ETUDE  du  cours  en TRAVAUX  AUTO - FORMATIF

N°9 / 25

 

ICI : corrigé .

 Leçon

CONSIGNE :   vous devez répondre aux questions en vous aidant du cours .

N°9

LA PROPORTIONNALITE   et les calculs sur la proportionnalité ;son  l’application linéaire .

CHAPITRES :

Etude  du cours

Etude chapitre par chapitre (des questions peuvent être rajoutées):

1)       Suites de nombres proportionnelles .

Info plus ! ! !

2)       Proportion et produit en croix

Info plus !!

3)       Coefficient de proportionnalité .

Info plus ! ! !

4)       Ecriture algébrique dite « équation »

Info plus ! ! !

5)       Tableau de proportionnalité .

C d INFO plus ! !

6)       Recherche du coefficient de proportionnalité 

Info plus !!!!!

7)       Représentation graphique d’une proportion

Info plus !!!!

8)       Problème résolu de proportionnalité.

Info plus !!!!

9)       Application linéaire .

Info plus ! ! !

 

ETUDE  du cours

Prendre une feuille , répondre aux questions en vous aidant du cours.

i9

VOCABULAIRE  déjà utilisé : (Rappels)

:i

 1a ) Qu’appelle t - on :  Rapport ?:

 1b) Quel est le  modèle mathématique d’un « rapport » ?  

 1c)  Compléter le tableau :

Exemples :

Quotient :

Commentaire :

6 / 2  =  3

?

Le quotient est un nombre ?

4,5 :2  =

?

Le quotient est un nombre ?

8 : 3

?

Le quotient est une fraction irréductible  dit « …….. ? ……..»

 

2a)  ) qu’appelle -t - on « Rapports égaux » ?  :

 

2b)  quel est le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions ?.

 

2c)  Quel  peut être la nature du quotient ?  

 

3 a)  Qu’appelle -t - on par  « Suite de rapports égaux » ? 

 

 

 

3b ) Quel est son modèle mathématique ?    Traduction en langage mathématique :

 

 

 

3 c) Appliquer :  sont t-ils des rapports égaux ?

 

FIN du rappel.

 

i9

La proportionnalité :

Info plus ! ! ! !

 

i9

I                       Proportion

Info plus !! et :i

1°)  Donner la définition de la proportion ??? :

 

2°)  Soit deux cas :     On donne deux fractions . Montrer   si il y a , ou pas , une proportion 

Cas : …………………………………

 

Cas il n’y a pas ………………….

Soit les deux fractions :   

 

Est ce que ces deux fractions forment  une proportion ?

Soit les deux fractions :    

 

Est ce que ces deux fractions forment  une proportion ?

Condition posée  ;

Condition posée : 

Réflexion :  .

Réflexion 

Calculs :

 

Calculs :

.

 

Conclusion :

.

Conclusion :

 

3°) Compléter la phrase :  Lorsque le quotient « semble identique)  est identique et que  le calcul ne « tombe pas juste (c’est à dire que  reste différent de zéro ) » Une autre possibilité de calcul permet de vérifier si deux fractions sont égales : il faut calculer le « ………………………………. » . ( on verra cette pratique plus loin dans le cours ) .

4°) Application : calculer le  produit en croix des   deux fractions    8 / 3    et   16 / 6 

 

5°)  Soit la proportion :    ; nommer les  « moyens et les extrêmes »  

6°) compléter la phrase suivante :

Dans une proportion le produit des …………………………………………………….

Rappel    C d :  les  fractions équivalentes :

6°)  Application :  :   est - elle égale à  ?  donner une conclusion .

 

Solution :

 Calcul  n°1:                                     ; calcul  n°2 :

Conclusion :   

i9

II .     Coefficient de proportionnalité

Info plus ! ! !

7°) Qu’est qu’un  coefficient de proportionnalité ?

8a °) Quel peut être la nature de ce  nombre ( à quel ensemble appartient -il ?) :  9°)  comment obtient - on un coefficient de proportionnalité  ..

 

9) On obtient ce coefficient   lorsque  l’on  divise  chaque valeur  …………………………………………………….. ( valeur correspondante : qui occupe le même rang )  …………………………….. .

10) Exemple 

 Si   deux  suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels : si l’on met ces nombres dans un tableau , on obtient un tableau :……………………………….

 

Le tableau  ci dessous   est appelé « tableau de proportionnalité »

   ?     

¯

1,5

4,3

9,6

Dans cette   Ligne supérieure  les nombres forment la    « ………………………………. »

 ?    ­

3

8,6

19,2

Dans cette   Ligne inférieure   les nombres forment la    « ………………………………… »

11 ) Quelle  est la valeur du coefficient de proportionnalité : ……………………………….

 

12°) Etablir la suite de nombres  proportionnels  et Vérifier par le produit en croix  :

13°) Lorsque l’on a deux suites de nombres , donner la règle qui permet de calculer le coefficient  de proportionnalité !

 

.i9

III   )    Rechercher si deux  suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels

Info plus ! ! ! !

 

14°)  Quelle condition faut -il  remplir  pour que deux suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels. ?

 

15°)  Soit la première suite S1 = { 2 ; 6 ; 10 }    ; soit la deuxième suite  S 2 = { 4 ; 12 ; 20 } , sont - elles  proportionnelles ?

Proportionnalité et « l ’équation » :  y = a x  (REPRESENTANTE de  la fonction dite « linéaire »)

 Info plus ! ! ! !@ !

Vocabulaire : compléter  la phrase : 

16°)  on dit  aussi q ‘ une  « équation » est une «  …………………( ?) ………… »

 

17 °) .iLa fonction linéaire est le modèle algébrique  permettant de traiter  …………………………………………………………………..( ?)………………

18°)    Problème « exemple » :   2 kg de pommes  valent 1, 6 €   ; 3 kg valent  2,4 € ; 5 kg valent  4 € .

18a )  comment montrer qu’il y a « proportionnalité » ? .

On montre qu ‘il y a proportionnalité  en effectuant  ( ?) ………………

= ( ?)

18b )  compléter la phrase : On peut dire que le prix à payer est égal  ……….( ?)      multiplié par ………………..( ?) .

18c)Que désigne la lettre « y » ? :

18d) Que désigne la lettre « x » ? 

18e) On remplacera  la formule de la forme  y = a x  par l’équation L?)     

18 f) Si le kilogramme de pomme passe à 1,2 € le kilo ; donner  la formule : ( ?)

19 ) Donner le forme de la  formule ( forme algébrique)   ( ?) ……………………. ;

20) Compléter la phrase :  la droite d’équation « y = 1,2x » peut être tracée dans  ( ?) …………………………………………………

21) « vocabulaire » :   traduire l’écriture : f (x)    :     ( ?)    lire  « …………………… »

22 )  Compléter la phrase : o n dit que « y » est obtenu  en   ( ?)    ……..

23 )  Compléter la phrase :   On remplacera  l’équation «  y = 1,2 x »  et l’on écrira que  la fonction s’écrira :  ( ?)  «…………………………   »

+Généralisation :  On peut mettre les  suites de  nombres précédents sous la forme d’

Rectangle à coins arrondis: Prix à payer
 


Rectangle à coins arrondis: Nombre de kilo achetésune suite de rapports égaux ===......... ;

Bulle ronde: Des « i » grecs
 

 


On peut dire que cette suite est égale au rapport   des     

Bulle ronde: Sur de  « ixes »  

 


Ce rapport est un coefficient qui est égal au nombre  que l’on nommera  « a » .

On peut donc écrire  que :     ==  =  

On  a  décidé de transformer ces  rapports de la forme         par  l’écriture  y = ax

c’est une autre  forme  d’écriture dite « algébrique », cette écriture algébrique est une égalité  appelée « équation » .

25 )  Cette   équation  « y = a x »  est appelée : « …………………………………… » .

+Application à des cas  concrets  (Adapté à la vie quotidienne)

D’autres applications seront traitées dans le  cours   10 /25 .

Série  1 :  

26 )  ►Problème 1

   Le prix d’un kg de fruit est de 0,8 €. Donner une formule permettant de calculer le prix à payer en fonction de la masse achetée.

Solution 

Pour tout achat de ces fruits , on a :  prix à payer  =  prix au kg nombre de kg

22a) Si on appelle « x » le nombre de kg achetés  et « y » le prix à payer  on écrira  l’équation ? :

 

 

27) ►Problème 2°)

 J’achète des pommes à 1,53 € le kilogramme ; quelle sera  la relation mathématique à utiliser ?

Solution :

27a) si « y » est le prix à payer et « x » le nombre de kg ,quel sera est le coefficient de proportionnalité ?.  

27b) Donner la forme de l’équation de ce que je dois payer :    

Applications :

27c) -si je prend  4,5 kg      ;   je payerai     y =

27d ) -si je prend  1, 350 kg ;    je payerai     y =

 

2 7 e   ) Conclusion : Avec la relation y = 1,53 x  je peux  calculer la somme à payer quelque soit ……………………..; je multiplie la valeur de cette masse  par ……………….. .

28 °)  ►Problème n° 3

J’ai payé  7,2 €  pour des pommes vendues 0,8 € au kg . Quelle est la masse de pommes achetées ?

28a)   On sait  que la relation  à utiliser  est    ………………….

28b) On connaît « y = 7,2 »   , on peut écrire   7,2  = …………. ?    x  

Pour calculer « x » on transforme l’équation :

On simplifie  pour obtenir :     

28c) Donc   x =  (opération) ………………….  ;   soit    x =  ………….

28 d)  conclusion :   la masse de pommes achetées est de   ………………..

Série  2 :   Autre méthode de résolution d’un problème sur les proportionnalités :

on raisonne en passant par le tableau de proportionnalité.

29 )   Problème n° 4  : J’ai payé 7,2 €  pour 10 kg pommes  combien paierai-je  pour  4 kg ?

 (on a  établi le tableau suivant)

Nombre de kg

10

4

Prix payé

7,2

( x  )

Calcul :……………..       x  = ?

Conclusion : le prix à payer pour 4 kg est de …………………………

V.        Tableau de proportionnalité

C d INFO plus @! !

+Première approche : nous avons vu précédemment  que nous pouvions mettre  dans un tableau des valeurs calculées.

30°)   Problème  n° 5 : J’ai payé  pour des pommes vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’achète  une masse de 1,5 kg ; 4,3 kg  et 9,600 kg ;  pommes achetées ?

30a)  Construire le tableau de proportionnalité

  ´ 2     

¯

1,5

4,3

9,6

 

 ¸2  ­

3

8,6

19,2

 

+Deuxième approche : théorique

31°) Problème  n°6  :

J’  achète  des pommes vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’ achète  une  masse  « quelconque » ( notée par la lettre « x » ) de pommes achetées ?  

On demande  d ’ établir l’équation  et de construire un tableau ou l’on peut connaître les prix à payer  pour  des sacs contenant 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 et  5 ( kilos achetés)

Solution :

31a )On pose : « x »  pour …………………….. ; « y » pour ……………………… ; 

31b) On en déduit l’équation «  y = ?   »

Rectangle à coins arrondis: Dans cette   Ligne supérieure  les nombres forment la    « ………………………. ». Les valeurs de « x » sont données ou choisies .31c) Construire un tableau  de proportionnalité , précisez !! :

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

Rectangle à coins arrondis: Dans cette   Ligne inférieure   les nombres forment la    « ……………………… », les valeurs de « y » sont calculées .on sait que  les valeurs de « y = ax »

 

Rectangle à coins arrondis: Procédure : On construit deux lignes  « x » et « y » et autant de colonnes que de valeurs cherchées.
On remplit la ligne des « y ».
 

 

 

 

31d)   construire un tableau . Placer les valeurs 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 et  5  on sait que :  y = 2 x 

compléter le tableau.

 

x

1,5

2

2,5

3

4

5

 

y

?

?

?

?

?

?

 

IV.                 autre activité demandée :

on   Recherche le  coefficient de proportionnalité

Info plus !!!@!!

La recherche du coefficient de proportionnalité est un autre  moyen de traiter les problèmes de proportionnalité.

32 °) Problème n° 7 : j’achète 9 kg de pommes pour 7,2 € ;  une  offre  promotionnelle propose un lot de 3 kg de ces mêmes pommes à   2,99 €.

Y a - t-il un rapport de proportionnalité ?  expliquez comment on doit procéder .

Solution :

32 a) Calculs :  

32b)  Conclusion :

VII.       autre activité : Faire la Représentation graphique  d' une proportion

Info plus !@!!!!

 

33°)  compléter la phrase :   La représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une …………….. qui passe par l'…………… .( O ) du repère cartésien.

34°)  Exemple  N°8 : Un cycliste  se déplace à la vitesse moyenne de 20 km par heure ( 20 km/h ou 20 km.h-1 ).Déterminer l’équation « y » distance parcourue(km) en fonction de « x » durée du parcours(h) ; construire un tableau  de proportionnalité  avec  x = 1 h ; 2h et 3 h ; Tracer la droite  dans un repère cartésien. 

34a) Donner l’équation algébrique :   ………………………………

34b) Compléter :  Avec  " y " représente :  ……………, "x"  représente  …………………...

34c) compléter le tableau  :

Durée en h.

1

?

3

Distance   parcourue

?

40

?

34 d) Compléter les colonnes par une lettre majuscule.

Pour la   représentation graphique ( on reprend le tableau précédent on nomme les colonnes )

                Points ®

A

B

C

Durée en h.

1

2

3

Distance  parcourue

20

40

60

34 e) Tracer le repère   sur « x » 1h = 2 cm ;  sur « y » 20 km = 1 cm ) ;

Donner les valeurs des  couples de points et  puis les  placer dans le repère .

 les points  A (….; …..) ; B ( ….. ; …… ) ; C ( ……. ;…….)

La représentation graphique est ………………

VIII.                  problème résolu ; Activités 

 

35°)  Rechercher  un  complément d'informations  à la lecture de la représentation  graphique, et interpréter certains événements   :

Soit la représentation graphique ci- contre.

« Soit un cycliste qui quitte un lieu en un point O » .

35a)  Compléter le tableau ci - dessous :

 

?

G

?

D

F

?

E

?

Durée en h.

0

 

1

 

 

2

 

3

Distance

parcourue

0

 

20

 

 

40

 

60

2°)  Quel commentaire peut - on faire  sur  les  points : G : D ; F et E ?.

 

 

35 b  ) commentez ce qui se passe au point  « G »  , au point « D »   au point « F » ; « E »:

 

IX)  Application linéaire .

Pré requis : repérage  et les calculs

1°) Info plus ! fonction linéaire présentation! !/

2°) fonction et application

Revoir ce dessus pour ce qui est du vocabulaire employé. !!!!!!

Dans ce chapitre

A)  il faut savoir : compléter et utiliser un tableau de proportionnalité , et ;

B) il faut savoir  déterminer , représenter et utiliser l’application linéaire liée à une situation de proportionnalité .

36°)  Application linéaire :

36 a)  Que désigne « k »  (quelle est sa nature ?):

36b) L’ ’application linéaire de coefficient « k » fait correspondre à chaque nombre « x » le nombre « y »  , traduire en une équation mathématique : 

36 c)  compléter la phrase :     on dira  que le produit  de  « k x »  ………………  de « x » par l’application linéaire de coefficient « k » . On dira donc   que  «  …………………..x »

36d) Par quel symbole remplace - t- on   l’expression « à pour image » ?

 

36 e) Traduire en écriture symbolique : «  x  à pour image   k x » :

36 f )  Compléter la phrase  :    « y » est ………………………………….

36 g)   Si l’application linéaire s’appelle «  » et  si « y » est l’image de « x » ;

 traduire en écriture symbolique :    y =……………………..

36 h )  On lira que :  chaque valeur  de « y » est obtenu ……………………………….. .

37°)    Application linéaire liée à une situation de proportionnalité .

37 a)  on donne :     x -3,5 x  est associé à  ce tableau de proportionnalité ; compléter le tableau

´ ?  ¯

x

 

- 3

-

0,4

1

2

?

y

 

?

?

?

?

?

?

37 b)  Représentation graphique .   ( voir chapitre ci dessus : 6° )Représentation graphique  d' une proportion )

Compléter la phrase :   La représentation graphique de l’application linéaire de coefficient « k » est ……………………………………………………….

37 c)  par quels points particuliers passe - t- elle ?  

38°)  Coefficient :

soit   l’application linéaire   f   telle que  f ( 2)  =  ( -13)

38 a)  calculer son  « k » :             …………………………..

38 b)  généraliser  : l’application linéaire   f   telle que  f(x)  =  k x

            à pour coefficient :?     

39°)  Exemple de représentations graphiques :

que peut -on dire des droites sur le dessin ?  , compléter les phrases.

39 a)  La représentation graphique d’une fonction linéaire est ………………

……………………………

 

 

39 b)  D1   ; D2 ; D3 ; D4   sont des ………………..

…………………………..

 

39 c)  ces droites sont les représentantes d’une fonction ……………….

 

39 d) Quel est le signe de « k » pour chaque ?

 

 

Ceci termine la phase de découverte du document « cours » , vous devez demander des précisions si les réponses ne vous ont pas paru « évidente ».

mal>