corrigé , équations et résolution de problèmes .au collège en classe de 4ème

 

Novembre  2014

 

Niveau : Classe de collège : 4ème

 

CORRIGE.

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Pré requis:

 

Voir programme de collège 4ème

Objectifs   les égalités :    vocabulaire 1EG1

3D Diamond

 

égalités     les égalités : vocabulaire 2  EG2

3D Diamond

Expression algébrique (niveau 2)

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX : warmaths

Objectif précédent :

1°) Développer ……

2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »   Sphère metallique

Développer (suite )

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·       Aller vers le corrigé

.

 

DOSSIER : EQUATIONS et RESOLUTION DE PROBLEMES .

 

 

 

Fiche 1 : Approche

 

 

Fiche 2 : « Egalité » et « équation. »

 

 

Fiche 3 : Propriétés des égalités. 

 

 

Fiche 4 : Résolution d’équations.

 

 

Fiche 5 : Résolution d’équation ( suite )

 

 

Fiche 6 : Résolution de problèmes.

 

 

Fiche 7 : Situations problèmes

 

 

Fiche 8 : Résolution d’équations ( avec dénominateurs) .

 

 

Fiche 9 : Situations  problèmes .

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 


 

 

 

Fiche 1 : Approche

 

 

Problème :

Paul dit à Lison : Pense à un nombre,  ajoute  « 3 »  à ce nombre, multiplie par  « 5 » ce que  tu viens de trouver puis  retranche « 7 » au résultat. Dis-moi combien tu  trouves,  je  te dirai  le nombre auquel  tu as pensé.

Réponse de Lison :  « 93 ».  Comment Paul fera-t-il pour  trouver  le nombre ?

Faisons un essai :  

Supposons que Lison ait pensé au nombre « 13 ». Ecrivons  l'ensemble des calculs à effectuer puis  effectuez ces calculs   :

………………………………………………..   « 13 »  est-il  la bonne réponse ?

 

·       Pour résoudre ce genre de problème,   on raisonne de  la manière  suivante   : On  imagine que  l'on a  trouvé la solution et que  l'on fait  la vérification.

Pour  cela, on représente le nombre cherché par  une lettre.

 Appelons-le «  »  (par  exemple)  et faisons  comme  on a fait pour   13.

 93 ..   Ce qui peut  s'écrire    

 

Vous êtes en présence d’une « équation » , « » est appelée  l’inconnue.

 

Tout nombre mis à la place de «   »  et pour  lequel  l'égalité correspondante  est vraie est appelé  solution de l'équation.

« 13 »  n'est pas  solution de cette équation car  il conduit à   73  = 93 qui est____________________________________________________ …….

 

Résoudre une  équation,   c'est  trouver   (toutes)   les solutions de cette  équation.

 

·       Nous  allons résoudre cette  équation.

Grâce  à la définition de  la différence de deux nombres,

dire que         c'est dire  que    

c'est-à-dire    

Grâce  à la définition du  quotient de deux nombres,

dire que         c'est dire  que   c'est-à-dire     

et dire que        c'est dire que              c'est-à-dire    _________

 

Vérification          5                   donc  «  17 » est  solution de  l'équation.

Réponse à la question du problème : Le nombre pensé par Virginie est

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : « Egalité » et « équation. »

Info +@+ égalité-équation-propriété+

 

 

 

     est une  égalité.   C'est une phrase mathématique. 

Elle  est vraie.

 Le verbe de cette phrase  est " " qui se  lit " égale"  ou " est égal  à".

 

 

 

A retenir :

Une égalité est une phrase mathématique qui se présente sous la forme «   » dans laquelle «  » et « » représente le même objet.

 

 

 

Dans  l'équation        d'inconnue  ,   figure aussi  le   signe " ",mais on ne peut pas dire  à priori  si cette  phrase  est vraie  ou fausse   :Tout dépend du nombre mis  à  la place de   l'inconnue   .

 

Cette  équation devient une égalité quand on remplace l'inconnue par une …………..

 

 

 

Vocabulaire

Info ++@ sur « les  égalités »

 

 

Dans  toute égalité   (ou équation),   ce qui  est écrit :

-        A gauche du signe « = » s’appelle « membre de gauche » ou « premier membre » de l’égalité.

-        A droite  du signe « = » s’appelle « membre de droite » ou « second membre » de l’égalité.

 

Exemple :  Dans l'égalité      ,   le premier membre est « » , le deuxième membre est  «  » 

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Propriétés des égalités. 

Info +@+ égalité-équation-propriété+

 

 

 

 

 

Egalité et « addition » et « soustraction »

 

 

  et   représentant  le même nombre,   on peut  écrire l'égalité      .

 

   étant un nombre quelconque,     et      représentent le même nombre.

 

On peut donc  écrire  l'égalité        et de même     

 

 

 

A retenir :

En ajoutant  ( ou en retranchant )un même nombre aux deux membres d’une égalité , on obtient une nouvelle égalité.

 

 

Exemple :   désignant un nombre tel  que       ,- on peut  écrire     7________________________________________

 

 

 

TRANSPOSITION  DE   TERMES.

  étant des nombres  quelconques,   par définition de  la différence de  2 nombres, dire que     c'est dire que    .

    Vous constatez  que l'on passe d'une égalité à l'autre  en faisant passer «  » d'un membre dans l'autre en changeant  le  signe  qui  le précède

 

 

 

   et   .

 

 

 

 

 

On dit que   l'on a transposé « b »   (en changeant  le  signe  qui  le précède)

 

 

 

·      De même,  dire que    «  »    c'est dire que    «  »

 

 

 

A retenir :

           Etant donné une égalité de nombres, on obtient une nouvelle égalité en « transposant un terme» d’un membre dans l’autre ( en changeant le signe qui le précède ).

 

 

 

 

 

 

Activité n°1 : 

    étant des nombres   tels que         soit une  égalité, transposez   les  termes qu'il faut pour  obtenir  une  égalité dans  laquelle  les lettres soient dans  le membre de gauche et  les  autres  termes  dans  le membre de droite.

 

 

 

      par transformation :

 

 

 

 

 

Activité n°2 : 

Dans  le cas de  l'égalité       ,

 

        Dites  en l'expliquant oralement si vous  pouvez  appliquer directement la règle précédente. Faites ce qu'il faut pour pouvoir appliquer cette règle et écris une nouvelle égalité dans laquelle les "" soient seuls dans un même membre.

 

 

 

Il faut développer

 

 

 

 

 

Egalité et multiplication ou division .

 

 

 

 et   représentant  le même nombre,  on peut écrire  l'égalité       .

 

 étant un nombre  quelconque,         et        représentent  le même  nombre.

 

On peut donc écrire  l'égalité    .

 

De même, à condition que «  »  ne soit pas nul, on peut écrire

 

 

 

A retenir :

En multipliant ou en divisant par un nombre non nul les deux membres d’une égalité , on obtient une nouvelle égalité.

 

 

 

 

 

Activité n°… : Exemples          représentant des nombres,   vous allez   " simplifier"  les égalités suivantes.

 

 

 

    peut s'écrire     c'est-à-dire     

 

 

     peut  s'écrire                  c'est-à-dire     

 

 

    peut  s'écrire    __________________________________       c'est-à-dire     

 

 

     peut  s'écrire                c'est-à-dire   

 

 

 

 

 

Cas       

Contrôle  que  l'égalité         est vraie.   Peut-on écrire       non

D'une manière  générale,   on a         sans avoir  forcément   

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 : Résolution d’équations.

Info ++ @ : résoudre une équation.

 

 

 

 

 

On se propose de résoudre l'équation        d'inconnue x c'est-à-dire  trouver   tous   les nombres  qui,   mis à la place de  «  » , sont tels  que  l'égalité correspondante soit vraie.

En  imaginant que «  »  représente une  solution   (s'il  en existe),  alors        est une  égalité.

 

On peut donc  lui appliquer  la règle  de transposition  (fiche 3).

Transposons « 9 ».   On obtient   :     ______________      c'est-à-dire   

"  "     et    "  " sont des phrases  vraies pour  les mêmes valeurs de 

L'équation      possède  une   solution unique   :   le  nombre «  »____________________________________________________ ___

 

Donc,   l'équation        possède  la  solution unique   : ____________________________________________________________ «  »

 

 

 

Méthode :

Pour résoudre une  équation,  on remplace  l'équation donnée par  une équation ayant  les mêmes  solutions mais qui   s'écrit plus  simplement.


La plus   simple  étant de  la forme       ;   «  »  est  un  nombre bien déterminé.

 

 

 

 

 

 

Règle :

Etant donné une équation, on obtient  une équation ayant les mêmes solutions en transposant un terme d’un membre dans l’autre ( en changeant son signe ) ..

 

 

 

 

 

Exemple 2 : Résolvons  l'équation        d'inconnue  .

Transposons    « »    et    «  »  ,   on obtient   :              Ce qui  s'écrit__________  

Donc  l'équation possède  la  solution unique   : «   »

 

 

 

 

 

Exemple 3 : vous devez résoudre  l'équation        d'inconnue  « » de deux façons  différentes.

 

 

 

1ère façon : Transposons    «  »   ,  on obtient   :    Ce qui  s'écrit  

«  »   est  l'opposé de  « »    donc   «  »     peut  s'écrire    «  » .

Donc  l’équation possède la solution unique :  «  »

 

 

 

 

 

2ème façon :

Transposons     «  »    et   «  » ,   on obtient : « »

                   Ce qui s’écrit   «   » c'est-à-dire «   »

On retrouve bien la même  solution que précédemment.

 

 

 

 

 

Exemple 4

Résolvez l’équation   d’ inconnue « y ».

 

En transposant    , on obtient    

 

Et après simplification , on obtient   «   »   

 

Donc l’équation possède la solution unique :  

 

 

 

 

 

Activités : Résolvez les équations suivantes d’inconnues respectives  «   »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ;       ;   

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 : Résolution d’équation ( suite )

 

 

 

 

 

 

Exemple   1     On  se  propose de résoudre  l'équation        d'inconnue «  ».

En imaginant que x représente une solution  (s'il en existe),   alors        est une égalité.

On peut donc lui appliquer  la règle du  « fiche  3 ».

En divisant  les  deux membres  par  « 3 » ,   on obtient   

 

Les équations «  3x = 36 »  et « x = 12 »  ont les mêmes solutions.

Donc,   l'équation    3x = 36    possède la solution unique   « 12 »

 

 

Exemple   2    

Résolvez   l'équation        d'inconnue «  ».

En raisonnant  comme précédemment mais  en multipliant  les deux membres par «  »,

on obtient   :          ce qui  s'écrit  

 

Les équations        et         ont  les mêmes  solutions.


Donc,   l'équation        possède  la  solution unique   : «   »

 

 

 

 

 

A retenir :

Etant donné  une équation , on obtient une équation ayant les mêmes solutions en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul les deux membres de cette équation.

 

 

 

 

 

Exemple 3


Résolvez   l'équation        d'inconnue .   En divisant  les deux membres par  «  »  ,  on obtient   :

L'équation possède donc  la solution unique   :

 

 

 

 

Exemple 4


Résous  l'équation    2t  - 5  -   13  - t    d'inconnue  t.


En transposant__ et____ ,   on obtient   :     2t__

 

 

 

 

 

 

Exemple 5  Résolvez  l'équation     d'inconnue        .

On ne change pas les solutions de l'équation si l'on transforme l'écriture de chacun des deux membres de l'équation. En particulier, on peut développer :

On obtient :      en transposant les termes convenables, on obtient

   qui       s'écrit             - 8x  =  - 28

 

En divisant les deux membres par_____________ on obtient :__________ ____

L'équation donnée possède donc la solution unique : _______________________

 

 

 

Activités :  Résolvez les équations suivantes  ( à faire sur une feuille à part)

 

 

 

 

 

 

;
 ;

 

 

 

 

 

 

 

    ;     

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : Résolution de problèmes.

Info +@ +++ sur la résolution de pb.

 

 

Problème 1

 

Trois personnes se partagent une somme d'argent de 1630 € . La deuxième a 90 € de plus que la première et la troisième a 50 € de moins que la première. Trouve la part de chacune.

 

 

Pour résoudre un tel problème, on raisonne de la manière suivante :

On imagine que l'on a trouvé la solution et que l'on fait la vérification.

Supposons que l'on ait trouvé la part de la première personne.    Appelons-la    «  »

La part de la deuxième personne est alors (en € )    90______________________

La part de la troisième personne est alors (en  €)    – 50  ________________________       ~~

La somme totale (en € ) est alors :      

II ne te reste plus qu'à résoudre cette équation.

 

 

 

:        ;  :        ;  ;

Les parts sont alors :  la première :  530 €   ; la deuxième :   620 €  , la troisième :   480 €

 

 

 

 

 

Méthode de résolution

 

La résolution du problème précédent comporte quatre étapes. Il en est de même pour tous les problèmes de ce genre.

 

1°) Choix de l'inconnue et désignation de cette inconnue (ou des inconnues).

Dans le problème précédent, l'inconnue est la part de la première personne. Cette inconnue a été désignée par x_

 

2°) Mise en équation(s)  C'est la traduction de l'énoncé en langage mathématique.

On procède comme si, connaissant la solution, on faisait la vérification.

 

 3°) Résolution de l'équation Comme tu l'as appris aux paragraphes précédents.

 

 4°) Réponse à la question du problème

La solution que l'on vient de trouver en langage mathématique doit être traduite en langage courant et interprétée.

 

 

 

 

Problème 2 : Pierre   et  Clotilde  décident de constituer chacun une cagnotte. Pierre  a mis 15€  dans la sienne et Clotilde  a mis 43 € .

 

Ils décident alors de mettre chaque jour 1 €  dans leur cagnotte respective. Dans combien de jours la cagnotte de Marc sera-t-elle le double de celle de David ?

1°) Choix de l'inconnue. Appelons « » le nombre de jours cherché.

2°) Mise en équation Au bout de « »  jours,

dans la cagnotte de Pierre  , il y a (en € )   :   

dans la cagnotte de Clotilde   ,  il y a (en € )      

" La cagnotte de Clotilde    est le double de celle de Pierre   "

se traduit en langage mathématique par (en   ): 

3°) Résolution de l'équation ;   

;  

4°) Réponse à la question du problème :

Dans          jours la cagnotte de Marc sera le double de celle de David. 

 

Remarque :      Si la résolution de l'équation avait donné un nombre non entier, le problème posé n'aurait pas eu de solution

 

 

 

 

 

Fiche 7 : Situations problèmes

Info plus @@@ et d’autres problèmes encore..

 

 

 

Faites  la rédaction de  ces problèmes  sur une feuille à part. vous n'indiquerez ici  que la réponse à la question du problème.

 

 

 

Problème  1  Un père et un fils ont  leur anniversaire  le mime jour. Le père a 46 ans,   le fils   12 ans.  Dans  combien d'années l'âge du père  sera-t-il le triple de  l'âge du fils?

 

 

 

 

 

Problème 2 :     Simon  et  Victor   jouent aux billes. Avant la partie, Simon avait 26 billes, Victor  en avait 14. Simon a perdu et Victor  possède maintenant trois fois plus de billes que Simon . Combien Victor  a-t-il perdu de billes ?

 

 

 

 

 

Problème 3  On doit partager équitablement une somme d'argent entre plusieurs personnes. Si on donne 200 €  à chaque personne, il reste 400 €. Si on donne 250 € à chaque personne, il manque 750 €. Quel est le nombre de personnes ?   Quelle est la somme à partager ?

 

 

 

Problème 4  Dans une classe, il y a deux fois plus de filles que de garçons.                                     

1°) Un jour où 4 filles et 4 garçons sont absents, il y a trois fois plus de filles "* que de garçons. Combien y a-t-il de filles et de garçons dans cette classe ?

Indication  Prenez  comme inconnue le nombre de garçons.

2°) Dans la même classe, combien faudrait-il qu'il y ait de filles absentes et de garçons absents (le même nombre pour les deux) pour que le nombre des filles soit le quadruple du nombre des garçons ?

Indication  Appelez « » le nombre de filles absentes, (c'est aussi le nombre de garçons absents).

 

 

 

Problême 5  Un cycliste va d'une ville A vers une ville B à la vitesse de 30 km/h.

Une heure plus tard, roulant à la vitesse de 90 km/h un automobiliste va de A vers B Combien de temps après son départ rencontrera-t-il le cycliste ?

Indication  Pour la mise en équation, exprime le fait qu'au moment de la rencontre, le cycliste et l'automobiliste ont parcouru la même distance.

 

 

 

Problème 6  Le salaire journalier d'un couple est 600€  (quand ils travaillent tous les En un mois, le mari a travaillé 21 jours et la femme 18 jours. Leur salaire mensuel total a été 11 790 . Quel est le salaire journalier de chacun d'eux ?

 

 

 

Problème 7

  A l'arrivée d'une course, pour récompenser les quatre premiers, on décide de partager 2150 €  de la manière suivante :

On donne une certaine somme au 4°.

 Au 3°, on donne le double de ce que l'on a donné au 4° plus 25 €.

Au 2°, on donne le double de ce que l'on a donné au 3° plus 25 € 

Au 1°, on donne le double de ce que l'on a donné au 2° plus 25 €.

 

Déterminez   la part de chacun d'eux.

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 8 : Résolution d’équations ( avec dénominateurs) 

Info @++++

 

 

Vous allez résoudre des équations en utilisant les règles dans les fiches : ………. Et …………..

 

 

 

 

 

Activité  1 : Résolvez l’équation :     d’inconnue « » .

En transposant , on obtient            , or       

 

L’équation possède la solution unique :

 

 

 

Activité 2 : Résolvez l’équation :     d’inconnue « » .

En divisant  les deux membres  par    , on obtient            , or       

 

L’équation possède la solution unique :

 

 

 

Activité 3 : Résolvez l’équation :      d’inconnue «» .

 

En transposant , on obtient            , or       

 

On alors :  en divisant les deux membres par   , on obtient 

 

C'est-à-dire :

L’équation possède la solution unique :  

 

 

 

Autre méthode :

Si on multiplie les deux membres de l’équation par un multiple des dénominateurs, on obtient une équation dans laquelle il n’y a plus de dénominateurs.

 

Pour que le calcul soit le plus simple possible , il est préférable de choisir un multiple commun le plus petit possible . vous  choisissez   « 6 ».

 

 

 

On obtient alors :      

 

On obtient alors :

 et  d’autre part      

 

On obtient alors l’équation :  

 

A vous de finir de résoudre cette équation :    ;  ;   ; 

 

 

Activité 4 :

Résolvez l’équation :     ; d’inconnue  «  »

Le multiple commun des dénominateurs le plus petit possible est  « 12 »

Multiplions les deux membres de l’équation par ce nombre et développons , on obtient :

Après simplification on obtient :

 

En transposant les termes qu’il faut , on obtient :
 ;   ; et en divisant les deux membres par :   « 5 » on obtient          ;  

L’équation proposée possède la solution unique :

 

 

 

Activité 5 :

Résolvez l’équation :      d’inconnue « ».

Le multiple commun des dénominateurs le plus petit possible est   : « 18 »

Et après simplification :

 

Attention : il ne faut pas oublier de mettre les parenthèses dès que l’on enlève le trait de fraction.

 

En développant, on obtient :        finissez la résolution.

 

   ;  

 

 

 

Activité  6  Résolvez l’équation :      d’inconnue «  » .

 

 

 

 

 

 

 

 

Vous avez pu constater que dans la résolution des équations précédentes , on est toujours passé par une équation de la forme «   » dans laquelle «  » est l’inconnue et «  » et «  » des nombres connus.

 

Pour résoudre l’équation de la forme «   

» , on divise les deux membres de l’équation par « », à la condition que « » ne soit pas nul .

On obtient alors «  » l’équation possède la solution unique «  ».

·      Que se passe –t-il  si  «  » ?   C’est ce que nous allons étudier maintenant.

 

 

 

 

 

Activité 7 :

Résolvez l’équation   d’inconnue «  ».

 

En développant, on obtient          et  en transposant :            ; c'est-à-dire :    

 

Quel que soit le nombre mis à la place de « y » ,  

 

Donc   ne peut –être égal à « -3 ».

Donc l’équation n’a pas de solution.

 

 

 

 

 

Activité 8

 

 

Résolvez l’équation              d’inconnue «  »

En multipliant les deux membres par  « 6 » et en simplifiant , on obtient :

   et en développant , on obtient :   

 

En transposant :    ; c'est-à-dire    

 

Quel que soit le nombre mis à la place de « z » ,           est toujours vraie.

Donc , tous les nombres sont solution de l’équation. 

 

On énoncera  alors :

 

 

Théorème :

 

 

 

Etant donné l’équation  «   »  d’inconnue «  »,

 

Si   «  »  l’équation possède la solution unique :

 

Si  «  a = 0 »    .

 

 

 

 

 

 

 

Activité  9  :

Résolvez les équations suivantes :  ( à faire sur une feuille à part )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 9 : Situations  problèmes .

 

 

 

 

 

 

Activité 1 :

Le périmètre d’un champ rectangulaire est de « 416 m » . La largeur est les   de la longueur.

Calculez la longueur et la largeur de ce champ.

 

 

 

 

 

 

Activité 2 :

Une somme d’argent est partagée entre trois personnes.

 

La première reçoit      de la somme  plus « 57 € ».

La deuxième reçoit         de la part de la première plus  « 74 € » .

 

La troisième reçoit  « 106 € ». Quelle était  la somme totale.

 

 

 

 

 

Activité 3 :

On coupe un ruban de la manière suivante :

On en enlève        puis on enlève      du reste , puis on enlève    du nouveau reste.

 

Le ruban ne mesure plus que « 1,8 m », quelle était la longueur initiale du ruban ?.

 

 

 

 

 

Activité 4 :

               Un marcheur effectue une randonnée de «  4 h » . Le parcours comporte le tiers de montée, la moitié de descente et le reste à plat. Sa vitesse En montée est de « 4 km/h » , en descente  « 6 km /h » , sur le plat  « 5 km/h » . Quelle est la longueur du parcours.

 

 

 

 

 

Indication :

En choisissant comme inconnue la longueur du parcours, évaluez le temps passé dans chacun des 3 cas. : montée , descente , plat.

N’oubliez pas que le temps est égal à l’espace parcouru   divisé   par la vitesse.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS : voir les activités des fiches  spécifiques….

CONTROLE:

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :