Pré requis:

Lecture :   les POLYGONES

 

Et  rappel sur les Angles.

 

Rappel :Il est conseillé de savoir définir et tracer les droites nommées ci dessous., ces connaissances sont utilisées  dans  ce cours !!!!

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent  

1°) Les triangles :généralités  caractéristiques. Sphère metallique

 

Objectif suivant Sphère metallique

1°) Informations sur les triangles.

)Cas particulier : le triangle rectangle.

1°)  Résumé « collège »   Sphère metallique

2°) Devoir

3°)  Liste des cours disponibles en géométrie plane.

DOSSIER :

LES DROITES REMARQUABLES et les points particuliers dans un triangle :

-   Résumé

- I)  Hauteurs  et « orthocentre ».

- II) Bissectrices  et « centre du cercle inscrit ».

- III ) Médianes et « centre de gravité : G »

- IV ) Médiatrices et « centre du cercle circonscrit ».

-  V)  ….  Droite et cercle d’Euler .

TEST

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COURS

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Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

1.            Dev.     Filescrosoft Officeverte

2.          vecteurs et homothétie dans un triangle.

 

 

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

auver4mai2000

 

 

 

 

Résumé :

42a

42b

42c

42d

 


 

COURS

Les droites remarquables dans un triangle sont regroupées dans  4 natures  différentes, ce sont les   « hauteurs » ; « médianes » ; « médiatrices » et « bissectrices ».

A raison de 3 droites par nature.                            

I )  HAUTEURS:

Info  « hauteur »

42cDéfinition :on appelle « hauteur » , dans un triangle  , chacune des demi – droites qui , partant d’un sommet , sont perpendiculaires au côté opposé.

On dit aussi : Les hauteurs sont des  droites perpendiculaires abaissées de chacun des sommets sur les cotés opposés.

Propriété :

Les 3 hauteurs  se coupent ( on dit aussi « concourantes ») en un même point que l'on appelle « orthocentre » du triangle.

On dit aussi que  les 3 hauteurs sont « concourantes ».

Ce point est à l'intérieur du triangle ,lorsque les 3 angles sont aigus.

t2

 

tr5

t3

 

Ce point est à l'extérieur du triangle ,lorsque celui-ci a un angle obtus .

 

Dans un triangle rectangle , l’orthocentre est au  sommet de l’angle droit.

 

Le point « A »  est le point d’intersection de hauteurs.

 

8

 

II )  BISSECTRICES

Info « bissectrice »

(pré requis : les bissectrices au collège classe de 6ème  )

 

42dDéfinition :

On appelle « bissectrice » , dans un triangle , les  trois demi – droites qui partagent les angles en deux parties égales .

Rappel : la bissectrice intérieure d’un angle est la demi - droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure.

Il y a 3 angles dans un triangle , il y a  donc  3 bissectrices.

Ces bissectrices d’un triangle sont les bissectrices intérieures des trois angles.

Ces 3 bissectrices sont concourantes en un point.

t4

Propriété :les trois bissectrices se coupent en un point ,Le point s' appelle  "centre du cercle inscrit ".

(Ce cercle est tangent aux trois cotés)

Le point « I » est  le centre du cercle inscrit dans le triangle..

Le rayon du cercle est égal à   IP = I Q = IR

Ci dessous « Info » : sur « bissectrice  intérieure et extérieure - sur cercle inscrit ou circonscrit.

42e                           286

Ci dessous : tracé du cercle inscrit au triangle.

tr8

 

III )  MEDIATRICES

Info « médiatrice »  et  « médiatrice -médiane- hauteur en collège P6 »

Définition : Les médiatrices d’un triangle sont les médiatrices de ses côtés.

 

Les médiatrices sont des perpendiculaires élevées au milieu des  3 cotés.

 

Rappel : la médiatrice « D » du segment AB  (noté :  [AB]) est la droite  perpendiculaire à la droite  notée (AB) qui passe par le milieu du segment AB .

Si  « M » est un point de la médiatrice de [AB] alors  MA = MB.  (le point M est situé à égal distance des points A et B )

 

 

Propriété :  Les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit.

Circonscrit :se traduit par "écrit autour"

 

Ainsi : les trois médiatrices d’un triangle ABC sont courantes en un point « O » .Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.

 

Le rayon du cercle  est égal à OA  = OB = OC

 

tr7

Cas particulier:

Cercle circonscrit dans le triangle rectangle ;le centre du cercle se trouve être le milieu de l’hypoténuse du triangle .

tcircrect

Information :

 

Pour tracer la médiane (issue d’un sommet)  dans un triangle il faut d’abord tracer la médiatrice (du segment)  pour trouver la position du milieu du côté opposé.

 

Exemple ci contre : on recherche le milieu de CB. ( ce point « milieu »  CB  peut être déterminé après calcul , il est à égale  distance de C et de B .

tr1

 

IV)   MEDIANES

Info « médian»

42bLa médiane est une droite issue d'un sommet d'un angle est joignant le milieu du coté opposé.

Définition : on appelle « médiane » , dans un triangle , chacun des trois segments qui relient un sommet au milieu du côté opposé.

NB ; le mot « médiane » désigne  aussi la longueur du segment qui est la médiane , et la droite qui la porte .

(Voir CD :symétrie centrale et centre de gravité )

t6

On dit aussi : les médianes d’un triangle sont les droites qui joignent un sommet au milieu du côté opposé.

On dit aussi : que le segment  qui joint le sommet d’un triangle au milieu du côté opposé (à l’angle considéré) est médiane du triangle.

Propriété : « Centre de gravité »

Les 3 médianes  d’un triangle  se coupent en un point G  ( ont dit aussi concourantes) en un point .

Ce point est appelé : centre de gravité du triangle.

Propriété métrique du centre de gravité :

Si A’ , B’ , C’ sont les milieux respectifs de [BC] , [AC],  [AB , on a ]

 

AG =  AA’ ;  BG= BB’   ; CG =CC’

 

Le centre de gravité d’un triangle est situé sur chacun des trois médianes à  ( 2 / 3 )  de leur longueur en partant du sommet .

tg

 

Traité  vectoriel du centre de gravité d’un triangle .

Le centre de gravité ( G) du triangle , qui est le point d’intersection des trois médianes, vérifie l’égalité :

++ =

(voir addition de vecteurs pb. n°5)

On a   =  ;    = ……………………… ( à vous de compléter )

 

Remarque: Si nous traçons dans un même triangle ,à partir d'un sommet et d'un coté opposé , les droites ci dessus , nous remarquons que ces droites sont distinctes.

Au plus ,dans un triangle il est possible de tracer 4 groupes de 3 droites caractéristiques (soit 12 droites)

t7

Voir :les droites des milieux .

 

 

Droite d’ Euler  et cercle d’ Euler :          (ici :@ info  +++)

Activités découvertes

1.            

Tracer un triangle  ABC 

 

2.          

Tracer ses trois médiatrices , elles se coupent en O

 

3.         

Tracer le cercle de centre O passant par B  .  Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle ABC.

 

4.          

Placer M3 milieu de [AB] ; M2 milieu de [AC] ; M1  milieu de  [BC]

 

5.         

Tracer les médianes ;    elles se coupent  en  G , centre de gravité du triangle ABC 

Voir les 1/3  des segments

6.         

Tracer les trois hauteurs du triangle ABC.

( A H1) ; ( B H2) ; ( C H3)

 

7.          

Noter le point H ; ces trois hauteurs se coupent en H . Ce point est appelé : orthocentre du triangle ABC

 

8.         

Placer  m1 ,  milieu du segment AH ;  m2 , milieu du segment BH ; m3 , milieu du segment CH.

 

9.         

Tracer les segments : m1M1   ; m2M2 ; m3 M3     (  rappel :  segment m1M1  se note [m1M1]  et ainsi de suite…)

 

10.       

Les trois segments précédents se coupent en un point E.

 

11.         

Tracer le cercle de centre E  et passant par  m1

 

 

Observation :  le cercle passe par les 9 points : m1 ;m2 ;m3 ; M1 ;M2 ; M3 ; H1 ;H2 ; H3

 

 

Conclusion :   Ce cercle est appelé : Cercle d’ Euler du triangle ABC  .

 

12.       

Tracer la droite passant par le point O et le point G  .

 

 

Observation : La droite passant par les points O et G  passe aussi  par le point H et le point E .

 

 

Conclusion : cette droite est appelée  droite d’ Euler du triangle ABC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

 

1°)  Citez les 4 droites caractéristiques  dans un triangle ? (préciser pour chacune ce qui les caractérise , cela concerne les points « origine » et « extrémité »)

 

2°)  Comment appelle - t on les points concourants de ces 4 sortes de droites?

 

3°) Qu’appelle – t-on « cercle d’Euler » du triangle ?

 

4° ) Qu’ appelle – t- on « droite d’ Euler » du triangle ? 

 

EVALUATION

 

1°)    Tracer un triangle quelconque dont les cotés mesurent respectivement ( 15 cm; 13 cm ; 9cm ), tracer toutes les droites caractéristiques.

 

2°)  Placer 3 points non aligné A , B et C tels que  : AB = 3 cm ; BC = 4 cm  et  = 120° .

Construire la médiatrice du segment AB puis celle du segment BC ; elles se coupent en un point  " I " .

Tracer le cercle de centre "I" et de rayon " I A " .

Que constate- t- on ? Justifier la réponse.

 

3°)  Placer trois points A , B et C  tels que  AB = 5 cm  , BC  = 6 cm , AC = 7 cm. Construire la médiatrice du segment [ AC] puis celle  du segment BC . Elles se coupent en O .

Tracer le cercle de centre "O" et de rayon OA . Les points B et C appartiennent - ils au cercle  ? Justifier la réponse .

Vérifier que la médiatrice  du segment AB passe par le point  I .

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

 

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