Pré requis:

Factoriser - développer
Les I .R .

INFO :

Index

Objectif précédent : 1°) Résoudre. Le premier degré 2°) L’équation produit : x²=0

Objectifs suivants: 1°) Cours résumé : 2°) Résolution d’exercices et de problèmes du second degré INFO : 1°) Suite cours « théorique » 2 °) La Fonction du second degré 3°) La forme canonique. 4°)Le Système d’équations du second degré.

Tableau : 1°)Vers la formation bac prof. 2°) Les équations du second degré (présentation) Série 1 d’exercices et problèmes résolus. « Interdisciplinarité ». Série « 2 » Exemples de problèmes résolus

DOSSIER : Résolution des équations du « second degré à une inconnue »  incomplètes et complètes.

1-	Définitions.
2	Equation incomplète du second degré
	I) Résolution des équations incomplètes du second degré.	Devoir n°1
3	Equation complète du second degré.
	A) équation complète à coefficients numériques.
	INFORMATION : du réel à l’imaginaire
	B) équation à coefficients littéraux , forme générale de résolution.
	C) Simplification de la formule dans le cas où le coefficient « b » est pair, ou plus exactement de la forme b + 2b
4)	Comment conduire la résolution d’une équation du 2^e degré.
5)	Exemples de résolution d’équations.
	Equation du second degré dans le cas où l’inconnue est une variable restreinte.
6)	Equation bicarrée.	(ici INFO plus )

Vocabulaire :

Attention le mot « racine » a deux significations :

1- La ou les « racine(s) » pour désigner «  la ou les solutions » de l’équation .

2- La racine qui désigne que l’on calcule la racine carrée du discriminant.

TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoirs évaluations : - Série 1 - Série 2	Interdisciplinarité Pb niveau 5 : Calcul d’aire : Electricité :	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
				Pb niveau 4 : Série 1 d’exercices et problèmes résolus. « Interdisciplinarité ». Série « 2 » Exemples de problèmes résolus

PS : on aborde dans ce cours la notion de « nombre imaginaire ».

( info plus sur les imaginaires et les complexes )

Travaux Pré requis :

En prenant x = - 1 ; 3 ; 1 ; 2 ; 0

Remplacer « x » par des valeurs données , calculer et dire quelles sont les valeurs qui vérifie chacune des égalités vraies.

x² - x = 0 ; pour quelles valeurs de « x » l’égalité est -elle vraie ?

x² - 2 x = 0 ; pour quelles valeurs de « x » l’égalité est -elle vraie ?

► Lorsque l’on trouve 0 = 0 on dit que les valeurs de « x » qui on permis de trouver par le calcul « 0 » sont les racines de l’équation.

►On dit que ces valeurs de « x » servent à résoudre l’équation donnée

COURS

1- Définitions :

Une équation à une inconnue est du second degré, quand ses deux membres étant entiers et ou rationnels, la plus haute puissance de « x » est la seconde.

Exemple : Soit l’équation

x ( x -2) + 3 x = ( x - 1 ) ( 2x + 5 )

Développons les deux membres

x² - 2 x + 3 x = 2 x² + 5x - 2 x - 5

x ² + x = 2 x² + 3 x - 5

Rassemblons tous les termes dans le 1^er membre et réduisons et ordonnons :

x ² + x - 2 x² - 3 x + 5 = 0 soit : - x² - 2x + 5 = 0

Le premier membre étant un polynôme du second degré en « x » , l’équation est un trinôme du second degré en « x » . Ainsi,

la forme générale d’une équation complète du second degré est :

a x ² + b x + c = 0

« x » est la variable et « a » , « b » et « c » désignant des nombres connus.

Dans l’exemple précédent a = -1 ; b = -2 ; c = + 5

Résoudre : résoudre une équation c’est rechercher la ou les valeurs de « x » qui vérifient que l’égalité donnée est « vraie ». En remplaçant « x » par les valeurs trouvées on doit avoir 0 = 0.

Les valeurs de « x » que l’on propose doivent vérifier l’égalité numérique. 0 = 0

Procédure pour « résoudre » :

Pour résoudre une équation du second degré on cherche tout d’abord à « réduire l’équation sous la forme d’un produit » ;c’est à dire passer d’une forme « développée » à une forme « factorisée ». La forme factorisée devient un produit de facteurs qui est égal à zéro .Pour trouver ces valeurs qui vont permettre d’annuler le produit on déclare que : « un produit de facteurs est égal à zéro si un des facteurs est égal à zéro » .

On pose chaque facteur égal à zéro, et l’on résout pour obtenir les valeurs numériques «  x₁ = …. » et « x₂ = …. »

Les solutions sont les valeurs trouvées pour x₁ et x₂ . On les appelle aussi « les racines de l’équation ».

Vérification : Chaque valeur numérique est remplacée dans l’équation de départ et doit vérifier que 0 = 0 .

En résumé : On appelle équation du second degré dans l’ensemble « R » toute équation de la forme :

ax² + b x + c = 0

Où « a » ¹ 0 où « a » ; « b » ; « c » sont des nombres réels donnés, appelés coefficients de l’équation et « x » un nombre réel inconnu (variable).

Exemples d’équations du second degré « incomplète »:			« complète »
Cas 1	Cas 2	Cas 3	Cas 4
5 x^2 = 0	x^2 – 4 = 0	3x^2 + 2x = 0	x^2 - 6x + 8 = 0
« L’équation produit »	Sos Cours	SOS cours	SOS cours

2- EQUATIONS INCOMPLETES DU SECOND DEGRE

L’équation est dite « incomplète » si l’un des coefficients est nul.

Comme « a » est essentiellement différent de zéro, l’équation est incomplète si « b = 0 » ou « c = 0 »

L’équation du second degré devient incomplète dans trois cas :

Cas	Exemples	Forme générale
1^er cas : c = 0	x² + 2x = 0	a x² + b x = 0
2^ème cas : b = 0	x² - 5 = 0	a x² + c = 0
3^ème cas : b = c = 0	3 x² = 0	a x² = 0

Nota : le coefficient « a » ne peut être nul sinon, l’équation de la forme b x + c = 0 ne serait plus du second degré.

I ) - RESOLUTION DES EQUATIONS INCOMPLETES DU SECOND DEGRE

1°) Forme a x² = 0

Exemple : 5 x² = 0

Le premier membre est immédiatement décomposable en un produit de facteurs du premier degré.

5 x  . x = 0

En égalant successivement à zéro chacun des deux facteurs « 5x » et « x » on trouve chaque fois «  x = 0 ». Cette réponse ayant été trouvée deux fois , il est naturel de dire que l’équation a deux solutions égales à zéro.

(Se souvenir « propriétés de la multiplication »que dans une multiplication si un des facteurs est nul le produit est nul )

2°) Forme a x² + b x = 0

Exemple : x² + 5 x = 0

« x » est le facteur commun au deux termes, mettons « x » en facteur commun ( factorisons)

nous obtenons un produit de facteurs, qui doit être égal à « 0 ». x ( x + 5 ) = 0 ;

on pourrait identifier les « x » en leur affectant un indice , on écrirait alors [ x₁ ( x₂ + 5 ) ]

Les deux facteurs du premier membre sont donc « x » et « x  -5)

L’équation a pour solutions les valeurs de « x » qui annulent chacun des deux facteurs du 1^er membre soit :

x₁ = 0 et x ₂+ 5 = 0

ce qui donne comme les deux solutions x₁ = 0 et x₂ = - 5

On résume : les solutions pour que x² + 5 x = 0 sont x = 0 et x = -5

3°) Forme a x² + c = 0 ; « b = 0 »

Exemple 1 x² - 4 = 0

On écrit x² = + 4 ; ( x₁ x₂ = 4 )

On en déduit que x =  ;

Commentaire :

« x » serait égal à « 2 » mais ; mais on se souvient que ( +2) ² = 4 et que (-2)² = 4 ; on devra conclure que

L’équation a pour solution x = + 2 ou x = - 2 on peut écrire x = ± 2 ou x = ±

Attention : -2 et +2 ne peuvent pas être solutions en même temps, en effet , -2 fois + 2 = - 4

Ou x₁ et x₂ ont pour valeur - 2  ; ou x₁ et x₂ ont pour valeur +2 

Exemple II : x² + 3 = 0

X² = -3 or , nous avons vu qu’il n’existe aucun nombre dont le carré soit négatif . Nous dirons donc qu’il y a impossibilité.

On interprète parfois ce résultat d’une autre façon. Le nombre imaginaire

Posant x = et , admettant toujours que ne représente aucune quantité réelle, c’est à dire calculable on qualifie d’ « imaginaire » cette racine carrée singulière d’un nombre négatif ; on dit alors que l’ équation admet deux solutions imaginaires : x = ou x =

INFORMATION : du réel à l’imaginaire

Au XVI e siècle, l’ Italien Cardan lève une interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu’un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l’ensemble des nombres complexes.

Deux siècles plus tard, suisse Euler utilise la lettre « i » en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë «  ».

Le nombre « i » est un nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut être un nombre réel !!!!

Depuis, la théorie des nombres complexes n’a cessé de progresser et de trouver des applications dans divers domaines tels que l’électricité, l’électronique ….

Remarque : la lettre « j » est souvent préférée à « i » afin d’éviter, lors de certaines applications en électricité toute confusion avec l’intensité du courant.

Pour plus d’information voir le cours sur « les nombres complexes ».

PARTIE N° 2

Remarque : Pour résoudre une équation du second degré on cherche à réduire l’équation c’est à dire passer d’une forme « développée » à une forme « factorisée ». Plusieurs méthodes peuvent être utilisées.

A - EQUATION COMPLETE A COEFFICIENTS NUMERIQUES.

Exemple 6 x² + 7 x + 1 = 0

Pour réduire cette équation, nous emploierons la « méthode des coefficients indéterminés » dont les applications sont innombrables.

Ayant remarqué, que l’équation du second degré se résout facilement lorsqu’elle ne contient pas de terme du premier degré, de la forme a x² + c = 0 , nous décidons de changer d’inconnue. Posant «  x = X + K », nous fixerons la valeur du coefficient « K » de façon à obtenir une équation du second degré en « X », ne contenant pas de terme du premier degré. La valeur de « K » étant déterminée et celle de « X » étant calculée nous en déduirons « x ».

( « X » lire « grand ixe ; « x » lire petit ixe)

soit : x = X + K	(1) 6 x² + 7 x + 1 = 0
remplaçons « x » par sa valeur	6 ( X + K ) ² + 7 ( X + K) + 1 = 0
Développons le premier membre	6 ( X ² + 2 X K + K ² )+ 7 X + 7K + 1 = 0 6 X ² + 12 X K + 6K ² + 7 X + 7K + 1 = 0
Mettons X en facteur commun	(2) 6 X² + X (12 K + 7) + 6 K² + 7 K + 1 = 0
Le terme du premier degré X (12K + 7) disparaîtra si le coefficient 12K + 7 est nul	Soit : 12 K + 7 = 0 12 K = -7 K =
Remplaçons « K » dans l’équation (2)	6 X² + X ( 12 × + 7) + 6 ()² + 7() +1= 0 6 X² + 0 + + + 1= 0 6 X² =
Calcul des valeurs de « X »	X² =  ; X =  ; X’ =  ; X ’’ =

Remplaçons X et K par leurs valeurs dons l’expression « x = X + K » il vient :

x ’ = =

x ‘’ = =

B - EQUATION COMPLETE A COEFFICIENTS LITTERAUX. ( première forme) FORMULE GENERALE DE RESOLUTION.

Si nous résolvons par la même méthode l’équation à coefficients littéraux a x² + b x + c = 0 , nous obtiendrons une formule applicable ensuite à n’importe quelle équation numérique, à la condition d’ y remplacer « a » , « b », « c » par leurs valeurs.

Posons x = X + K ;et reportons cette valeur dans l’équation a x² + b x + c = 0 (1)

Soit « x » = « X + K »	Remplaçons : a (X + K)² + b (X+K) + c = 0
Développons le premier membre	a (X² + 2XK+ K²) + b X +b K + c = 0
	a X² + 2aXK+ aK² + b X +b K + c = 0
Mettons le terme en X en facteur commun	a X² + X (2aK+ b )+ aK² +b K + c = 0 (2)
Déterminons K par la condition que le terme en X soit nul	2aK + b = 0 d’ où k =
Remplaçons « K » par sa valeur dans l’équation ( 2)	a X² + - + c = 0
	a X² + = 0
	a X² = 0
	a X² =
On cherche : « grand ixe » = ……..	X² =
	X = ou X =
Puisque K = et X = On détermine x = K + X	x =
Soit « petit ixe » =	x =

Recherche des solutions permettant de résoudre les équations  : suivant les valeurs dans l’équation de « a » , « b », « c » /

Trois cas peuvent alors se présenter

Info traduction et lecture : x’ lire «  ixe prime » ; x ‘‘ lire « ixe seconde »

Ces trois cas sont :

1^er cas : b² - 4 ac > 0

«x » a deux valeurs distinctes  ( que l’on nome « x prime » et « x seconde »)

2^e cas : b² - 4ac = 0

« x » a deux valeurs égales

x’ = x ‘’ =

3^e cas : b² - 4 ac < 0

« x » n’a aucune valeur calculable.

Info : l’expression b² - 4ac est appelée « discriminant », on la représente par le symbole : ” (delta)

En résumé :

L’équation a x² +b x + c = 0 a deux solutions distinctes , confondues ou n’a pas de solution calculable suivant que le discriminant est supérieur, égal ou inférieur à « 0 »

Simplification de la formule dans le cas ou le coefficient « b » est pair ou plus exactement de la forme « b = 2 b’ »

Remplaçons « b » par « 2b’ » dans la formule : x =

Ainsi : x = =

x =

Soit en divisant les termes par « 2 » : x =

Cette formule est appelée « formule réduite », l’expression « b’²-4ac » est le discriminant réduit qu’on représente par ”’.

Remarque :

Lorsque « a » et « c » sont des signes contraires, « 4ac » est négatif , « -4ac » est positif : l’équation a deux solutions distinctes.

Donc si « a » et « c » sont de signes contraires l’équation a deux solutions distinctes mais cette condition suffisante n’est pas nécessaire, « a » et « c » peuvent être de même signe et l’équation avoir deux solutions distinctes.

Exemple : x² + 6 x - 112 = 0

Le coefficient « b » étant pair , nous utiliserons la formule réduite.

Identifions les coefficients : a = +1 ; b = +6 ; c = - 112

Calcul du discriminant : b’ ² - ac = 9 + 112 = 121

Commentaire : Le discriminant étant positif , l’ équation a deux solutions distinctes :

Recherche des racines (solutions):

Racine carrée du discriminant : = 11

Les racines ( solutions) de l’équation sont : x ’ = - 3 + 11 = 8 ; x ‘’ = - 3 - 11 = - 14

3) Comment conduire la résolution d’une équation du 2^e degré.

- Il faut d’abord savoir reconnaître et résoudre les équations incomplètes.

- Il est conseiller de bien connaître les formes développées dans les identités remarquables.

Autrement :

1) mettre l’équation sous la forme a x² + b x + c = 0

2) identifier les coefficients « a » , « b »,  « c » avec leurs signes.

3) calculer le discriminant ” = b² - 4 ac ( ou ”’ = b’ - ac)

Commentaire : Si ce nombre était négatif le calcul serait terminé , il n’y aurait pas de solution.

L’élève qui débute commet souvent une erreur de signe dans le calcul du discriminant. Pour l’éviter il suffit d’utiliser le moyen mnémotechnique suivant : on met « automatiquement » après la quantité « b² » le signe - ou +, suivant que « a » et « c » sont de même signe ou de signes contraires.

4) calculer la racine carrée de ou ( )

5) Appliquer les formules :

x ’ = et x ‘’ =

ou

x ’ = et x ‘’ =

EXEMPLES DE RESOLUTION D’ EQUATIONS
Cliquer ici pour voir des exemples	%º%º

Pour INFO :

4°) L’ EQUATION BICARREE

On appelle «  équation  bicarrée » une équation du quatrième degré, ne renfermant que des puissances paires de l’inconnue.

Une telle équation peut toujours être « ramenée » à la forme :

(1) a x⁴ + b x² + c = 0

On résout facilement l’équation bicarrée par un changement d’inconnue :

Nous posons : x² = y d’ où x =

L’équation (1) devient :

(2) a y² + b y + c = 0 qui est une équation de second degré en « y »

Dans le cas général , l’ équation (2) donne deux valeurs pour « y »

y =

Soit quatre valeurs pour « x » :

y =

Exemple 1 : x ⁴ - 25 x² + 144 = 0 (1)

d’ où x² = y ; x =

L’équation (1) devient : y ² + 25 y + 144 = 0

Elle admet pour solutions : y’ = + 16 ; y ‘ = + 9

D’ où x₁ = + = +4 ; x₂ = - = - 4 ; x ₃ = + = + 3 ; x ₄ = - = - 3 

Conclusion : l’équation proposée admet quatre solutions.

Exemple 2 : x ⁴ - 12 x² - 64 = 0 (1)

d’ où x² = y ; x =

L’équation (1) devient : y ² - 12 y + 64 = 0

Elle admet pour solutions : y’ = + 16 ; y ‘ = - 4

D’ où x₁ = + = +4 ; x₂ = - = - 4 ;

Et :

x 3 = + x 4 = +

Ces solutions ne sont pas calculables

L’équation proposée n’admet que deux solutions calculables.

Application : ( pour celui qui veut se faire plaisir !!!)

Soit l’équation : ( 1 - x² ) L²É⁴ - 2 ɲ + = 0

Dans laquelle É , L , C , x sont des grandeurs essentiellement positives ; É est l’inconnue, L, C sont connues , « x » est un paramètre.

Posons ɲ = y ; É =

L’équation proposée devient : ( 1 - x² ) L² y ² - 2 y + = 0

Multiplions par C² : ( 1 - x² ) L² C² y ² - 2 L C y + 1 = 0

Identifions les coefficients :

a = (1 - x²) L² C² ; b = - 2 L C ; b’ = LC ; c = + 1

Calcul de ” ‘ : L² C² - ( 1 - x²) L²C² = L²C² - L²C² + L²C²x²

” ‘ = L²C²x²

Calcul de = L C x

y ‘ =

Commentaire : Cette valeur est positive si x < 1

y ‘‘ =

É’ = et É’’ =

Commentaire : Si x > 1 seule la valeur de É’’ est positive.

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

INTERDISCIPLINARITE:

Calcul d’aire :

Electricité :

CONTROLE :

Que signifie « résoudre » ?

Donner la procédure qui permet de résoudre une équation du second degré de la forme :

ax² = 0

ax² + c = 0

cas : c > 0

cas : c < 0

ax² + b x= 0

ax² + bx + c = 0

EVALUATION:

Résoudre les équations suivantes

1.	4 x² - 1 = 0
2.	3x²-5x = 0
3.	( 5x -3) (3 - 2x) =0
4.	= 0

Résoudre les équations suivantes, sans appliquer la formule, en utilisant la méthode des coefficients indéterminés.

5.	x² -3x - 10 = 0
6.	x² -7x +2 = 0
7.	x² -x - 12 = 0
8.	x² -16x - 64 = 0

Résoudre les équations suivantes en appliquant la formule.

9.	8x² - 44x +13 = 0
10.	13 x² -33 x +60 = 0
11.	12x² + x - 1 = 0
12.	10x² -23x +12 = 0
13.	28x² -41x + 15 = 0
14.	x² -50x + 625 = 0
15.	x² +24 x + 144 = 0
16.	= 0
17.	=0

18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

Autres

26.	É ² + 2 - 4 = 0	É est l’inconnue
27.	É ² + m = 0	É est l’inconnue
28.	L² É ² - - R² = 0	É est l’inconnue
29.	x² - 2 b x+ b² - a² = 0
30.
31.
32.

Résoudre les équations bicarrées :

33.	x^4 - 12 x² = 25
34.	3 x^4 - 13 x² + 4 = 0
35.	x^4+ 2 x² - 24 = 0
36.	x^4 - 8 x² - 9 = 0

Résoudre les équations irrationnelles :

37.
38.
39.
40.	x -
41.