Auteur : WARME R.

Document interactif.

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Classe :…………………..

Année    scolaire : ………………………                                        

Dossier pris le : ……/………/………

Validation de la  formation :    O -  N

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

Travaux dossier : 170 - 171

DOC. Info : Professeur ; Formateur

5 A / 26

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

Leçon TITRE : LES FRACTIONS DE MEME DENOMINATEUR (Opérations)

« ADDITION » ; « SOUSTRACTION » ; « MULTIPLICATION » ; « DIVISION » de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .CHAPITRES

Niveau

obtenu

Bilan

1.Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.



2..Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.



3.Addition , soustraction , multiplication et division d ‘une fractions  et d’un nombre .



4.Cas particulier : pourcentage d’un nombre .



Définitions préalables

Fraction : La fraction est le rapport  (une division ) d’un nombre entier naturel par un autre nombre entier naturel   

Exemple      : 

Rationnel Un rationnel est le quotient d’un entier par un entier « non nul ». ( on dit aussi : « différent de zéro » ;  noté :  ¹ 0 )

Exemples :                                16 : 2 = 9                         9  est un rationnel

                                                25: 4  = 6,25                    6,25  est un rationnel

                                                11 : 7  =   11/7                11/ 7 est un rationnel

Ecriture fractionnaire : On appelle « écriture fractionnaire «  une fraction possédant, au moins un nombre décimal ».( Il y a au moins un nombre décimal au numérateur ou au dénominateur.)

Pour  des raisons « pratiques »  il est souvent demandé d'exprimer le résultat  du calcul  sous une forme qui vous est précisée: exemple :« arrondi à …0,001… »  ( pour plus d’information consulter  le CD : les « nombres irrationnels)

Savoir  additionner deux fractions  de même dénominateur

(cas où les dénominateurs sont différents)

Savoir   soustraire deux fractions  de même dénominateur

(cas où les dénominateurs sont différents)

Savoir  multiplier  deux fractions  de même dénominateur

(cas où les dénominateurs sont différents)

Multiplication :      pourcentage

Savoir   diviser     deux fractions  de même dénominateur

(cas où les dénominateurs sont différents)

Savoir   diviser   un nombre par une fraction

Savoir   diviser   une fraction par un nombre.

COURS

Important :Pour faciliter les calculs et pour éviter les risques d’erreurs de calcul , il est conseillé de simplifier jusqu’à rendre irréductible la ou les fractions 

* chaque opération est traitée, à chacune correspond une information plus particulière .

i9

: voir  la liste des objectifs à traiter cas à cas i

i9  

1. ADDITION  de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 1 +

Définition :        La somme de deux fractions est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : la somme des numérateurs et pour « Dénominateur » : le dénominateur commun.

« a » et « c » sont les numérateurs.

On calcule la somme des numérateurs. « a + c »

« b » est le dénominateur

Exemple

Le dénominateur commun aux deux fractions est « b »

Remarques : ( 15 /13 )  cette fraction ne peut plus « se réduire », elle ne peut plus être simplifiée , on dit que la fraction est « irréductible ».

Si l’on fait la division de 15/13 on trouve »  1,15384615384615384615384615384615……...

Ce nombre est donné par la calculatrice, la série de  chiffres «1538461 » se répète à « l’infini » .

Calculer : (avec des nombres entiers naturels)

Calculer : (avec des nombres entiers relatifs)

  (voir corrigé)

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2. SOUSTRACTION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 2+

Règle : (Forme littérale)

Définition : La différence de deux fractions est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : la différence des numérateurs et pour « Dénominateur » : le dénominateur commun.

« a » et « c » sont les numérateurs.

On calcule la différence  des numérateurs. « a - c »

« b » est le dénominateur « commun » aux deux fractions.

Exemple

 Calculer :               

On conserve le dénominateur commun aux deux fractions est « b »

= (1/13)

Remarques : ( 1/13 )  cette fraction ne peut plus « se réduire », elle ne peut plus être simplifiée , on dit que la fraction est « irréductible »)

Si l’on fait la division de 1/13 on trouve »  0,333333333333333333333333333333333……...

Ce nombre est donné par la calculatrice, le nombre « 3 » se répète à « l’infini » .

Formes d’expressions du résultat : le résultat peut être exprimé sous forme d’une fraction irréductible , ou sous forme décimale « exacte » ou arrondie  ( l’arrondi est fixé par celui qui pose l’opération)

Exemple : l’opération peut s’exprimer

Forme irréductible

Forme décimale (affichage) Forme décimale arrondi 33^ème  rang décimal après  la virgule :

Forme arrondie :

0,333333333333333333333333333333333

0,33 à 0,01 prés

Calculs avec des entiers naturels :

Calcul avec des entiers relatifs :

Cas A :  le calcul possible :

   ; parce 8 - 7 est une opération possible avec des nombres entiers naturels.

A)  Calculons :

Cas B :    le calcul n’est  pas possible (impossible) :

    ; 

parce « 7 - 8 »  est une opération impossible avec des nombres entiers naturels.

Remarque :    devient possible si on m’autorise de  transformer les nombres entiers naturels en nombres entiers relatifs :  alors j’écris :  

Résultats :     

i9  

3.MULTIPLICATION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ 1  INFO +          Cd³ 2  INFO +

Règle :   ( Forme littérale)

La multiplication  de deux fractions  de même dénominateur est égale à une troisième fraction qui aura pour: « Numérateur » le produit des numérateurs et pour « Dénominateur » le produit des dénominateurs.

Forme symbolique mathématique:     

« a » et « c » sont les numérateurs

Le produit des numérateurs est : « ac »

« b » est le dénominateur « commun » aux deux fractions.

Le produit des dénominateur est « b b »

« b² » Le produit d’un nombre par lui - même est appelé « carré »

Remarque : Des opérations avec  2 fractions ;la multiplication de deux fractions est l’opération la plus simple.

Exemples :

Avec des nombres entiers naturels

Avec des nombres entiers relatifs :

 ;  

 ; 

Calculs :   8 fois 7 = 56   et 13² = 169

Expressions du résultat :

1°) fraction   irréductible : ( 56 / 169 )

2°) lecture sur écran :

»  0,331360946745562130177514792899 408 

3°)Arrondi    »  0,331  à 0,001 près .

 les fractions n’ont pas le même dénominateur ; ( (+13) est différent de (-13) ;  voir la deuxième partie de cours sur le produit de deux fractions de dénominateur différent.

 i9  

4 .DIVISION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR ( fraction de 2 fractions)

Cd³ INFO +

Remarque importante: Nous ne pouvons pas calculer directement la fraction de deux fractions ,il faut impérativement transformer : La fraction de fractions doit être transformée en division de deux fractions

On transforme la fraction de fractions par une division d’une fraction par l’autre fraction. (en conservant l’ordre) :à savoir que :

La fraction en numérateur devient « dividende » ; la fraction « dénominateur » devient « diviseur ».

Remarque importante : remarquer que la première fraction est au dessus de la barre de fraction  principale , le  signe « égal » est aligné avec ce trait .

la deuxième fraction étant située sous la barre de fraction alignée avec le signe égal.

Application :

Bien que la fraction de deux fractions soit transformée en division ;le calcul de  la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut  « passer » par la multiplication en respectant la procédure suivante:

Procédure

Modèle théorique

Exemple :

1°) Première transformation :la fraction de fractions en une division de deux fractions

2°) Deuxième  transformation : la division en multiplication.

 Rappel  ( Cd  ³ )  INVERSE  d'un nombre.(ou fraction) : 

On se souvient que :

« Diviser un nombre « A » par un nombre « B »revient à multiplier le premier nombre par l’inverse du second nombre. »

A : B = A ´ inv. B

« A » est la première fraction et « B » est la seconde fraction. Il suffit de remplacer :   « : B » par «´ inv. B »

On se souvient que l’ inverse de

on sait que :

3^ème transformation :.

4^ème : on effectue la multiplication  On a appliqué , les règles de la multiplication de deux fractions :

remarque : « b : b = 1 »  et « 13 : 13 = 1 » ce qui permet de simplifier les facteurs « B » et « 13 »

 ; on simplifie pou obtenir :

on simplifie :

5°) Conclusion :

Conclusion :

 ; = 0,875

 Dans le calcul  de  7¸ 8  la valeur décimale  est exacte 

Règle :  ( forme littérale ) Pour calculer la division de deux fractions il suffit   de  multiplier la première fraction par l’inverse de seconde fraction. 

Résultat  :   Le résultat de la  division de deux fractions de même dénominateur   a pour numérateur le numérateur de la première fraction et pour dénominateur le numérateur de la seconde fraction . (voir ci dessus)

+Faire les exercices suivants :

Addition

=

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs)

Soustraction

=

Multiplication

Fraction de fractions

= 

Division de fractions

Réponses :   ;   ;  ;  ;  ;

Leçon

Titre

N°5

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

A.  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .LES

TRAVAUX  N°5  A  d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

              Définitions préalables

1°)  donner la définition d’un fraction : donner un exemple avec les nombres  « 3 » et « 4 »

.

Exemples ?:

2°)  Qu’est ce qu’un rationnel ?

.

Donner des exemples :

16 : 2 = ?    ………………………………………………

25: 4  =   ?    ………………………………………………

11 : 7  =   ?  …………………………………………………

3°)  qu’appelle - t  - on  «  écriture fractionnaire » 

Cd³ INFO +

1. ADDITION  de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 1 +

1°) A quoi est égale la somme de deux fractions ? ( Forme littérale)

2°) Donner la Forme symbolique mathématique:

2.SOUSTRACTION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 2+

1°) A quoi est égale la différence de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale)

2°) donner la Forme symbolique mathématique

3.MULTIPLICATION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO +

.

1°) A quoi est égale la différence de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale)

2°) donner sa forme symbolique mathématique:     

4 .DIVISION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO +

1°) Compléter la phrase :

Remarque importante: Nous ……………………. calculer directement la fraction de deux fractions ,il faut impérativement transformer

2°) Transformer la fraction de fractions en division de fractions :

              se transforme  en  

3°) A quoi est égale le résultat de la division  de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale) 

  5° ) montrer les étapes de transformation conduisant au résultat .

Définitions préalables

1°)  avec 3 et 4 écrire une fraction ?

2°)  souligner les  rationnels .

16 + 2 =  18   ;  16 : 2 =   8 ; 16 -2 = 14

25: 4  =   6,25    ;   25 ´ 4 = 100   ; 25 - 4 = 21           

11 + 7  =  18     ;    7 - 11 = -4 ; 11 : 7  =   11/7

3°) entourer  l ’ «  écriture fractionnaire » 

  16 / 2 ;   17 / 5  ;  20,2  / 2 ; 10 / 0,5 ; 6,3 / 7,8 ; .456/ 3625

 EVALUATION :

Cd³ INFO +

1.  ADDITION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 1 +

2.  SOUSTRACTION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 2+

1.  MULTIPLICATION  de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 1 +

2.  DIVISION  de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 2+