Pré requis:

Les outils de traçage

           

Les équerres

 

Le rapporteur

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

Classe  6ème collège

Index  warmaths

Objectif précédent 

Objectif suivant

  1. Tracer un angle à 90 ° à la règle et au compas.
  2. La perpendiculaire (suite)
  3.  Tracés des perpendiculaires au compas (suite)  
  4. droites et plans perpendiculaires
  5. Voir : le rapporteur d’angle et les tracés possibles des angles.

·        Liste des cours de géométrie plane.

DOSSIER « géométrie plane »  :

Demi-plan ; angles ; Droites perpendiculaires

 

 

Plan et demi-plan.

 

 

Angle : (désignation)

 

 

Angle droit.

 

 

Angles particuliers. ( Plat ;nul ; plein)

 

 

Droites perpendiculaires

 

 

·        Construction de droites parallèles ou perpendiculaires.

 

 

BISSECTRICE D’UN ANGLE :

 

 

  • « La bissectrice »

 

 

  • « Bissectrice d’un angle plat ».

 

 

·        «  les  Bissectrice dans un triangle ».

 

 

Exercice de  tracés.

 

 

 

 

 

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

Intérêt : distance d’un point par rapport à une droite..

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

Travaux niveau VI et V.

Dos : ;58 - 59

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : les tracés des perpendiculaires les plus précis se font à la règle et au compas

 

COURS

 

 

Plan et demi-plan.

 

 

Ci contre , on a tracé su le plan une droite « D ».

Les points situés d’une même côté de la droite « D »d ou sur la droite « D » constituent un ensemble que l’on appelle « demi-plan ».

La droite « D » est appelée la « frontière ».

La droite « D » détermine deux demi-plans.

Activité 1 :

Combien une droite d’un plan détermine-t-elle de demi plans ? 

Hachurer ou colorier en « bleu »  le demi plan de frontière « D » et contenant « A ». 

 

 

 

Activités 2:

 « griser » ou  colorier en « rouge »  le demi plan de frontière « D » et contenant « B »

 

 

Activités 3:

Soit la figure ci contre :

 

Combien y a-t-il de demi plans représentés  sur cette figure ?

 

 

 

 

Info +

Angle : (désignation)

Tout sur les angles

 

Activité 4  :

           - « griser » sur la figure ci contre la portion de plan limitée par les demi droites [Ox et  [ Oy et contenant le point « P ».

Remarque : on ne peut colorier qu’une partie de cette zone ; car cette portion de plan n’est pas limitée partout.

 

Cette portion de plan est appelée : « angle saillant »

On le note :    ou   

 

Remarque : le sommet de l’angle se trouve entre deux lettres , l’ensemble surmonté d’un « chapeau à l’endroit » .

 

 

 

 

Activité 5  :

 

Sur la figure ci contre : colorier (ou griser) la portion de plan que vous n’avez pas grisé sur la figure précédente.

Remarque : vous ne pouvez en griser qu’une partie.

Cette portion de plan grisé est appelé : « angle rentrant »

 

On le note :

ou  

Remarque : le sommet de l’angle se trouve entre deux lettres , l’ensemble surmonté d’un « chapeau à l’envers  »

 

 

 

 

 

Dans les deux cas , on remarque que

« O » est le sommet de l’angle.

Et

Que  [Ox et  [ Oy  sont les côtés de l’angle.

 

Nous verrons « plus tard » que la somme des deux angles « rentrant » et « saillant » forment un angle de « 360° » (voir les rapporteurs d’angles)

 

 

Désignation d’angles :

 

 

Activités 6: Désigner (nommer) les angles de la figure ci contre :

Ci-dessous :les  six angles nommés  , ils ont « deux à deux » la même valeur.

 

 

ou

 

ou

ou

 

(inverser les extrémités des  lettres)

(inverser les extrémités des  lettres)

 

Activités 7:

 

 

 

Pour repérer un angle sur une figure on peut « griser » ou « colorer » la région de son sommet.

Voir ci contre l’angle :  

 

 

·        L’angle « grisé » ci contre  s’appelle :

 

·        En suivant l’exemple précédent on vous demande de coloriser les angles cités ci-dessous :

a) Colorier en rouge l’angle :  

a) Colorier en bleu  l’angle :     

a) Colorier en vert  l’angle :  

a) Colorier en jaune l’angle :   

 

 

 

 

Angle droit.

 

 

Les deux côtés de l’équerre forme un angle droit.

En utilisant l’équerre tracer ci-dessous l’angle :

 

           

x

 

 

 

Vous venez de tracer un angle droit ……..

 

 

Remarque : pour indiquer sur une figure qu’un angle est droit, on dessine un « petit carré » :     

 

 

 

 

 

Angles particuliers. ( Plat ; nul ; plein)

 

 

Considérons l’angle       sur la figure ci contre  ,repéré par un « arc »

 

 

Ses côtés sont des demi droites :………..  [ I u       et   [ I v    .

Ces demi-droites sont « opposées ».

 

Elles constituent une droite : la droite : ……… ( u   v )

 

Un tel angle     s’ appelle « angle plat » .

 

Soit la figure ci contre :

Les demi droites :………..  [ Oz       et   [ Ot    sont « confondues ».

 

Suivant la position du « chapeau » ;on dira que :

Un angle tel que      est appelé « angle nul »

 

Un angle tel que      est appelé « angle plein »

 

 

 

 

Info ++

Droites perpendiculaires

 

 

Voici , ci contre, deux droites sécantes « D » et «delta ( ) »  .

Elles déterminent entre elles 4 angles .

 

En utilisant l’équerre ; que pouvez – vous dire (en déduire) de ces 4 angles ?

 

Rép. Ils ont la même forme (valeur).

 

De telles droites sont dites « perpendiculaires »

 

On utilise parfois le symbole :    ; on écrit   «  D   ) » 

et on lit : «  la droite « D » est « perpendiculaire » à la droite delta () »  

 

 

 

A retenir :

Deux droites perpendiculaires  sont  deux droites qui déterminent entre elles quatre angles droits.

 

 

 

 

 

Construction de droites perpendiculaires :

 

 

 

 

 

 

Etant donné une droite « d » et un point « A » .

En utilisant une règle et une équerre, voici comment il est souhaitable de s’y prendre pour tracer une droite « d’ » passant par « A » et perpendiculaire à « d ».

1°)  Faire coïncider un petit côté de l’équerre avec la droite « d ».

 

2°) Placer la règle contre le grand côté de l’équerre.

3°) Faire glisser l’équerre le long de la règle ( maintenir la règle, ne pas la bouger), jusqu’à ce que le point « A » soit sur le troisième côté de l’équerre.

 

)Tracer une partie de la droite « d’ » (le long du troisième côté de l’équerre.)

5°) Prolonger le tracer de la droite « d’ ». (suivant les besoins)

 

 

 

 

 

 

 

Exercice :1  

 

 

En utilisant la procédure précédente on vous demande :

 

 

Tracer la droite «delta prime  ( ’ ) » passant par « B » et perpendiculaire à   «delta ( ) »  

 

 

Tracer la droite «D’ » passant par « O » et perpendiculaire à   «D »  

 

 

Question : combien peut-on en tracer dans chacun des ?  ………………………..Une seule

 

 

 

 

 

Exercice :2

 

 

Avec l’aide d’une équerre , trouver tous les angles droite se trouvant dans la figure ci contre.

 

Conseil : marquer les d’un petit carré.

 

 

 

 

 

 

 

 

Construction de droites parallèles ou perpendiculaires.

 

 

On donne un point « A », une droite « d » et un point « O » de cette droite.

 

 

On demande de :

 

 

·        Tracer par « A » la perpendiculaire à « d ». Elle coupe la droite « d » en « M ».

 

 

·        Placer sur la droite (AM) le point « B » tel que « M » soit le milieu de[ AB ].

 

 

·        Tracer par « B » la perpendiculaire à la droite ( A B ) . Elle coupe ( A O ) en « C » .

 

 

·        Tracer par « O » la perpendiculaire à « d ». Elle coupe la droite «( B C ) en « N ».

 

 

·        Tracer par « A » la perpendiculaire à  la droite ( ON ) . Elle coupe la droite « ON » en «R »  .

 

 

·        Tracer par « C » la perpendiculaire à « d ». Elle coupe la droite « d » en « P »  et ( A R ) en « D ».

 

 

Tracer ( D B ) . Si votre dessin est bien réalisé, la droite ( D B ) passe par « O ».

Sinon, effacer et recommencer . ou  tracer sur une autre feuille.

 

 

 

 

2°) D’après les instruction données pour faire la construction , vous pouvez dire que les droites perpendiculaires à « d » sont des droites qui on pour nom………………………………….

Que constatez vous pour ces droites ? ……………………………………………………………………………………………………..

Cette constatation fait apparaître une propriété qui est toujours vraie :

 

 

A retenir :    Si des droites sont perpendiculaires à une même droite , alors elles sont parallèles.

 

 

3°) vous venez de dire que les droites ( A B ) , ( R N ) , et ( D C ) sont « parallèles »

 

 

Vous savez d’après l’énoncé que la droite ( A D ) est perpendiculaire à la droite ( R N ) ;

Que constatez vous pour ( A D ) et (  A B ) ainsi que pour ( AD )  et ( D C ) ?.......................................................

Cette constatation fait apparaître une propriété ui est toujours vraie :

 

 

A retenir :Si des droites sont parallèles ; alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire aux  l’autres.

 

 

 

 

 

4°) Nommer toutes les droites parallèles ………………………………………………………………………. ;

 

 

5°) Nommer les droites perpendiculaires ; par exemple  ( A B ) et « d » , vous écrirez : «  AB   d ) » 

 

 

6°) Nommer les points qui apparemment sont les milieux d’un ou plusieurs segments.

Exemple : M est le milieu de [ A B ]

 

 

 

 

Info ++

BISSECTRICE D’UN ANGLE :

 

 

Voici , ci contre, un angle

On demande de tracer la bissectrice de cet angle. (avec le compas,qui va servir à  déterminer la position d’un point par lequel doit placer une demi droite )

 

Tracer un arc de cercle centre « O » ;

Celui-ci coupe la demi droite [ Ox   en « A »

 Et   coupe la demi droite [ Oy   en « B »

 

Tracer ensuite deux arc de cercle de même rayon qui se coupent en un point « I »

 

Tracer , maintenant , la demi droite : [ Oz   passant par « I » . Cette demie droite s’appelle : la bissectrice  de

 

 

 

 

 

Activité suivante :

·        Prendre une feuille de papier et refaite cette construction.

 

 

·        Plier cette feuille suivant la bissectrice  : [ Oz

Observations :

                 Que constatez vous pour les côtés  [ Ox   et   [ Oy   ?            ( elles sont superposées)

      Que peut – on dire alors concernant les angles :   et   

   On remarque qu’il sont de même valeur …, ils sont superposables …

 

 

 

 

 

Suite :

Tracer la bissectrice de l’angle :

 

 

A retenir :  On appelle « bissectrice » d’un angle la demi – droite qui partage cet angle en deux angles superposables.

 

 

 

 

 

 

 

 

Bissectrice d’un angle plat.

 

 

Sur la droite ci contre , on a placé un point « O ».

 

·        Comment s’appelle un angle tel que   ?   

 

( c’est un angle plat.)  , 

 

·        Tracer sa  bissectrice  : [ Oz ; comme précédemment.

·        En utilisant votre équerre ;

Que peut-on dire de   et       ? 

Ils ont la même valeur , ils sont droits.

 

 

Donc le support de  [ Oz ; est « perpendiculaire »   à «  x y »

 

     

 

 

A retenir : La bissectrice d’un angle plat partage cet angle en deux angles droits.

 

 

 

 

 

«  les  Bissectrices dans un triangle ».

 

Info ++les droites remarquables dans un triangle +

 

 

 

 

Ci contre , on vous donne un triangle.

Il détermine trois angles saillants.

 

Nommez les :

 

 

 ; ;

 

Construire  leur bissectrice.

 

Si votre dessin est bien fait, vous devez constater que ces trois droites se coupent en un même point.

 

 

 

 

 

Exercices de tracés.

 

 

 

 

Le  tracé   en géométrie doit être  : fin ; net et précis.

 

 

Les constructions ( arcs de cercles ) doivent être apparentes .

On vous donne ci-dessus un parallélogramme  «  ABCD »

 

1°) Tracer les bissectrices des quatre angles  de «  ABCD »

 

 

 

·        Les bissectrices de  et de                se coupent en « E ».

 

 

·        Les bissectrices de    et de            se coupent en «F »

 

 

·        Les bissectrices de et de   se coupent en «G »

 

 

·        Les bissectrices de  et de   se coupent en «H »

 

 

 

 

 

2°) Nommer les droites de la figure qui sont ( ou qui vous semblent)  parallèles.

Exemple : on écrira   (AB) // ( D C ) .

 

 

3°) Nommer les droites de la figure qui sont ( ou qui vous semblent ) perpendiculaires.  

Exemple : on utilisera le symbole :      .

 

 

 

 

 

4°) En apparence, on peux dire que le quadrilatère «  EFGH » est un …………………. ( parallélogramme)

 

 

 

 

 

5°) Tracer les bissectrices des quatre angles de  «  EFGH »

 

 

 

 

 

Les bissectrices de   et   de     se coupent en «H »

 

 

Les bissectrices de  et de   se coupent en «H »

 

 

Les bissectrices de  et de   se coupent en «H »

 

 

Les bissectrices de  et de    se coupent en «H »

 

 

 

 

 

6°) Nommer d’autres droites de la figure qui vous semblent parallèles .

 

 

 

 

 

7°) Nommer d’autres droites de la figure qui vous semblent perpendiculaires  .

 

 

 

 

 

8°)  Apparemment ; que pouvez vous dire sur  le quadrilatère ; c’est  un parallélogramme .………………………… ;

 

 

 

 

 

 

 


 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

Revoir les « à retenir » ; à apprendre par cœur et réciter par écrit .

 

EVALUATION:

 

 

Cliquez ici pour   : INFO ++++  sur le triangle rectangle «  3 ;4 ;5 » et  « Pythagore »