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Auteur :
WARME R.
TRAVAUX ETUDE 1 corrigé du cours. Rechercher dans le cours
les informations.
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Titre |
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N°8 |
LES
TABLEAUX NUMERIQUES, le REPERAGE sur
une droite et dans un plan
. |
corrigé de l ‘ ETUDE 1 DU COURS
ETUDE 1 « tableau »
Info :
Le
tableau numérique est utilisé en statistique ( exemple rangement
et classement de données) , en économie (exemple : facture), et dans les études de fonction
« mathématique ».
Dans
l’étude des fonctions : on rencontrera le tableau numérique
et le tableau dit de « variation » .
Ces tableaux sont à remplir
, ou a compléter . Les valeurs
« contenues » vont permettre d’ identifier ou
placer des « points » dans un repère . (
voir le chapitre « 3 » de cette leçon.)
Dans
l’étude graphique d’une fonction : on reportera dans le tableau des
informations numériques (généralement
des coordonnées) qui sont
« caractéristiques ». ( voir le chapitre
« 3 » de cette leçon.)
Un
tableau numérique , à double entrées , en particulier ; retiendra notre attention lors de l’étude de
la fonction linéaire ; on l’appelle : tableau « de
proportionnalité »
Compléter
la phrase :
Dans un
tableau numérique à simple entrée , une information est obtenue par la lecture d’une colonne ou d’une ligne .
+Activité
n°1
On donne la répartition
des 204
élèves d’ un collège est :
58 en 3ème ;
74 en 5ème ; 59 en 4ème ; 65 en
6ème ; 18ème en classe pré professionnelle .
On demande de mettre ces
données dans un tableau à lecture
en ligne , puis à lecture en colonne .
Nota : les classes sont aussi appelées
« secteurs » .
Compléter
le tableau :
On peut reporter ces données
dans un tableau pour une lecture en colonne :
|
Nom des classes . (secteurs) |
Pré -
professionnelle |
En 6ème |
En 5ème |
En 4ème |
En 3ème |
|
Effectifs |
18 |
65 |
74 |
59 |
58 |
Tableau 2 : le compléter
avec les données ci dessus.
On peut reporter ces données dans un
tableau pour une lecture en ligne :
|
Nom des
classes : ( secteurs) |
Effectifs |
|
Pré - professionnelle |
18 |
|
En 6ème |
65 |
|
En 5ème |
74 |
|
En 4ème |
59 |
|
En 3ème |
58 |
Compléter la
phrase :
Dans ce
tableau à simple entrée, l’effectif d’un « secteur » apparaît dans
une colonne , au droit de la désignation, du secteur .
Tableaux 3 et 4
Autre exemple :
|
Corps
pur |
Fer |
Cuivre |
Argent |
Zinc |
Plomb |
Etain |
Eau |
Alcool |
|
Température de fusion ( °C) |
1535 |
1083 |
960 |
420 |
327 |
232 |
0 |
- 139 |
|
Température d’ébullition ( °C°) |
2750 |
2336 |
2000 |
907 |
1740 |
2270 |
100 |
79 |
Dire si le tableau ci dessus est un tableau est à
simple entrée ? à
double entrées ? un
double tableau à simple entrée ?
R : un double tableau à simple entrée
Quelle la température de fusion du cuivre
? ………………420 °…………….. ;
Quelle est la température d’ébullition du plomb ? ……………2336°………..
Dans la liste proposée quel est le corps pur qui a la
plus grande température de fusion ?........ fer ....
Dans la liste proposée quel est le corps pur qui a la
plus petit température d ‘ébullition ?......alcool .......
|
i9 |
I.2. Tableau
à double entrées |
Tableau 5
Dans le collège , les élèves
garçons et filles se répartissent de la
façon suivante . :
|
|
Filles |
Garçons |
Total |
|
Classe
pré professionnelle |
6 |
12 |
18 |
|
6ème |
36 |
29 |
65 |
|
5ème |
39 |
35 |
74 |
|
4ème |
35 |
24 |
59 |
|
3ème |
30 |
28 |
58 |
Exploitation du tableau 5 :
A quelle catégorie appartient l’effectif « 36 » ? à l’effectif des filles en 5ème
A quelle catégorie appartient l’effectif « 12 » ? il y a 12 garçons en classe pré – professionnelle.
A quelle catégorie appartient l’effectif « 28 » ? il y a 28 garçons en
classe de 3ème .
Tableau 6
Les distances pour s’arrêter sont fonctions de la
vitesse ! ! ! !
Un véhicule
parcours 20 m pour s’arrêter ,s’il roulait
à une vitesse de 20 km/h ;
Un véhicule
parcours 40 m pour s’arrêter ,s’il roulait
à une vitesse de 40 km/h ;
Un véhicule
parcours 80 m pour s’arrêter ,s’il roulait
à une vitesse de 60 km/h ;
Un véhicule
parcours 140 m pour s’arrêter ,s’il roulait
à une vitesse de 80 km/h ;
…………
Un véhicule
parcours 220 m pour s’arrêter ,s’il roulait
à une vitesse de 100 km/h ;
…………
Un véhicule
parcours 320 m pour s’arrêter ,s’il roulait
à une vitesse de 120 km/h ; …………
Construire le tableau
Ce qui
permet de construire le tableau :
|
Vitesse
en Km/h |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
Distance
(m) |
20 |
40 |
80 |
140 |
220 |
320 |
Q :
Traduire ce qui peut être lu dans la 5ème colonne : à 100 km /H il faut 220 m pour s’arréter.
Tableau 7
Un libraire solde des cahiers en les
vendant par lots de « 3 ».Un lot de « 3 » cahiers est
vendu 5 €.
Compléter le
tableau .
|
Nombre
de lots |
1 |
4 |
6 |
7 |
10 |
|
Prix ( en €) |
5 |
20 |
30 |
35 |
50 |
Q : Comment obtient -on une information
dans un tableau à double entrée ? Dans un tableau numérique à double
entrées , une information est obtenue à l’intersection
d’une ligne et d’une colonne .
Tableau 8
1°) Soit l’extrait d’un relevé de
compte : (
en € )
|
Date |
Valeur |
Nature des opérations |
Débit - |
Crédit + |
|
Ancien solde au 28/04 /200.. |
|
8 411,38 |
||
|
01/04 |
30/ 03 |
Facture CB du 28/03/ |
29,58 |
|
|
01/04 |
01 / 04 |
Retrait guichet |
259,16 |
|
|
04/04 |
03/04 |
Paiement av. prélèvement .Trésor
public 80 impôt |
137,36 |
|
|
10/04 |
09/04 |
EDF Prélèvement pays de l’A |
15,23 |
|
|
13/04 |
12/04 |
Virement faveur du compte . |
|
259,16 |
|
21/ 04 |
08/04 |
Votre chèque n°………. |
14,94 |
|
|
21/04 |
19/04 |
Facture CB du 19/04 |
335,39 |
|
|
28/04 |
29/04 |
Virement TPG Somme Paye |
|
1 884,86 |
|
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|
|||
Questions :
1°) Mettre le signe plus ou moins devant chaque
opération ( débit
= - , crédit = +)
_ 8411,38 ; _ 29, 58 ; _ 259,16 ; _ 137,36 ; _
15,23 ; _ 259,16 ; _ 14,94 ; _ 335,39 ; _ 1884 , 86 .
2°)Calculer
le montant total des débits .
3°) Calculer le montant total des crédits .
4°)Calculer
le montant du nouveau solde avant virement
du salaire au 29 / 04
( Ce
travail faisant suite au cours sur
les nombres relatifs )
|
II. REPERAGE sur un axe |
Cd : Info plus ! ! |
ETUDE 1 « axe »
Donner la définition d’un axe :
Un axe est une droite
orientée munie d’un repère
De quoi est -
il muni ? précisez Un axe est une droite orientée
munie d’un repère ( O, I ) ; O est l’origine du repère , et I est
le point d’abscisse 1 .
Comment construit
- on une graduation ?
La graduation se
construit soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les
négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..
Exercice 1 : qu’elle est
l’abscisse du point M ? . Ici le point M à pour abscisse (
+ 2,5)
A chaque point M de l’axe
correspond un et un seul nombre
relatif noté xM . Ce nombre est l’ abscisse de M .
Exercice 2
On donne les coordonnée des
points M ( 0,5)
; N ( -2) et P ( 2,25) , On demande de les placer sur la droite graduée :
|
|
Solution :
|
|
+ Exercice 3
On donne
des points sur une droite A , B , C et un
segment unitaire (O,I);
Graduer la droite et donner les
abscisses de ces points.
|
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|
Solution : On numérote les
graduations ; et l'on relève les valeurs :A (+1,5) ; B
( -1) ; C (+3)
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+ Exercice 4 : Recherche de l’origine d’un
repère connaissant la position de deux points
Enoncé du problème :
Soient 2 points A et B .
On donne leurs abscisses :
on appelle : x
A ( = +1,5 )
l’abscisse du point A et on
appelle x
B ( = - 5,5 )
l’abscisse du point B
Noter sur l’axe, , après avoir fait le calcul
nécessaire , la position de l’origine O
de la graduation.
|
|
Donner la procédure de
calcul :
1°) Il
faut rechercher par le calcul le nombre de
graduations qui sépare les deux points.
en
faisant Nombre de graduations = x A - x B
( on remplace) soit
= ( +1,5 ) - ( -5,5)
(on transforme )
= ( +1,5 ) + ( +5,5)
= ( + ( 1,5 + 5,5))
= ( +
7)
Il y a 7
graduations qui séparent les deux points A et B
2°) On mesure la longueur qui sépare les deux
points : 7 cm
3°) On divise la longueur du segment de droite ( 7 cm ) qui sépare ces deux points A
et B par le nombre de graduation ( 7 ) ,
on connaîtra la longueur d’un segment
unitaire ( u ) :
7 : 7 = 1 cm
4°) La longueur d’une
graduation est de 1 cm .
5°) Conclusion :
Le point
0 se trouve à 1,5 cm à gauche du point A
ou à 5,5 cm à droite du point B
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III. REPERAGE
DANS UN PLAN. |
Cd :Info
N°1plus ! ;Cd : Info
N°2 plus ! |
ETUDE 1 « plan »
Compléter
les phrases suivantes :
1.
Pour repérer un point sur une ligne il faut connaître 1 valeur ( ou 1 dimension). :
« x »
2.
Pour repérer un point dans un plan il faut connaître 2 valeurs ( ou 2 dimensions). : « x ; y »
3.
Pour repérer un point dans l’espace il faut connaître 3 valeurs ( ou 3
dimensions). « x ;
y ; z »
4 . Le repère que l’on utilise est appelé aussi : « repère cartésien » ; ( venant du mathématicien « Descartes »)
1° )
nomenclature :
Dans un
repère ( O , I , J )
du plan , d’axes ( x’ O x )
et ( y’ O y ) perpendiculaires , chaque point tel que « M » est repéré par ses coordonnées :
Que désigne x M ? l’
abscisse de M
Que désigne
y M
. ? son
ordonnée de M
= x M et y
M sont des nombres relatifs.
=On notera : M ( x M ;
y M )
|
Représenter
dans un repère cartésien un point M ; Placer : ( O , I , J )
nommer les axes , repérer les coordonnées de ce points. |
|
=Les coordonnées d’un point
dans un repère du plan sont des nombres relatifs ; ils peuvent
être positifs. ou négatifs.
2°) +Activité n° 9
On
place dans un repère cartésien des
points : ( M , P , N, R )
|
|
On en
déduit les informations suivantes :
Compléter le tableau ci dessous :
|
|
Abscisse |
Ordonnée |
Coordonnées |
Nota |
|
M |
Mx = + 3 |
M y = +2,5 |
M ( 3;
2,5) |
x > 0 ; y
> 0 |
|
P |
Px = -4 |
P y = +2 |
P ( -4
; +2 ) |
x <0 ; y > 0 |
|
N |
Nx = -3,5 |
N y = -2 |
N ( -3,5
; -2) |
x<0 ; y < 0 |
|
R |
Rx = +2 |
R y =
-1,5 |
R ( 2
; -1,5) |
x>0 ; y < 0 |
|
i |
||
|
Zones |
Points |
Tracer un repère cartésien
possédant les 4 zones et
placer les points dans la zone correspondante |
|
x <0 ; y > 0 |
R |
|
|
x>0 ; y < 0 |
S |
|
|
x
> 0 ; y > 0 |
T |
|
|
x<0 ; y < 0 |
V |
|
|
3
- Abscisse du milieu d’un segment sur
un axe |
ETUDE 1 «milieu d’un segment »
Schéma:
Soit une droite graduée , un point « O » d ‘ abscisse
« 0 » , un point
« I » d ‘abscisse
« 1 » , un point « A » d ‘abscisse « xA »
et un point « B » d ‘« abscisse « xB »
Devoir 1 /2 :
Quel calcul faut -il faire
pour connaître l’ abscisse du point
M milieu du segment AB ?
La position (x M) du milieu (
noté M) d'un segment est égale à
la somme de l'abscisse de l'extrémité (x B )plus l'abscisse de
l'origine ( x A)du segment divisée par deux .
Etablir une
formule :
|
Réponse. |
xM = |
|
ETUDE 1 «représentation d’une fonction »
Formation
niveau V : On doit savoir représenter ou à reconnaître les fonctions. dites « linéaires »
et les fonctions dites « affines ». dans
un repère cartésien
Et savoir identifier ces
fonctions par l’écriture (forme) de leur
équation : la fonction
linéaire à une équation de la forme : y = a x ; la fonction affine à une équation
de la forme y = a x + b .
Informations : Pour
repérer un point il faut 2 valeurs : une appelée « x » et l’autre « y »
.
La valeur de « y » est obtenue en fonction de la valeur de
« x » que l’on notera
: y = f ( x ) ; . Les
coordonnées d’un point se noteront : ( x ; y ) ou (
x ; f(x))
La représentation graphique d’une fonction notée « f(x) »
dans un repère est un ensemble de points
dont de coordonnées ( x ; y
) ; , ces valeurs placées dans l’ordre
permettront de placer chaque point
dans un repère dit
« cartésien » .
Pour
faire cette représentation graphique d’une fonction on a besoin d’une équation mathématique .
C’est à
partir de cette équation , que l’on calculera la
valeur de l’ordonnée ( y ) d ‘ un point
. On déterminera ( ou on attribuera )
une valeur à « x » , pour obtenir la valeur de « y »
correspondante .
Pour obtenir les coordonnées d’un point , on se fixe donc
une valeur de l’abscisse « x » ( valeur qui est donnée ou choisie) ,
pour trouver la valeur de l’ordonnée .
Les
valeur de « x » sont soit données ; soit choisies
.
En règle générale on choisit des valeurs de
« x » comprises entre une valeur mini et une valeur max. fixées au préalable , ces valeurs s’appellent « bornes ».
Par exemple : on peut décider
de connaître le tracé d’une fonction , pour des valeurs de x
= [ 0 ; 4 ] ; ( on peut écrire pour des valeurs de « x » : 0 £ x £
+ 4 )
Au niveau V ; on aura une équation ,un tableau
à remplir , ( généralement on nous fixe les valeurs de « x » ;
il faut trouver , par calcul , les
valeurs « y » .Il reste ensuite à reporter les points à l’aide des coordonnées dans un repère . ( ce repère
est : soit donné , soit à
construire soit même ) .
La fonction linéaire à une
équation de la forme : y = ax ;
la fonction affine à une équation de la forme y = ax + b .
La représentation graphique
de la fonction linéaire est une droite passant par « 0 ».
La représentation graphique
de la fonction affine est une droite qui
ne passe pas par « 0 ».
Les droites parallèles
aux axes ne sont ni linéaire
ni affine.
Compléter les phrases suivantes :
|
Ci dessous : on vous a tracé une droite passant par
« O » ; toutes les droites passant par « 0 »
sont les représentantes des fonctions dites « linéaires » |
Ci dessous : on vous a tracé une droite ne passant pas par « O » ; toutes
les droites ne passant pas par « 0 » sont les représentantes des
fonctions dites « affines » |
|
|
|
La fonction linéaire à une
équation de la forme : y = ax ;
la fonction affine à une équation de la forme y = ax + b .
La représentation graphique
de la fonction linéaire est une droite passant par « 0 ».
La représentation graphique
de la fonction affine est une droite qui
ne passe pas par « 0 ».
Les droites parallèles
aux axes ne sont ni linéaire
ni affine.
|
On trouvera , comme ci dessous ,des droites parallèles à
l’axe des « x » |
On trouvera , comme ci dessous , des droites parallèles à
l’axe des « y » |
|
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Devoir 2/2 :
Représenter
dans un repère les droites représentant
une fonction affine ; linéaire ; parallèle à l’axe
« x » et parallèle à l’axe
« y ».
Réponses :
|
Ci dessous : on vous a tracé une droite passant par
« O » ; toutes les droites passant par « 0 »
sont les représentantes des fonctions dites « linéaires » |
Ci dessous : on vous a tracé une droite ne passant pas par « O » ; toutes
les droites ne passant pas par « 0 » sont les représentantes des
fonctions dites « affines » |
|
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|
On trouvera , comme ci dessous ,des
droites parallèles à l’axe des « x » |
On trouvera , comme ci dessous , des
droites parallèles à l’axe des « y » |
|
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|
Que se
passe - t- il à 150 km. Si l’on termine la graduation on remarque que la somme de ( 220 € ) est payée pour une distance maximale de 150 km .
A partir de 150 km on paye 360 € |
Interpréter le
tracé : Au point
« 0 » , on part , pour aller à un endroit
. La personne marche pour atteindre son but ,
elle s’arrête ( repos ?) . Ensuite elle revient à son point de départ . On remarque qu’elle met moins de temps pour
revenir. |
Des
exercices de ce type sont donnés à
analyser dans les travaux auto formatifs.
ETUDE 2 « représentation d’une fonction »
+Activité n°9 : Représenter
une fonction dans un repère.
Définition :
La
représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constitué par tous
les points dont les coordonnées sont (
x ; y ) ou , puisque y = f(x)
; ( x ; f(x))
Exemples :
1°) On veut représenter
graphiquement la fonction dont l’équation est f1 (x) =
2,5 x pour des
valeurs de x comprises entre 0 et 4.
On demande de
remplir le tableau suivant : ( il faut calculer pour chaque point sa valeur
« y »)
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x)
( = y) |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
On donne le papier
millimétré suivant : on demande de placer les points « A….., » après
avoir calculer pour chacun ses coordonnées
|
|
CORRIGE :
Les valeurs de f1 (x) =
y sont calculées à partir
des valeurs données à
« x » :
Si x = 0 alors
f1 (0) = 2,5 ´ 0 = 0
Un point A1
de la représentation graphique a pour coordonnées A1(0 ;
0)
Si x = 0,5 alors f1 (0,5) = 2,5 ´ 0,5 = 1,25
Un point A2
de la représentation graphique a pour coordonnées A2(0,5 ;
1,25)…..
On regroupe ces résultats
dans un tableau appelé « tableau de valeurs »
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
6,25 |
7 ,5 |
8,75 |
10 |
On peut alors reporter
chaque point dans le repère :
On peut constater
que les points sont alignés !!!!!!!!!!