Commentaire :  Ce  résumé destiné aux élèves de lycée (niveau 4 ) ne sera  entièrement compris que si l’on maîtrise les cours sur les  ( ou le J « nombres relatifs »)

Info +++

1 )Propriétés des puissances entières.

Tous les exposants utilisés  ,ici, sont entiers et positifs.

Remarques :

a)     Toute puissance d’un nombre positif est un nombre positive.

b)     Toute puissance « paire » d’un nombre négatif est un nombre positif :                exemple :    ( - 2 ) ⁴  =  + 16

c)      Toute puissance « impaire » d’un nombre négatif est un nombre  négatif :          exemple :    ( - 2 ) ⁷ =  - 128

·        1-1 :  Puissance d’un produit de facteurs , ou d’un  quotient.

  =   ,             

·        1-2    Produit de puissances d’un même nombre.

  =    

c’ est  la règle de l’addition des exposants..

Pour l’application de cette règle, si une lettre n’a pas d’exposant, il faut lui affecter l’exposant « un »   ( exposant : 1 )

=  devient :      qui  devient     (  =  )

Cette  règle ne s’applique qu’aux produits de puissances ; S’il y a plusieurs lettres dans le produit envisagé, on applique la règle à chacune d’elles :  

Ainsi :     =  

·        1 - 3   Elévation d’une puissance à une puissance.

On multiplie les exposants :   =  

        Exemples :            

                             =     = 

                       =   

·        1-4  Quotient de deux puissances d’un même nombre.

Soit :   et    on trouve trois cas

    ;    =      

   ;    =  1

   ;       =  

  = 

L’introduction de la notation des exposants négatifs évite de distinguer les trois cas. ON convient que :

  s’écrit         ;   exemple :  = 

On a alors dans tous les cas :  =      

Exemples : =      =          ;      =      =    ou   

Pour «  p = n » on aurait    qui est égal à « un ».

·        1- 5   Propriété distributive ou « distributivité ».

La multiplication est distributive relativement à l’addition algébrique.

Il s’agit de la multiplication d’une somme algébrique par un terme ou par une « autre » somme algébrique.

Il faut tenir compte éventuellement de la « règle des signes »…..(voir ci-dessus)

( a + b – c )  . n  =  n a  + nb – n c

( a + b – c ) ( n – p )  =   n a  + nb – n c – pa – pb + pc

Info +

·        1 – 6  Cas particuliers fondamentaux : les produits remarquables .

( a + b ) ²  = a² + 2 ab + b²

( a - b ) ²  = a²  -  2 ab + b²

( a + b ) ( a – b )   = a² -  b²

( a + b ) ³  =  a ³ + 3 a²b +  3 a b ² + b ³

( a -  b ) ³  =  a ³  - 3 a²b +  3 a b ² -  b ³

( a²  -  2 ab + b² ) ( a + b) =  a ³ + b ³

( a²  +  2 ab + b² ) ( a -  b) =  a ³ -  b ³

                                 D’une manière très générale , le développement de «  ( a + b ) ⁿ  est « homogène »  en « a » et « b » , ce qui veut dire que la somme des exposants des lettres est la même dans chaque terme. 

                                 Quant aux coefficients numériques, ils sont donnés par le triangle de Pascal. Dans lequel chaque terme est la somme des deux termes situés au-dessus  et au-dessus à gauche. ( Exemple : 15 = 10 + 5 )

1

1

1

1

2

1

Pour : ( a + b ) ²

1

3

3

1

Pour : ( a + b ) ³

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

                          Pour   ( a + b ) ⁶

Exemple : ( a + b ) ⁶  =   a ⁶ + 6 a ⁵ b +  15 a ⁴ b² + 20 a ³ b ³ + 15 a ² b ⁴ + 6 a b ⁵ + b ⁶

·        1 – 7 : Différence de deux carrés.

( d’après le chapitre précédent )    a² -  b²  = ( a + b ) ( a – b ) 

Cette formule très importante est l’une des clés du calcul algébrique. Elle s’applique quels que soient « a » et « b ».

Voir quelques exemples ci-dessous :

Série a ) : 

·        x ²   - 4  = ( x + 2) ( x – 2)

·        16 x ² - 81 = ( 4 x + 9 )  ( 4 x – 9 )

·           = 

·        ( 2 x + 3 ) ²  - 49 =  ( 2 x + 3  + 7 ) ( 2 x + 3 – 7 )  =  ( 2 x + 10 ) ( 2 x – 4 )

·        ( 3 x – 5 ) ²  - ( x + 4 ) ² =  [ ( 3 x – 5 ) + ( x + 4 ) ] [( 3 x – 5 ) -  ( x + 4 ) ]

                                                   = ( 3 x – 5 +  x + 4 ) ( 3 x – 5  -  x - 4 )

                                                   = ( 4 x – 1 ) ( 2 x – 9 )

Série b ) :Parfois cette identité exige que l’on se rappelle que :

«  Tout nombre positif est le carré de sa racine carrée »

·        11 =  ;         on écrit aussi que  :       11 =

·        17 =  ;         on écrit aussi que  :       17 =

·        x² - 13   =  ( x +  )    ( x  - )

·        ( 7 x – 4 ) ² - 21  =  ( 7 x – 4 + )   ( 7 x – 4 - )

Info ++

1 – 8 La mise en facteur commun.

C’est l’opération inverse du développement par application de la propriété distributive.

«    a n + b n – c n  =  n ( a + b – c) »

 Pour effectuer une mise en facteur commun il faut :

1°) Apercevoir la lettre , le nombre ou le groupe de lettres qui figures comme «  facteurs » dans tous les termes  , sans exception .

2°) Ecrire le facteur commun.

3°) Ouvrir une parenthèse.

4°) Ecrire , dans la parenthèse , tout ce qui reste , y compris les signes , après suppression , dans chaque terme, du facteur commun : Tout ce qui reste , ce sont les quotients de chaque terme par le facteur commun.

5°) Fermé la parenthèse.

Il est à noter que le contenu de la parenthèse est l’ensemble des quotients de chaque terme, par le facteur commun.

Exemples  :

1°)

E =  3 x ⁶  - 8 x ⁵  +  - 2  x ²

Le facteur commun est « x² » et l’on écrira : E  = 

2°)

  E =   x ⁸ y ⁶  + x ⁶ y ⁸

Le facteur commun est évidemment :  x ⁶ y ⁶      

              E =   x ⁶ y ⁶   ( x ² + y ² )

1-9     Mise en facteur commun « forcée ».

Il arrive que l’on ait besoin , dans une somme de termes, de mettre en facteur commun une quantité qui , pourtant, n’est pas facteur dans chacun des termes . Mais , d’après la phrase qui suit , on écrit dans la parenthèse les quotients des différents termes par la quantité mise en facteur commun.

Voir les exemples qui suit , ce procédé est souvent utilisé…..

1°)    E =    =  

2°)  E  = a x ³ + b x² + c x  = 

3°)  E   = a x²  + b x   + c =            ;   ce procédé est souvent utilisé…..

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2 ) La décomposition en produit de facteurs  et son rôle essentiel . LA FACTORISATION.

2 - 0 Introduction :

Les produits de facteurs interviennent dans la plupart des questions (ou problèmes) d’algèbre :

-          Simplification de fractions ;

-          Réduction au même dénominateur ;

-          Résoudre des équations ;

-          Résoudre des inéquations ;……..

 On ne peut se passer d’eux. Apprendre à décomposer une expression en produit de facteurs est de toute nécessité et de toute urgence…..

Or, il n’existe pas de procédé général permettant d’effectuer une telle décomposition . Cependant en algèbre élémentaire, on doit toujours penser à utiliser :

-          la mise en facteur commun , partielle ou totale.

-          Les différences de deux carrés : «  a² -  b² = ( a + b ) ( a – b )» qui jointes aux   identités  ( chapitre 1-6) conduisent  avec un peu de perspicacité et beaucoup de  « métier » (expériences), au résultat désiré.   

Donc voici ci-dessous une séries d’exercices progressifs ( s’imprégner)

2-1     Intervention de la mise en facteur commun seule.

Exercice 1 :  E = ( 2 x + 5 ) ( 3 x – 4 )  -  2 ( 2 x + 5 ) ( x – 1 ) + ( 2 x + 5  )

 Solution :                       Le facteur commun est en évidence «  ( 2 x + 5 ) »

E  =  ( 2 x + 5 ) [ (   3 x – 4 )   - 2  ( x - 1 )  + 1 ] 

E  =  ( 2 x + 5 )  ( 3 x – 4  - 2 x + 1  + 1 )

E =  ( 2 x + 5 ) ( x – 1 )

Exercice 2 :          E =  ( 4 – 5 x ) ( 3 x + 2 ) + 3 ( 4 – 5 x ) x – ( 4 – 5 x )

Réponse :

-          Facteur commun : ( 4 – 5 x )

-          E =   ( 4 – 5 x )   ( 6 x + 1 )

Exercice 3 :          E =  ( 7x + 3 ) ( 5 x -1 ) - 3 ( 7x +4  ) + 2 ( 7 x +4 ) ( x – 3 )

Réponse :  E  = ( 7 x +4 ) ( 7 x – 10  )

2 – 2 Souvent le facteur commun n’est pas en évidence et n’apparaît que grâce à une transformation d’écriture , :

 telle que :  « a – b  =  - ( b – a ) »

Exercice 4 .   E = ( 2x – 7  ) ( 3x + 4 ) – 2 x + 7 + 2  ( 2 x – 7 ) ( x + 1 )

Ici il faut d’abord  remarquer que :       - 2 x + 7  =   - ( 2 x – 7 )

Et écrire :  E = ( 2x – 7  ) ( 3x + 4 ) –  ( 2 x -  7)   + 2  ( 2 x – 7 ) ( x + 1 )

Le facteur commun est alors :     « ( 2 x – 7 ) »

E  =  ( 2 x – 7 ) [( 3x + 4 )  - 1 + 2 ( x + 1 )  ]

E  =  ( 2 x – 7 ) [  3x + 4  - 1 + 2  x + 2 )  ]

E  =  ( 2 x – 7 )  ( 5 x + 5 )

E  =  5 ( 2 x – 7 )  ( x + 1 )

Exercice 5 .   E = ( 4 – 3 x  ) ( x + 2 ) – 4 + 3 x

Ecrire :

E = ( 4 – 3 x  ) ( x + 2 ) –  (   4 -  3 x )

E  =   4 – 3 x  ) [ ( x + 2 ) –  1 ]

E  =   4 – 3 x  )  ( x + 1 )

Exercice 6 .   E = ( 7 x  – 3  ) ( 8 x  + 1  ) +  ( 7 x  – 3  ) x   -  7 x  + 3 

Réponse :    E = 9 ( 7 x  – 3  ) x

2 – 3 Parfois pour apparaître , le facteur commun exige une mise en facteur partielle dans certains termes.

Exercice 7 .   E = ( 7  – 2 x  ) ( x + 5 ) – ( 21 – 6 x ) ( 2 x – 1 )

Aucun facteur commun n’apparaît d’emblée. Mais

                     ( 21 – 6 x )  =  3  ( 7  - 2 x )

et l’on a :   E = ( 7  – 2 x  ) ( x + 5 ) – 3  ( 7  - 2 x )  ( 2 x – 1 )

le facteur commun est alors : ( 7  - 2 x )

E = ( 7  – 2 x  ) [  ( x + 5 ) – 3 ( 2 x – 1 )]

E = ( 7  – 2 x  )  ( x + 5  – 6 x +3  )

E = ( 7  – 2 x  )  (  8  – 5 x  )

Exercice 8 .   E = ( 3 x + 4 ) ( 7 x – 1 )  + ( 12 x + 16 ) ( x + 2 )

Voir que :  ( 12 x + 16 )  =   4  ( 3 x + 4 )

E =  ( 3 x + 4 ) ( 11  x + 7 )

Exercice 9 .   E = ( 2 x + 3 ) ( 5 x – 1 )  - 3 ( x + 2 ) ( 25 x –  5 )

Réponse :

Voir : (25 x –  5 )  = 5 ( 5 x – 1 )

E =  ( 5 x – 1 ) [  ( 2 x + 3 ) - 15 ( x + 2 ) ]

E  =  ( 5 x – 1 ) ( - 13 x – 27 )   =  - ( 5 x – 1 )( 13 x + 27 )

Dans le même ordre d’idée , nous allons voir des exercices un peu plus compliqués.

Exercice 10 .   E =  x ² + a x + b x + a b

Remarquer que :              x ² + a x  =  x ( x + a )                ;    b x + a b  =  b ( x + a )

Alors :    E =  x ( x + a ) +  b ( x + a )   ;     E  =  ( x + a ) ( x + b )

Exercice 11  .   E =  x ³ – x ² + x  - 1  

Ecrire : x ³ – x ² = x ²  ( x – 1 )

Réponse :   E  =  ( x – 1 )  ( x ²  + 1 )

Exercice 12  .   E =  x ² + x y + y + x

Réponse : E = ( x + 1 ) ( x + y )

2 – 4 :  Intervention des différences de deux carrés seules .

Exercice 13  .   E =  (  3 x – 2 ) ² - ( 2 x + 1 ) ²

On a immédiatement :

E =  [(  3 x – 2 ) + ( 2 x + 1 ) ] [(  3 x – 2 ) - ( 2 x + 1 ) ]

E =  (  3 x – 2  + 2 x + 1 ) (  3 x – 2  -  2 x - 1 )

E =  (  5 x – 1 ) (  x –  3 )

Exercice 14  .   E =  (  5 x + 3  ) ² - (  13  x – 2  ) ²

Ecrire :  E =  [ (  5 x + 3  ) +  (  13  x – 2  )] [(  5 x + 3  )  - (  13  x – 2  )]

Réponse :   E  = ( 18 x + 1 ) ( 5 – 8 x )

Exercice 15  .   E =  (  15 x + 2  ) ² - (  3  x – 4  ) ²

Réponse :  E = 12 ( 9 x – 1 ) ( 2 x + 1 )

2 – 5 :  souvent la différence de deux carrés  ne sont pas en évidence et il y a lieu  de les faire apparaître , notamment par application des identités fondamentales du chapitre 1-6

Exercice 16  .   E =  9 x ² + 6 x y + y ² - 25 ( x ² - 2 x y + y ² )

Il y a lieu de remarquer d’abord que :

9 x ² + 6 x y + y ²  =  ( 3 x + y ) ²

x ² - 2 x y + y ²  =   ( x  - y ) ²

On peut écrire :  E =  ( 3 x + y ) ² -  25 ( x  - y ) ²

On a alors une différence de deux carrés.

E  =  [ ( 3 x + y ) + 5 ( x  - y )]  [ ( 3 x + y ) -  5 ( x  - y )]

E  =   ( 3 x + y  + 5 x  - 5 y )  ( 3 x + y  -  5  x  + 5 y )

E  =   ( 8 x  - 4 y ) ( - 2  x + 6 y )

E  =   4 ( 2 x  -  y ) 2 ( -  x + 3 y ) =  8 ( 2 x  -  y ) ( 3 y -  x )

Exercice 17  .   E = 3 x² + 6 x + 3 – 12 y ² + 36 y – 27

Remarquons que :  3 x² + 6 x + 3 =  3  ( x² + 2 x + 1 ) =  3 ( x + 1 ) ²

3 x² + 6 x + 3 =  3  ( x² + 2 x + 1 ) =  3 ( x + 1 ) ²

– 12 y ² + 36 y – 27  =  - 3 ( 4 y ² + 12 y – 9 ) =  - 3 ( 2 y – 3 ) ²

 E =  3 [  ( x + 1 ) ² - ( 2 y – 3 ) ² ]

Réponse :  E = 3 ( x + 2 y – 2 ) ( x – 2y + 4 )

Exercice 18  .   E = 3 x ² -  y ² - 2 y z – z ²

Réponse :  E = ( x + y + z ) ( x -  y  -  z )

Exercice 19   .   E = 4 a ² b ² - ( a ² + b ² - c ² )²

Il  y a d’abord une différence de deux carrés :

E = [ 2 a b + a² + b ²  - c ²  ]   [  2 a b -  a² -  b ²  + c ² ]

Il faut alors procéder à des regroupements de termes. :

   a² + b² + 2 ab = ( a + b ) ²

  -  a² -  b² + 2 ab =  -  ( a ² + b ² - 2 a b ) =  - ( a – b ) ²

Dés lors :

      E = [( a + b ) ² - c ² ]  [ c² -  ( a + b ) ² ]

Et il n’y a plus , dans chaque crochet, qu’à effectuer les différences de deux carrés :

E =  ( a + b + c ) ( a + b - c ) ( c + a – b ) ( c – a + b )

Exercice 20   .   E = a ² - b ² + x ² - y ² + 2 ( a x – b y )

Ecrire :  E = x ² + 2 a x + a ² - ( y ² + 2 b y + b ² )

Réponse :

         E = ( x + y + a + b ) ( x – y + a – b )

Exercice 21   .   E = a ² - b ² - c ² + d ² - 2 ( a d – b c )

Réponse :  E = ( a – d + b – c ) ( a – d – b + c )

2 – 6  Intervention des différences de deux carrés , combinées avec la mise en facteur commun.

Exercice 22   .   E = ( 3 x – 5 ) ( 2 x – 7 )+ 4 ( 1 – 3x ) ( 3 x – 5 ) – 9 x ² + 25 

Aucun facteur commun n’est en évidence ; mais :

– 9 x ² + 25  =   –  ( 9 x ² -  25 ) =   - ( 3 x + 5 ) ( 3x – 5 )

donc :

E =   ( 3 x – 5 ) ( 2 x – 7 )+ 4 ( 1 – 3x ) ( 3 x – 5 ) - ( 3 x + 5 ) ( 3x – 5 )

Cette fois « ( 3 x – 5 ) » est en évidence dans tous les termes.

E =  ( 3 x – 5 ) [( 2 x – 7 )+ 4 ( 1 – 3x ) - ( 3 x + 5 ) ]

Ou :

E =  ( 3 x – 5 ) ( 2 x – 7 + 4 – 12 x) -  3 x - 5 )

E =  ( 3 x – 5 ) (13 x + 8 )

Exercice 23   .   E = ( 4 x – 1 ) ( x + 3 ) – 3 ( 16 x² - 1 ) – ( 4 x – 1 ) ²

Voir que : ( 16 x² - 1 )  =  ( 4 x + 1 ) ( 4 x – 1 )

Nous mettons « ( 4 x – 1 ) » en facteur  commun

Réponse : E =  ( 4 x – 1 ) ( 1 – 15 x )

Exercice 24   .   E = (  x²  –   y ² )  ( 2 x + y ) +  ( x + 3 y ) ( 4 x² - y ² )

Réponse :  E = ( x + 3 y ) ( 2 x + y ) ( 3 x – 4 y )

2 – 7 Voir les exercices « exemples »  suivant dans lesquels la plupart des considérations précédentes interviennent utilement.

Exercice 25   .   E = (  x +  y  ) ( x  - z ² ) +  ( x – z ) ( x² - y ² )

Il suffit d’écrire :

E = (  x -  y  )  ( x + z ) ( x – z )  +  ( x – z ) ( x + y ) ( x – y )   et  mettre   «  ( x – y ) ( x – z ) en facteurs communs..

E =( x – y ) ( x – z ) ( x + z + x + y )

Réponse finale :   E =( x – y ) ( x – z ) (2  x + z  + y )

Exercice 26   .   E = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 3 ) +  ( x – 1 ) ( x – 2 ) – x  + 1

On voit une mise en facteur commun partielle dans les deux premiers termes :

E = ( x – 1 ) ( x – 2 )  (  x – 3 + 1 )  – ( x – 1 )

E = ( x – 1 ) ( x – 2 )²  -  ( x – 1 )

  Mettre  ( x – 1 ) en facteur !!!   dans l’ensemble et décomposer la différence de deux carrés.

Résultat final    : E = ( x – 1 ) ² ( x – 3 )

Exercice 27   .   E =  x ³  - 2 x² - 3 x

On va faire  des mises en facteur commun partielles :  E = x ( x² - 1 ) – 2 x ( x + 1 )

Réponse : E = x ( x + 1) ( x – 3 )