Classe de 4^ème
DOSSIER : LES DECIMAUX non - relatifs / objectif cours 13

Pré requis:

classification

Classification des nombres décimaux " positifs"

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent : 1°) Le nombre décimal relatif 2°) Voir le cours de collège p5 Fiche 3.

Objectif suivant : 1°) les inégalités 2°) les inéquations 3°) les relation d’ordre dans les réels ( R))

Tableau 53 Calcul numérique. Algèbre Liste des cours sur les décimaux relatifs

DOSSIER « calcul algébrique » : Ordre dans l’ensemble des nombres relatifs .

Fiche 1 : Valeurs approchées d’un nombre.

Fiche 2 : Comparaison des nombres relatifs.

Fiche 3 : Droite graduée.

Fiche 4 : Inégalités.

Fiche 5 : Inégalités et addition ou soustraction.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité Les intervalles

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Fiche 1 : Valeurs approchées d’un nombre.
A ) Nombres décimaux positifs : On vous propose de consulter les encadrements de 347,268 .
300 < 347,268 < 400 .
	« 300 » est la valeur approchée à 100 près par défaut de 347,268 . « 400 » est la valeur approchée à 100 près par excès de 347,268 .
340 < 347,268 < 350 .
	« 340 » est la valeur approchée à 50 près par défaut de 347,268 . « 350 » est la valeur approchée à 50 près par excès de 347,268 .
347 < 347,268 < 348
	« 347 » est la valeur approchée à 1 près par défaut de 347,268 . « 348 » est la valeur approchée à 1 près par excès de 347,268 .
347,2 < 347,268 < 347,3
	« 347,2  » est la valeur approchée à 0,1 près par défaut de 347,268 . « 347,3 » est la valeur approchée à 0,1 près par excès de 347,268 .
347,26 < 347,268 < 347,27
	« 347,26  » est la valeur approchée à 0,01 près par défaut de 347,268 . « 347,27 » est la valeur approchée à 0,01 près par excès de 347,268 .
Vocabulaire :		Info +++@ la troncature.
« troncature » : Une troncature est une valeur approché par défaut. Elle est obtenue en supprimant les derniers chiffres après la virgule. Exemples d’arrondis de 347,268 : « 347 » ; «  347,2 » ; « 347,26 »
Ø Des deux valeurs approchées ( par défaut et par excès) celle qui est la plus proche du nombre est appelée « arrondi » Exemples d’arrondis de 347,268 : « 300 » ; «  350 » ; « 347 » ; « 347,3 » ; « 347,27 »
Ø Un ordre de grandeur est une valeur approchée. Mais très souvent , on choisit pour ordre de grandeur d’un nombre , un arrondi dans lequel tous les chiffres sont nuls sauf un. Exemples : Pour 347,268  , on prendra « 300 » comme ordre de grandeur. Pour « 5,8672 » , on prendra « 6 » ; et pour « 0,00171 » , on prendra « 0,002 ».
B ) Nombres décimaux négatifs :		Info ++@
Les nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs opposés. Puisque «  300 < 347,268< 400 » alors «  - 400 < - 347,268< - 300 » Ø Complétez l’encadrement à « 1 » près ……-48 ……< - 47 ,569 < …- 47……. Et l’encadrement à 0,001 près …………- 0, 065…………< - 0,06487 < …- 0,064…..
C ) Nombres en écriture fractionnaire .		Info +++@
Vous allez donner des encadrements de et de
Vous savez que , posons la division ci-contre. Complétez les encadrements ci-dessous : à « 1 »près : 2 < < 3 et de -3 < < - 2 à « 0,1 »près : 2,7 < < 2,8 et de -2,8 < < - 2,7 à « 0,01 »près : 2,71 < < 2,72 et de -2,72 < < - 2,71 à « 0,001 »près : 2,714 < < 2,715 et de -2,715 < < - 2,714		1	9								7
			5	0							2, 7142857
				1	0
					3	0
						2	0
							6	0
								4	0
									5	0
										1
Ø Quelle est la valeur approchée à 0,0001 près par excès de ? 2,7143 Ø Et la valeur approchée à 0,000 001près par défaut de  ? …..- 2,714286

Fiche 2 : Comparaison des nombres relatifs.

Info +++@

Rappelons la règle de comparaison des nombres relatifs . ( voir cours ….)

Règle : - Tout nombre positif est supérieur ou égal à zéro. - Tout nombre négatif est ……inférieur……………… à zéro. - Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif. - Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre leurs opposés sont rangés dans l’ordre « opposé ». - De deux nombres négatifs, le plus grand est celui des deux qui a la plus petite valeur absolue.

Ø Vous savez comparer des nombres positifs ( voir la fiche 1 ) Dans le cas de « nombres négatifs » , il suffit de comparer leurs opposés ( qui sont des nombres positifs) et de changer l’ordre. Reprenons les différentes méthodes étudiées (dans la fiche 1)

1^ère méthode : On compare des valeurs décimales approchées de ces hommes.

Exemple 1 : Comparons et , pour cela nous comparons et

Calculons  ; Les divisions ne se terminent pas , mais on peut écrire des encadrements :

2

5

7

3

8

11

4

0

3,5

5

0

3 ,4

5

6

et 3,5 < On en déduit que : , on peut donc écrire

Activité 1 : Comparez comme précédemment : et En faisant les divisions , vous pouvez donc écrire et Vous en déduisez que : ; vous pouvez donc écrire :

Remarque : Dans le cas de , on constate que ces nombres sont proches de « 1 ». Puisque alors et puisque alors On en déduit alors que

Comparez de même : ; vous trouvez

2^ème Méthode : On choisit des écritures fractionnaires de même dénominateur ou de même numérateur.

Exemple 2 : Comparons ; pour cela on compare  ; On recherche le Dénominateur commun : (le plus petit possible) : 18 puisque alors ; vous pouvez donc écrire que

Exercice 2 : Comparez

donc

donc

donc

Remarque : Dans le cas de il est préférable de réduire de réduire au même numérateur . c'est-à-dire vous pouvez donc écrire :

Comparez de même :

Fiche 3 : Droite graduée.

Info +++@

Ci- dessous , on a placé les points ayant pour abscisse : « 1,7 » ; « - 0,9 » ; «  - 2 , 68 ». On vous demande de placer les points ayant pour abscisse « 0,6 » ; « 2,8 » ; « -1,3 », «  - 3,9 »

Remarque : Dans le cas d’un nombre en écriture fractionnaire on détermine un encadrement de ce nombre par des décimaux, on peut alors placer approximativement le point correspondant.

Exemple :

Activité 1 :

Faites de même pour les nombres suivants :

· Vous pouvez alors ranger ces nombres dans l’ordre croissant : ……….< ………….< ………..< ……….< …………< ……..< …………

Utilisation de la partie entière d’un nombre. Exemple 1 : ; nous pouvons écrire que ; et aussi : ( « -1 » est la partie entière de  ) Exemple 2 : vous savez que et ( « 2 »est la partie entière de )

Activité 2 :

Faites de même pour : :

· Vous pouvez alors ranger ces nombres dans l’ordre croissant : ………….< ……….< ………….< ………..< ……….< …………< ……..< …………

Activité 3 :

Vous allez ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :

Pour cela , placez sur la droite les points ayant pour abscisses ces nombres. Dans le cas où 2 d’entre eux seraient très voisins , vous les comparerez comme dans la fiche 2.

………….< ………….< ………….< ………..< ……….< …………< ………..< …………< …………< ……….< ……………

Fiche 4 : Inégalités.

Info +++ @

Sont des inégalités.

Attention : «  » n’est pas appelé une inégalité.

et sont des inégalités de même sens . et sont des inégalités de sens opposés.

Comme pour les égalités, dans toute inégalité, ce qui est écrit : - à gauche du signe ( ) s'appelle le membre de « gauche »ou « premier membre ». - à droite du signe ( s'appelle le membre de « droite  »ou « deuxième membre ».

Complète -9 (-9) (-2) et (-2) (+5) et tu remarques que 5

(-9) est à gauche de (-2) et (-2) est à gauche de (+5) et on a (-9) …………………………………………. de (+5).

· D'une manière générale, « a » , « b » , « c » étant des nombres relatifs quelconques, si  « a < b » et « b < c » , alors « a » est à gauche de « b » et « b » est à de « c » donc « a » est à ……………gauche …………de « c » , c'est-à-dire « a » … … « c » . Remarque Cette propriété est encore vraie pour : , ou

Fiche 5 : Inégalités et addition ou soustraction.

Xavier est un élève de 5^ème , son père Yves est évidemment plus âgé que lui. En désignant par «  » l'âge actuel de Xavier et par « » celui de Yves, on a Dans 3 ans, l'âge de Xavier sera «  » et l'âge de Yves sera «  » Yves est toujours plus âgé que Xavier, on peut donc écrire De même dans 9 ans, on pourra écrire «  » II y a 5 ans, on avait aussi · D'une manière générale, « a » , « b » , « m » désignant des nombres quelconques, si alors «   » et si «  » alors «  » · Les nombres «  » et «  » , «  » et «  » , «  » et «  » sont rangés dans le même ordre.

A retenir «  » , «  » , «  » désignant des nombres : Dire que c'est dire que, Dire que c'est dire que,

Remarque Ce que l'on vient de dire pour est valable pour , ou

Règle : En ajoutant (ou, en retranchant) un même, nombre, aux deux membres d'une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens

NOUVELLE FAÇON DE COMPARER DEUX NOMBRES En retranchant " " aux deux membres de l'inégalité , On peut écrire : Dire que c'est dire que ce qui s'écrit : Dire que c'est dire que Or, signifie est strictement …………… . On dira alors

A retenir : et désignant deux nombres relatifs quelconques , signifie est strictement positif . signifie est strictement ………………………….

Fiche 6 : INÉGALITÉ ET MULTIPLICATION OU DIVISION

Léonie fait son marché. Elle achète des poires et des figues. « p » est le prix d'un kg de poires et « f » , le prix d'un kg de figues. Les poires coûtent plus cher que les figues se traduit par Léonie achète 3kg de poires et 3kg de figues. Comparons les prix. On peut écrire : De même avec 10 kg de chaque, on aurait : Ou avec kg de chaque, on aurait : Or, peut s'écrire  , On écrira alors

· Ces exemples vous suggèrent l'énoncé suivant :

Si on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre, alors on obtient une inégalité de même sens. Mais attention ! ! Ces exemples ne constituent pas une démonstration. Il se peut que cet énoncé ne soit pas vrai dans tous les cas. En effet : Considérons l'inégalité et multiplions ses deux membres par . vous obtenez l'inégalité : Cette inégalité est-elle de même sens que l'inégalité initiale ? NON II semble que l'énoncé soit vrai à condition de multiplier les deux membres de l'inégalité par un nombre « positif » . C'est ce que nous allons démontrer Démonstration : «  » et «  » désignant des nombres relatifs et «  » un nombre strictement positif, considérons l'inégalité «  » et comparons «  » et «  ». Pour cela, étudions le signe de «  » (voir fiche 5). Grâce à la factorisation, «  » peut s'écrire . Puisque «  » alors «  » est strictement « positif » (voir fiche 5). D'autre part, « m » est strictement positif donc «  » est strictement « positif » C'est-à-dire «  » est strictement « positif » Ce qui permet d'affirmer (voir fiche ) que «  » On prouverait de même que si «  » et «   » alors En effet : diviser par «  » revient à multiplier par .

A retenir : « a » et « b » désignant des nombres relatifs et « m » un nombre strictement positif : - dire que c'est dire que - dire que c'est dire que

Remarque 1 Ce que l'on vient de dire pour est valable pour , ou

Règle En multipliant ou en divisant les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement positif , on obtient une nouvelle inégalité de même sens .

Remarque 2 : Que se passe-t-il si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif ? Vous savez déjà que si on multiplie un nombre par (-1) on obtient « l’opposé » de ce nombre. Or, deux nombres sont rangés dans l'ordre contraire de leurs opposés. Vous concevez alors que l'on puisse dire : En multipliant ou en divisant les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire .

Exercice 1 Sans effectuer les opérations, complétez en utilisant ou

Exercice 2 : « e » , « f » , « i » , « j » étant des nombres relatifs quelconques, complétez :

signifie

signifie c'est-à-dire

Exercice 3 Pour aller de chez lui au collège, Paul a compté 1 740 pas. Il estime que la longueur de son pas est comprise entre 70 et 75 cm,x Quel encadrement pouvez-vous donner de la longueur du trajet ?

Exploitation de données statistiques ( N°2) en 4^ème

Voir travail précédent….

.

VALEURS APROCHÉES d'un NOMBRE

NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS

Voici des encadrements de 347,268 300 < 347, 268 < 400 ; 340 350 347,268

347

347,268<:

347,2 < 347,268 <

"347,26< 347,268 <

près par défaut de 347,268 près par excès de 347,268 300 est la valeur approchée à 100 400 est la valeur approchée à 100 340 est la valeur approchée à près par de 347,268 350 est la valeur approchée à près par _ de 347,268

347 est la valeur approchée à près par de 347,268 est la valeur approchée à près par de 347,268

347,2 est la valeur approchée à près par _ _ de 347,268 est la valeur approchée à _ près par de 347,268

347,26 est la valeur approchée à près par de 347,268 est la valeur approchée à près par de 347,268

Vocabulaire Une troncature est une valeur approchée par défaut.

Elle est obtenue en supprimant les derniers chiffres après la virgule. Exemples de troncature de 347,268 : 347 347,2 347,26

Des deux valeurs approchées (par défaut et par excès), celle qui est la plus proche du nombre est appelée arrondi. Exemples d'arrondis de 347,268 : 300 350 347

347,3

347,27

* Un ordre de grandeur est une valeur approchée.

Mais très souvent, on choisit pour ordre de grandeur d'un nombre, un arrondi dans lequel tous les chiffres sont nuls sauf un. Exemples : Pour 347,268, on prendra 300 comme ordre de grandeur.

Pour 5,8673 , on prendra 6. Pour 0,00172, on prendra 0,002

NOMBRES DÉCIMAUX NÉGATIFS

Les nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs opposés. W, Puisque 300 <C 347,268 < 400 alors -400 <-347 ,268 <C

f ^^/ * * ' —

* Complète l'encadrement à 1 près < -47,569 <

et l'encadrement à 0,001 près <-0,06487 <.

NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE

19 50 10 30 20 60 40 50

»-»

19 19 Tu vas donner des encadrements de -=- et de —s-

2,7142857

Tu sais que -^- =19 : 7, Posons la division, Complète les encadrements ci-dessous

19 .

II 7

19

à 1 près

19

ii 7

à 0,1 près ^<^~i~

il 7

à 0,0l près . -<

à 0,001 près «

19

Quelle est la valeur approchée à 0,0001 près par excès de -=- ?

19 ? et la valeur approchée à 0,000001 près par défaut de —=?- —

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1°) Que signifie "classer des nombres"

2°) Que signifie "classer des nombres par ordre croissant"(préciser le signe de la relation d' ordre)

3°) Que signifie "classer des nombres par ordre décroissant "(préciser le signe de la relation d' ordre)

4° ) Combien y a-t-il de cas à étudier pour classer deux nombres relatifs (précisez)

5°) Que peut-on dire sur la Comparaison de deux nombres positifs ?:

6° ) Que peut-on dire sur la Comparaison de deux nombres négatifs:

7°) Que peut-on dire sur la Comparaison de deux nombres relatifs , l'un étant positif l' autre étant négatif

8° ) Que peut-on dire sur l'ordre croissant ou décroissant des valeurs absolues des nombres décimaux relatifs.

9° )Représenter le tableau permettant de nommer un nombre décimal.

10°) Donner la procédure permettant de classer ( par ordre croissant ou décroisant ) les nombres décimaux

EVALUATION :

Série 1 : avec des nombres relatifs « non simplifiés »

Comparez:	Constat :	Ce qui se traduit :
(+15) ; (- 18)
(+ 5) ; (-5 )
( - 2) ; (+1)
(-15 ) ; ( 0)

Série 2 : avec des nombres relatifs dits : « simplifiés »

Comparez:	Constat :	Ce qui se traduit :
+15 ; - 18
+ 5 ; -5
- 2 ; +1
-15 ; 0

1 ) ordonner par ordre décroissant les valeurs absolues suivantes :

0,51; 0,5 ;0,159 ; 0,6 ; 0, 5192

2 ) ordonner par ordre décroissant les nombres relatifs positifs suivants:

(+0,51);(+ 0,5) ;(+0,159) ;(+ 0,6) ;(+ 0, 5192)

3 ) ordonner par ordre décroissant les nombres relatifs négatifs suivants :

(-0,51);(- 0,5) ;(-0,159) ;(- 0,6) ;(- 0, 5192)

4) ordonner par ordre décroissant les nombres suivants :

(+0,51); (+0,5) ;(-0,159) ;(+ 0,6) ;(- 0, 5192) ;(-0,5019); (+0,509) ; (+0,520) ;(-0,591)

INTERDISCIPLINARITE:::::