médiane. E est le milieu de [CM] et F le milieu de [AC] . (AE) et (MF) se coupent en O . 1°) Démontrez que AOM est un triangle isocèle. 2°) Démontrez que [AM est bissectrice de .
	Exercice 6 ABC est un triangle rectangle en A de hauteur [AH] . La bissectrice de coupe (AH) en E et (AC) en F. 1°) Démontre que AEF est isocèle. 2°) La bissectrice de coupe (BF) en M et (BC) en N. Démontre que (AN) est médiatrice de [ EF] 3°) Démontre que ABN est isocèle. 4°) Démontre que (EF) est médiatrice de [AN] . 5°) Quelle est la nature du quadrilatère AENF ?
	Exercice 7 On donne un cercle de diamètre [AB] et un point D quelconque sur le cercle (D A et D B) . La bissectrice de coupe (DB) en E et recoupe le cercle en F. La tangente en B au cercle coupe (AF) en C. 1°) Démontrez que les triangles ADE et AFB sont des triangles rectangles . 2°) Démontrez que = , = et que [BF est la bissectrice de , 3°) Démontrez que : BC = BE .