Précédente : Fiche 1 : Encadrement d’un nombre relatif par des décimaux.

1 ) Encadrement d’un nombre en écriture fractionnaire ; 2 ) Encadrement d’une racine carrée.

Précédente : Fiche 2 : Droite graduée.

Précédente : Fiche 3 : Comparaison de nombres relatifs.

Fiche 1 : Inégalités : Définition et propriétés

Fiche 2 : Inégalité et « multiplication ou division ».

Fiche 3 : Exercice.

Fiche 4 : Multiplication membre à membre de deux inégalités.

(situations problèmes)

Fiche 1 :

Rappel :

Nous rappelons  l’énoncé suivant que vous avez vu en 4°  et que nous prendrons comme définition :

Par définition :

«  » et « » désignant des nombres relatifs quelconques,

«   » signifie  «  » est strictement positif »

Prendre comme exemple :

a= (-2) et b= (-3) ; (-2) -( -3) = +1

«   » signifie  «  » est strictement négatif »

Prendre comme exemple :

b= (-2) et a= (-3) ; (-3) -( -2) = -1

·       On peut de même définir :   et 

  signifie que « a – b »  est :   supérieur ou égal à « 0 ».

  signifie que « a – b »  est :   inférieur ou égal à « 0 ».

Remarque :

« r » étant un nombre relatif quelconque ,

« r » est strictement positif s’écrit     ,  « r » est positif s’écrit  .

« r » est strictement négatif s’écrit     ,  « r » est positif s’écrit  .

Activité 1 :

« e » , « f » , « i », « j » étant des nombres relatifs quelconques , complétez :

«  e   est fausse » à la même signification que «  e . …….f   est vraie » 

«    est fausse »  à la même signification que   «  i .…j     est vraie » 

A partir de la définition ci –dessus , il est possible de démontrer les propriétés suivantes dont certaines ont été étudiées  ( l’année précédente)

Propriété : Transitivité .

«  » , «  », «  » étant des nombres quelconques, si  «   »  et «  »   alors  «   » .

Cette propriété est appelés la « transitivité » de l’inégalité.

Il en est de même pour les ordres :   .

Addition ou soustraction :

Info ++précédente+++

En ajoutant (ou en retranchant)  un même nombre  aux deux membres d’une inégalité , on obtient une nouvelle inégalité de même sens .

      a  <   b

Ps : vérifiez en prenant des nombres à un chiffe.

+   c   <   d

En ajoutant , membre à membre deux inégalités de même sens , on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

a + c  <   b + d

Ps : vérifiez en prenant des nombres à un chiffe.

Encadrement d’une somme :

« x » et « y » sont 2 nombres tels que         et   

On voudrait déterminer un encadrement de leur somme.

La règle d’addition membre à membre s’applique aussi aux doubles inégalités.

8,74 + 4,51   <

< 8,75 + 4,52

Exercice 2 Donnez un encadrement  de  «   »  

On pose :

1,732 + 1,414   <

< 1,733 + 1,415

Attention !!

Sachant que «   »   et   « »  peut-on affirmer que  «   » ? ………….

Cas 1

Cas 2

Pour vous en rendre compte , complétez .

Cas 1 :    a= 4 ; b= 7 ; c = 3 ; d = 5

Cas 2 :    a = 8 ; b = 9 ; c = 2 ; d = 5

4  <  7

8 < 9

-         

3  <  5

-

2 < 5

1   <   2

6 <  4

Vraie

Faux

Encadrement d’une différence :

« x » et « y » sont 2 nombres tels que         et   

On voudrait déterminer un encadrement de «  »  .

On ne peut pas soustraire membre à membre mais on sait que :

«     » 

8,74 - 4,52   <

< 8,75 - 4,51

Activité 3 : Donnez un encadrement de   

Fiche 2 : Inégalité et « multiplication ou division ».

Vous avez vu en classe de niveau précédente ( niv. 4è) que :

«  » et «  » désignant des nombres relatifs et « » un nombre strictement positif ,

Si «   » alors  «   »  et si  « a > b »  alors :

Remarque : Il en est de même pour les ordres :   .

Règle :

En multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre strictement  positif ( attention voir ,ci-dessous)avec un nombre négatif ) , on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

·       Que se passe-t-il si on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif ?.

C’est ce que nous allons étudier :

Considérons l’inégalité  «  3 > - 7 » et multiplions ses deux membres par « (- 4) .

Effectuez mentalement le calcul et complétez :  «   »  soit   «   »

D’où la réponse   «   »  .

Vous pouvez recommencer avec d’autres nombres , vous constaterez toujours que :

Si l’on multiplie les 2 membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif , on obtient  une nouvelle inégalité de sens contraire.

Nous allons démontrer cette propriété.

Démonstration :

« » et «  » désignant des nombres relatifs et « m » un nombre strictement  négatif, considérons l’inégalité «   » et comparons «  » et «  ».

Pour cela , étudions le signe de «   » ( voir la fiche 1)

Grâce à la factorisation , «   »  peut s’écrire «   »

Puisque «   »  alors , par définition,   est strictement positif.

C'est-à-dire  «   »   est strictement ..positif.

Ce qui permet d’affirmer , par définition que «    »  .

·       On prouverait de même que si «   »    et «   »   alors    

En effet : diviser par «  » revient à multiplier par  «  »  ( qui a le même signe que «  »)

A retenir :

« » et «  » désignant des nombres relatifs et «  » un nombre strictement  négatif, considérons l’inégalité  si «   » alors «  »    et   si  «   » alors 

Remarque :  Ce qui est vraie pour    , il en est de même pour les ordres :   .

Règle :

                              En multipliant ou en divisant les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement négatifs , on obtient une inégalité de sens contraire.

Remarque :

«  » et «  » étant des nombres relatifs  quelconques tels que «  » sachant que «     »     et «     » ; complétez :   «  »   .

Vous retrouvez ainsi la propriété : Si des nombres sont rangés dans un certain ordre leurs opposés sont rangés dans l’ordre  opposé .

Activité 1 : Sans effectuer les opérations , complétez en utilisant :    .

Activité 2 : Sachant  que «  »  et «  »  , complétez en utilisant :  «  »

Activité 3 : Sachant  que «  »   et   «  » , rangez dans l’ordre croissant :

Activité 4 : Sachant que       ; «  »   et  «  »  , comparez «  » et «  ».

Fiche 3 : Exercice.

«  » désignant un nombre quelconque, considérons la fonction «  »

 définie par «  ».

1°) Calculez : «  ( » :       «  ( »   ; «  ( »  

2°) Donnez un encadrement de  «  ( » par des valeurs approchées   à     près.

«   ( »       ;   . …………………

 On a alors   

3°) Calculez «  » :       «  ( » ; «  ( »  

4°) Donnez un encadrement  de «  (   » par des valeurs approchées   à     près.    ( 1,73 ; 1,74 )

«   <  » ;

. …………………

. …………………

. …………………  On a alors :

5°) Calculez «   » 

6°) Donnez un encadrement de «   »  par des valeurs approchées à    près.

Fiche 4 : Multiplication membre à membre de deux inégalités.

En utilisant les propriétés de la « fiche 2 » , il est possible de démontrer que :

« » ; «  » ; «  » ; «  » désignant des nombres positifs , si «  »  et «  » alors «   »

                                          Dans l’ensemble des nombres positifs , en multipliant membre à membre deux inégalités de même sens , on obtient une inégalité de même sens.

 Attention : que se passe –t-il si les nombres ne sont pas tous positifs ?

Pour vous en rendre compte , complétez :

    ( - 35 )

<   ( + 12 )

 Remarque : Sachant que  « 0 < a < b »  et «  0 < c < d » peut-on affirmer que :

….. ? ……non ……. Pour vous en rendre compte complétez ci-contre.

Encadrement d’un produit.

« u » et « v » sont 2 nombres tels que :    et      , on voudrait déterminer un encadrement de leur produit.

  La règle de multiplication  membre à membre s’ applique aussi aux doubles inégalités.

Situation problème n°1 :

                       Les dimensions  «  » et «  » d’un rectangle sont tels que :  et  .

Donnez un encadrement de l’aire « A » en cm² de ce rectangle.

Corrigé à faire

Situation problème n°2 :

Une voiture consomme  entre  et  d’essence  aux cent kilomètres.

Son réservoir contient entre  et  d’essence.

Déterminez un encadrement de la quantité d’essence restant dans le réservoir après un parcours de 200 km.

Corrigé à faire

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