Pré requis:
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ENVIRONNEMENT du dossier:
DOSSIER : LE
SECOND DEGRE .
(Suite) Résoudre des problèmes du second degré Et «série 1 : des applications »
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Chapitres :
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2°)
Résolution des problèmes du second degré.
(définition et procédure) |
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3°)
exemples de Problèmes résolus |
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TEST |
COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité : Série 1
d’exercices et problèmes résolus.
« Interdisciplinarité ». |
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Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
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Info COURS
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1°) LES EQUATIONS DU
SECOND DEGRE (définitions) |
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On
appelle « équation du second degré
à une inconnue « x » » une équation telle que , tous les termes ayant été transposés dans le
premier membre et les termes
semblables ayant été réduits , le premier membre est un polynôme du second degré en »x ». On
dira, donc qu’une équation du second
degré est une équation dans laquelle le plus fort exposant de l’inconnue est
« 2 ». Il
existe de sorte d’équations : les complètes et les incomplètes. Equation complète : on appelle « équation complète » l’équation du
deuxième degré qui présente des termes en « x² », des termes en
« x » et au moins un terme connu. Exemple : 4 x² - 7 = 49 + x Qui
se ramène à la forme :
a x² + b x + c = 0 (
4x² -41 - x = 0 ) Equation incomplète : on appelle « équation incomplète » l’équation du
deuxième degré qui ne présente avec des termes en « x² » , que des termes en « x », ou des termes de
valeur connue. L’équation
incomplète du deuxième degré peut se présenter sous deux formes.
Cette dernière écriture « a x² + b x = 0 » peut s’écrire en divisant par « x » : a x + b = 0 et on a
ainsi affaire à une équation du 1er degré ( 1
seule réponse) Exemples
d’équations : x² = 9 3 x² = 27 3 + 5 x2 - x
= 0 - mx2 – px + 3 x2 –4 = 0 m – nx2 + 2px – m2 – p4
= 0 On a l’habitude d’ordonner le premier membre de l’équation
suivant les puissances décroissantes
de « x » ; en réunissant en un seul tous les termes qui
renferment « x » au même degré. Les équations précédentes
s’écriront ainsi : 5 x2
- x + 3 = 0 - x2 + (m + 3 ) x2 –
px –4 = 0 – nx2 + 2px + ( m
– m2 – p4 ) = 0 Une équation du second degré a donc trois termes ; son premier
membre est un trinôme du second degré. Le premier terme est le terme en « x2 » (lire : en ixe
deux ) , le second le terme en
« x » ; le dernier terme est le terme indépendant de
« x » ou « terme constant » . Exemple : dans
l’équation (m + 3) x2 – (2 – n + p ) x + m – n = 0 ce qui nous donne la somme algébrique :
[(m + 3 ) x2 ] + [– ( 2 – n + p )x ] + [+ m – n] = 0 Le premier terme est (m
+ 3 ) x2 ;
le second terme est – ( 2 – n + p )x ; le dernier terme est +
m – n Dans l’équation : - 3x – 1 + x2 = 0 Le premier terme est + x 2 , le second –3x et le
dernier –1 ; car
cette équation ordonnée s’écrirait : +
x2 - 3x – 1 = 0 Dans l’équation : + x2 – 1 = 0 Le premier terme est x2 ; le second terme n’existe pas ; le dernier terme est -1 |
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2°) Résolution des problèmes
du second degré.(définition et procédure) |
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A) Définition : On dit qu’un problème est un problème du « second degré » de
lorsque sa résolution peut être
obtenue par la résolution d’équations du second degré à une inconnue,
précédée ou suivie de la résolution de
systèmes d’équations du « premier degré ». Dans ce qui suit , nous ne considérons ici
que des problèmes pour lesquels il suffira de résoudre « une
seule » équation du second degré à une inconnue et , le plus
souvent même, il n’y aura pas de système auxiliaire du premier degré. A propos de cette définition, (@ ) on pourrait répéter les remarques qui
ont été faites des problèmes du premier degré. Procédure : il faut faire dans l’ordre 1°) choix de l’inconnue ; 2°) mise en équation ; 3°)
résolution de l’équation ; 4°)Discussion. Nous nous intéresserons à la mise en équation, résolution (@) de l’équation et discussion : Au sujet de la mise en équation, tout à déjà
été dit pour les problèmes du premier degré ; mais quelques remarques
nouvelles doivent être faite pour la discussion ; Trois circonstances, en effet, se présentent pour le
second degré, qui ne se présenteront
jamais pour le premier degré. 1°) Il peut ne pas y avoir de racines. 2°) Il y a fréquemment
« deux racines » ; l’une peut convenir au problème et non
pas l’autre ; il peut arriver que ces deux racines donnent deux
solutions différentes du problème et il peut arriver aussi que ces racines,
quoique différentes, conduisent à la même solution du problème. (voir les
problèmes 1 ;2 ;3) 3°) Enfin, il peut y avoir une racine double (voir le problème
4) quelle grande importance peut avoir cette circonstance dans la discussion. Remarque : Dans la discussion des problèmes du premier degré, il pouvait arriver
que la solution disparaisse en devenant « infinie » ; c’est ce
qui se produit lorsque, dans l’équation : « a x + b = 0 » Le coefficient « a » devient nul. De même, si dans
l’équation du second degré : « a x² + b x + c = 0 » Le coefficient « a » devient nul sans que « b » le
soit, l’équation « s’abaisse » au premier degré et n’admet plus que
la racine Très souvent, surtout dans les problèmes de géométrie, la discussion
de l’équation du second degré comprend trois parties : 1°) Etude des conditions d’existence des racines ou « conditions
de réalité ».(Quelles relations doivent
présenter les données littérales pour que le réalisant ne soit pas
négatif ?) 2°)Etude des conditions de signes des
racines : il peut être nécessaire que la grandeur cherchée soit
positive ; elle peut, au contraire, dans certains cas, être portée dans
deux directions et la valeur négative être acceptable ; l’examen du
produit des racines et de leur somme permettra de traiter cette partie de la
discussion. 3°) Etude des conditions de signes de
grandeur : l’inconnue dans certains problèmes doit être
inférieure ou supérieure à des grandeurs données : par exemple, la
flèche d’une corde étant l’inconnue, la racine obtenue ne devra pas être
supérieure au diamètre du cercle,etc. ; la
comparaison « a priori » d’un nombre aux racines d’une équation
permettra de résoudre cette dernière question. Nous n’indiquons pas les conditions particulières à chaque problème
(condition pour un chiffre d’être entier et inférieur à 10, condition pour un
salaire d’être positif, etc.)Il conviendra de les rechercher avec soin au
début de la discussion. |
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A)
Equation incomplète : Série 1 : 1) Carré (@): S = c² ; S = aire, c = côté Problème : calculer le côté d’un carré de c² = 225 ,
d’où c = ± c = la solution négative ne convient pas au problème. Série 2 1)
Problème d’arithmétique : Si du carré d’un nombre, on retire 24 unités , on obtient 120 unités. Calculer ce nombre. Solution : 1°) Soit « x » le nombre demandé 2°) mise en équation :* x² - 24 = 120 3°)résolution de l’équation : x²
= 120 + 24 x² =
124 x = 4°) On voit qu’on obtient deux réponses : une positive te une
négative. c’est qu’en effet, le carré de
-12 est 144 , et le carré de +12 est aussi 144. Remarque : dans ce problème, les deux réponses s’admette. D’autres
problèmes n’admettent que la solution positive. Problème 2 ( de géométrie) :
Un champ rectangulaire a pour surface Solution : On posera l’équation de la surface d’un rectangle. Soit
« x » la largeur , on aura comme longueur
« 3x » , et l’on écrira : 3x × x = 4 800 3 x²
= 4 800 x ²
= x
= x
= ± 40 Dans ce cas : la réponse positive est seule admissible. B)
EQUATION COMPLETE Problème n°3 : Un rectangle a des côtés égaux
respectivement à Si l’on désigne par « x » la longueur cherchée, exprimée en
mètres, les côtés deviendront respectivement
« 4 + x » et « 7 -x » ; si « x »
est positif , on aura augmenté le côté égal primitivement à « 4 »
et diminué l’autre ; si « x » est négatif , ce sera le
contraire , mais en tout cas les conditions de l’énoncé sont satisfaite.
L’aire de la surface d’un rectangle exprimée en mètres carrés est égale au
produit des côtés exprimés en mètres ; on doit donc avoir : ( 4 + x ) ( 7 - x ) = 24 c’est à dire x ² - 3 x - 4 = 0 d’où l’on tire : x
= On a deux racines x
‘ =
x’’ = Commentaire : la première donne pour côtés « 4 + 4 » et
« 7 - 4 » c’est à dire
« 8 » et « 3 ». On a donc deux solutions du
problème proposé , mais ces solutions conduisent à
deux rectangles égaux, dont les côtés sont simplement permutés. Cela tient à
ce que le problème proposé revient à ceci : puisque l’on diminue l’un
des côtés , et qu’on augmente l’autre de la
même longueur , leur somme reste
constante et égale à « 11 »,il s’agit donc de trouver un rectangle
connaissant la surface et la moitié du périmètre ; nous allons résoudre
ce problème et voir qu’l y a un seul rectangle répondant à la question. Problème 4 : Quels sont les côtés d’un rectangle
dont on connaît l’aire « 30
mètres carrés » et le périmètre
« 22 m. » Désignons par « x’ »
et « x’’ » ses côtés, exprimés en mètres, le périmètre est
« 2 x’+ 2 x’’ » et l’aire « x’ x’’ » ; on a donc : 2x’ + 2x’’ = 22
soit x’ + x’’ = 11 et x’ x’’ = 30 il s’agit donc de trouver deux nombres
« x’ » et « x’’ » connaissant leur somme et leur
produit. Pour cela, nous remarquerons que nous connaissons les coefficients
de l’équation du second degré qui admet pour racines « x’ » et
« x’’ » ; cette équation est : x²
- ( x’ + x’’) + 30 = 0 Nous pouvons la résoudre, ce qui donne : X = Les deux racines sont « 5 » et « 6 » ; on
peut donc prendre, ou bien : x’
= 5 et
x ‘’ = 6 ou bien :
x’ = 6 et x ‘’ = 5 Conclusion : On a deux solutions, mais à ces deux solutions
correspondent deux rectangles égaux ; leurs côtés seuls sont
intervertis. Problème 5 : Trouver deux nombres dont la différence soit « 3 » et le
produit « 40 ». Nous allons ramener le problème au précédent ; dans ce but, nous
remarquerons que la différence de deux nombres est égale à la somme du
premier et d’un nombre opposé au second ; nous sommes ainsi conduits à
désigner le premier nombre par « x’ » et le second par
« -x’’ » ; leur différence est alors « x’ + x’’ » et
leur produit est « - x ’x’’ » ; on a ainsi les deux
équations : x’ + x’’ = 3 x’ x’’ = - 40 Donc « x’ » et
« x’’ » sont les racines de l’équation : x² - 3 x - 40 = 0 D’où l’on tire : x = les deux racines sont « 8 » et « -5 » ; on
peut prendre :
x’ = 8 et x’’ = -5 donc les deux nombres « x’ » et « -x’’ » sont
« 8 » et « 5 » On peut prendre aussi : x’ = - 5
et x’’ = + 8 Donc les deux nombres « x ‘»
et « -x’’ » sont -5
et - 8 On a ainsi deux solutions à la question posée. |
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INTERDISCIPLINARITE : |
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Problème 1 : Un brocanteur achète une caisse contenant un lot
« soldé » de vases en verre blanc pour 360 € , 3 sont cassés et
vend les autres 5 euros de plus par vase qu’ils ne lui ont coûté. Il gagne
ainsi 15 euros sur son marché ; combien chaque vase lui avait-il coûté ? Solution : soit « x » le nombre de vases ; chaque
vase lui coûte Et ainsi il gagne 15 euros , il doit
donc toucher 360 + 15 ou 375 € . On a enfin : ( x - 3) ( Soit 5x² - 30x - 1080 = 0
ou x² - 6x - 216 = 0 Les racines sont « 18 » et «-12 » ; le nombre
« 18 » répond seul à l’énoncé proposé ;le
nombre « -12 » satisfait à un énoncé modifié. Problème 2 : Deux ville « A » et
« B » sont situées sur un fleuve ;« A »
à 1°) choix de l’inconnue : soit « x » la vitesse propre
du bateau. 2°) Mise en équation : Admettant que la vitesse réelle du bateau
est égale à sa vitesse propre , augmentée ou
diminuée de la vitesse du courant suivant qu’il le descend (trajet BA)
ou qu’il remonte ( trajet AB) nous exprimerons algébriquement
l’égalité : Durée du trajet AB - durée du trajet BA = 1 h
3°) Résolution de l’équation :
Supposant x¹
4 et
x ¹ -4
Multiplions tous les termes par le p.p.d.c.
qui est : 5 ( x+ 4) - 42 ( x -4) = 5 ( x² - 16) il vient : 210 ( x - 4) - 210
( x- 4 ) = 6 ( x² - 16 ) soit 210 ( x + 4 - x + 4
) = 6 x² - 96 1 680 = 6 x² - 96 6 x² = 1 680 + 96 = 1 776 x²
= x
= ± 4°) Discussion : seule la réponse positive convient :la vitesse propre du bateau est de Problème 3 : Une amicale d’anciens élèves organise une excursion en autocars. Le
prix global de l’excursion s’élève à 1200 €. Le nombre des participants étant
supérieur de « 4 »au nombre
prévu chacun peut ainsi payer 10 € en moins. Quel était primitivement le nombre d’excursionnistes ? Solution : 1°) Choix de l’inconnue : soit « x » le nombre
d’excursionnistes. 2°)Mise en équation : Nous exprimerons algébriquement l’égalité : « part de chaque
excursionniste ans le 1er cas » = « part de chaque
excursionniste dans le second cas + 10 € » soit
3°) Résolution de l’équation : Supposant x ¹ 0 et
x ¹ - 4 multiplions tous les termes par
le p.p.d.c.: « x ( x+4) »
1200
x + 4800 = 1200x + 10 x² + 40 x 10 x² + 40 x - 4800 = 0 Soit en simplifiant :
x² + 4 x - 480 = 0 « a » = +1 ; « b » =
+ 4 ; « b’ » = +2 ; « c » = - 480 ” = 4 + 480 = 484
« x’ »
= -2 + 22 = +
20 « x ’’ »
= - 2 - 22 =
- 24 4°)
discussion : la solution positive convient seule. Le nombre des
excursionnistes primitivement prévu était de « 20 ». Problème 4 : Un ascenseur monte dans une cage
d’escalier à la vitesse constante de Quand il a parcouru Voir dessin niveau « 0 » départ de l’ascenseur vers le haut,la pierre est au niveau
(+20) ;quand l’ascenseur est au niveau (+10), la pierre est lachée. Solution : En premier lieu nous
remarquerons que le mouvement de la
pierre étant uniformément accéléré ( @ ) , son équation
est : e = Le mouvement de l’ascenseur étant uniforme, son équation est : e = v t avec
« e » l’espace parcouru ; « v » la
vitesse ; t la durée du parcours. 1°) Choix de l’inconnue : soit « t » la durée de la
chute de la pierre exprimée en secondes. 2°) Mise en équation : Nous exprimerons algébriquement l’égalité : « Chemin parcouru par l’ascenseur + chemin parcouru par la pierre
= 20 m » 10 + 2t + 3°) résolution de l’équation : 10 + 2t + « a » = + 4,9 ; « b » = +2 ;
« b’ » = +1 ; « c » = - 10
” = 1 + 49 = 50
t’ =
t’’ = La distance du point de rencontre au haut de la cage s’obtient en
remplaçant dans la formule « e = 4,9 t² » ,
« t » par sa valeur « 1,25 ». On trouve « e # Problème
5 : Un détaillant en électroménager ayant commandé des lampes de
bureau pour une somme de 4375 € constate une erreur à la livraison. Le
fabriquant lui a expédié des lampes valant 3,75 € de moins par unité mais
leur nombre est supérieur de 15 au nombre de lampes commandées. Le détaillant
conserve la livraison pour le prix convenu. On demande quel était le nombre
de lampes commandées et le prix d’une lampe.
Solution : 1°) Choix des inconnues : soit
« x » le nombre de lampes commandées et « y » le prix
d’une lampe. 2°)
Mise en équations : nous exprimons
algébriquement les égalités : (1)
le prix total des lampes dans le 1er
cas est 4375 € (2)
le prix total des lampes dans le 2e cas
est 4375 € d’où le système 3°) Résolution du système Dans l’équation (2) effectuons les parenthèses et réduisons x y -
3,75 x + 15 y - 56,25 = 4375 x y -
3,75 + 15 y = 4 431,25 (2) de l’équation (1) tirons la valeur de « y » : y = Remplaçons « y » par son valeur dans l’équation (2) x × Soit - 56,25 - 3,75 x + 15 × « x » n’étant pas nul multiplions tous les termes par « x » - 56,25 x - 3,75 x² +
65 625 = 0 ou 3,75 x² + 56,25 x - 65 625 = 0 « a »
= + 3,75 ; « b » = + 56,25 ; « c » = - 65625 ” = 3164,0625 + 984375 = 987539,0625
x’ = x’
= 4°) Discussion :
la réponse positive x’ = 125 convient seule. Reportons cette valeur dans l’égalité « y = Le nombre des
lampes de poche commandées était de 125 et leur prix unitaire de 35 €. |
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TRAVAUX AUTO FORMATIFS
1° ) Combien de termes composent
une équation du second degré (
équation complète ) ?
2 °) Comment nomme –t-on son premier membre ?
3°)
Dans le premier membre comment nomme –t-on :
Le premier terme ?
Le second terme ?
Le dernier terme ?
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Identifier les membres et nommer les termes : |
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1°) Dans
l’équation : - 3x – 1 + x2
= 0 |
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2°)Dans l’équation : + x2 – 1 = 0
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3°) ( m + 3 ) x2
– ( 2 – n + p )x + m – n = 0 |
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