Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 19 / 25

 

 

Doc.  ELEVE.

 

 

Géométrie dans l'espace:

 

 

AIRES et VOLUMES.

de solides usuels

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

En RESUME : (niv V)

Notion de volume. Tout solide occupe une portion déterminée de l’espace appelée « volume de ce solide ».

L’égalité de deux volumes, les diverses opérations sur les volumes se défi­nissent comme cela a été fait pour les surfaces planes. Ainsi, le volume du polyèdre obtenu après juxtaposition de deux polyèdres donnés et suppression de la portion de face commune est, par définition, la somme des volumes de ces deux polyèdres. Cette juxtaposition peut se réaliser d’une infinité de façons et les divers polyèdres ainsi obtenus ne sont pas égaux, mais ont même volume, ils sont dits équivalents.

Deux polyèdres équivalents sont deux polyèdres qui ont même volume.

 

Unité de volume. — Les volumes sont donc des grandeurs mesurables.

 

On choisit pour unité de volume le volume du cube ayant pour arête l’unité de longueur.

 

A chaque unité de longueur correspond ainsi une unité de volume. L’unité principale de volume est le mètre cube (m3); on peut aussi utiliser le décimètre cube (dm3), le centimètre cube (cm3), etc.

Dans les énoncés relatifs aux mesures des volumes nous conviendrons que

1°)  Toutes les longueurs sont mesurées avec la même unité. (dans un calcul il faut « homogénéiser » les dimensions , Càd les exprimer dans la même unité de mesure)

2°)  Les surfaces et les volumes sont mesurés avec les unités de surface et de volume correspondant à l’unité de longueur adoptée.

Il n’existe pas de mot pour désigner la mesure d’un volume (  tel que le mot « aire » pour la mesure d’une surface). Nous conviendrons, dans ce qui suit, que l’expression « volume d’un solide désigne en réalité la mesure de son volume de même que tout « segment» désigne la mesure de ce segment.

On retiendra le  Théorème suivant

Le volume d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions.


 

Leçon

Titre

N°19

GEOMETRIE ESPACE et "AIRE et VOLUME  de solides usuels"

 

CHAPITRES

:Info +  Cd

I ) Les  Unités  de volume : le mètre  cube ( solide ) et le litre ( liquide).

:Info +  Cd

II  )Les  conversions : de « litre » Þ en « cube » ;    de « cube »Þ  en « litre » .

:Info +  Cd

III ) LES 3 SOLIDES DE BASES .

:Info +  Cd

 A ) le  parallélépipède appelé « cube » :

 

1°) description

:Info +  Cd

2°) représentation en perspective cavalière .

:Info +  Cd

3°) développement

:Info +  Cd

4°) Aire et volume.

:Info +  Cd

B ) Le parallélépipède rectangle .

 

1°) description

:Info +  Cd

2°) représentation en perspective cavalière .

:Info +  Cd

3°) développement

:Info +  Cd

4°) Aire et volume.

:Info +  Cd

C ) Le cylindre .

 

1°) description

:Info +  Cd

2°) représentation en perspective cavalière .

:Info +  Cd

3°) développement

:Info +  Cd

4°) Aire et volume.

:Info +  Cd

IV )Formulaire

:Info +  Cd

Dictionnaire : voir la définition de parallélépipède  , parallélépipédique ,


 

COURS

i : Les  deux unités de mesure de volume à connaître  sont : le mètre cube (ses multiples et ses sous multiples) utilisé pour mesurer les volumes des solides  et le litre  unité  utilisé pour mesurer les volumes des liquides , ou matière en poudre ou granulée ( farine , les céréales……)  .

i9

I ) LES UNITES DE VOLUME  :

:1 i

 

A) Mètre cube et litre .

Cd Info plus !!

 

   Lire :  « m » pour « mètre »

 

a)  L'unité principale  est le « mètre cube » : symbole  m 3    Lire : Exposant  « 3 » ,ou  puissance « 3 » ou « au cube »

 

   ( le mètre cube est un cube de 1 mètre de côté )

 D’autres unités sont utilisées dans la vie courante sont les sous multiples :

Rectangle à coins arrondis: L’unité de volume « cube » est de forme « parallélépipédique »

le décimètre cube  : dm3   (c'est un  cube de 1 dm  d'arête)

le centimètre cube : cm3   (c'est un  cube de 1 cm  d'arête)

le millimètre cube : mm3   (c'est un  cube de 1 mm  d'arête)

 

1b ) L’unité de capacité  :

les mesures de capacités sont utilisées pour mesurer des volumes occupés par les liquides.

L'unité de capacité est le litre ; c'est le volume occupé par 1 kilogramme d'eau pure  à son maximum de densité. Le litre correspond au  volume occupé par un cube de un décimètre  de côté  .

1 mètre cube vaut donc 1 000 litres .(ou 1 kilolitre)

il  faut savoir que  1 décimètre cube  ( dm3) contient un volume équivalent à 1 litre d’eau pur à 4° Centigrade .

· mesures équivalentes :

 1dm3  = 1 l    ; Un litre = 100 cl ;  100 cl = 1 dm3 = 1000 cm3  donc 1cl = 10 cm3

et  1m3   = 1000  dm3   =  1 000  litres .


i  les   2 unités  de base   utilisées  au quotidien  sont :

B ) Le  décimètre cube :  ( symbole : dm3  ) et le litre  ( l )

i³

 

iDans la vie quotidienne : contenance de matériel de cuisine ( verre , bouteille , flacon ) , dans les recettes de cuisine ( mélange , et proportion de liquide et solide ) , dans le commerce des produits liquides ( sauce ,boissons, parfum ou autres liquides ),   , on utilise couramment et indifféremment le décimètre cube et ses sous multiples ( le centimètre cube et  le millimètre cube ) et le litre   et ses sous multiples ( décilitre , centilitre , millilitre ).

Souvent il est nécessaire de savoir passer  de l’une à l’autre de ces unités ( on dit « convertir » ) , au risque de ne pas réussir soit une recette ,soit un achat et donc d’être mécontent .

 

 

Voir i Cd sur  le  : « Décimètre » et le  « cube »

 

=Ci dessous nous montrons que le « décimètre cube » contient 1000 cubes ayant chacun  1 cm d'arête .

 

A) Soit un cube de 1 cm de côté .

B) 10 cubes  de 1cm d'arête forment une barrette  de 1 dm de longueur.   ( 10 cm = 1dm)

 

C ) 10 barrettes  forment une plaque carré de 1 dm de côté .

Cette plaque contient 100 cubes de 1 cm d'arête. 

 

D ) 10 plaques de 1cm d'épaisseur , mesure un décimètre de hauteur.

 

Ces 10 plaques contiennent chacune 100 cubes de 1 cm d'arête.

Le cube de 1 dm d'arête contient donc 10 fois 100 cubes de 1cm cube . soit 1000 cm cube.

Donc : 1 dm 3 = 1 000 cm3

   En utilisant la démonstration ci  dessus nous pourrions montrer ainsi que  1 cm3   contient 1000 cubes de 1 mm de côté.

(  1 cm3 = 1000 mm3  )

 

Bulle ronde: Voir : écriture scientifique .
 

 


Avec les  exemples  précédents , il nous est possible d'obtenir ce tableau :

 

Nom

Symbole

Correspondance en m3  en valeur décimale et sous forme de puissance de 10

Kilomètre cube

 km3       ( = 1000m)3

 1 km3  =1 000 000 000 m3 = 1 ´ 10 9   m3

Hectomètre cube

h m3       ( = 100m)3

1 h m3  =        1 000 000 m3 =  1 ´ 10 6  m3

Décamètre cube

da m3      ( = 10m)3

 1da m3 =              1 000 m3 =  1 ´ 10 3  m3

Mètre cube

m3          ( = 1m)3

                  1  m3  = 1´ 10 0  m3

Décimètre cube

d m3       ( = 0,1m)3

1 d m3  =     0 , 001 m3 =     1 ´   10 -3 m3

Centimètre cube

c m3       ( = 0,01m)3

1 c m3  =     0, 000 001 m3 =  1 ´  10 -6   m3

Millimètre cube

m m3     ( = 0,001m)3

1 m m3 =  0 , 000 000 001m3 =  1 ´  10-9 m3

( cliquer ici : pour voir les unités de volume  et l'utilisation des puissances de dix)

Dans le cadre des calculs on utilisera les puissances de dix , dans le cadre de conversion on utilisera plus facilement le tableau de conversion ci dessous .

Rectangle à coins arrondis: Pour convertir  des m3   en dm3   , en cm3  , en mm3  , en dam3  , ou autres unités  , et vis versa   on peut utiliser le tableau de conversion:
 

 

 

 

 


i9

II )LE TABLEAU DE  conversion .  ( volumes et capacité )

:Info +  Cd

 

i   Ci dessous  est  tracé le  tableau qui permet d’effectuer  les conversions  des  unités de  volume couramment utilisées , tableau  qu’il faut savoir construire sur feuille , et utiliser  : Prendre une ligne par exercice !

 

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

4

0

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarquez  que chaque  colonne   principale  exprimée  en « cube » (exemple : dm3 ) est subdivisée en 3 sous colonnes , les unités de capacité occupe une colonne  , réparties de chaque côté de l’unité « litre » , qui occupe la première sous- colonne des dm3

 

            Pour les besoins de compréhension  ce cours  vous propose deux  La démarche  ( I )  concernant l’explication de  la conversion avec un tableau  dit « simplifié »   doit vous  servir à comprendre le déplacement de la virgule ,mais vous retiendrez  la démarche du chapitre   II   ( il faut savoir dessiner le tableau et  énoncer la procédure de conversion )  .

 

II - 1  ) Première  démarche explicative sur la méthode de conversion  en utilisant le tableau « non simplifié » :

œ

 

A) Tableau  de type  « non simplifié » : « à gauche » de la virgule se trouve l'unité choisie (ou désignée) à droite de la virgule se trouve la partie décimale de l'unité choisie ou désignée )

 

 

Pour apprendre l’exploitation du tableau , on applique, dans ce qui suit,  la méthode utilisée dans les conversions d’aire.

Ici une sous- colonne "virgule" sépare les « unités », dans cette colonne se déplace la virgule.

 

 

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

dm3

 

cm3

 

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B )  Procédure permettant de transformer l ' unité de volume  en multiples ou sous multiples à partir d'une grandeur donnée.

Info plus

 

Exemple de conversion        32,24 dam3= ? ……..dm3

Pour remplir le tableau en vue de faire une conversion il faut respecter la procédure  suivante:

 

1°) placer la virgule du nombre donné sur le trait vertical "droit" de l'unité donnée.(  da m3 ,  )

km3

 

hm3

 

dam3

 

,

m3

 

dm3

 

cm3

 

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) placer les chiffres du nombre dans en respectant  l ' ordre donné :

km3

 

hm3

 

dam3

 

,

m3

 

dm3

 

cm3

 

mm3

 

 

 

 

 

 

0

0

3

2

2

4

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

i maintenant que  la "grandeur" est placée dans le tableau ,la conversion peut se faire simplement:

 

3°) il faut déplacer le virgule  ; la mettre sur le trait vertical "droit" de l' unité "demandée "  (d m3 , ) compléter de "zéros" éventuellement !

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

dm3

 

,

cm3

 

mm3

 

 

 

 

 

 

0

0

3

2

2

4

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

4° ) il suffit de reporter le résultat  , (lu sur le tableau )

32 , 24 dam  3  =   32 240 000 , 0   soit   32 240 000 dm3

remarque : la virgule est dite « flottante » ;elle se trouve toujours sur le trait vertical "limite droite" de l 'unité concernée.

 

 

II - 2  ) Procédure à retenir sur l ’ exploitation  du tableau pour effectuer une conversion:

œ

Dans le tableau type suivant  , la virgule se déplace sur le trait vertical séparant les colonnes .

 

Exemple : faire la  conversion        32,74  dam ²     = …? ……..dm²

 

Solution  :   il faudra  respecter l’ordre chronologique suivant :

 

 

Partie entière

Partie décimale

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Reprise de l’activité précédente :    

Convertir  32 , 74 dam  3  en  …..   dm3

procédure : Après avoir tracé le tableau :

1°) Placer la virgule sur le trait vertical « droit » des dam 3

Bulle ronde: La virgule se « déplace » toujours sur un trait vertical 2°) Placer les chiffres   : 2 ; 3 ; 7 ; 4  (pour des raisons pratiques  et éviter des erreurs d’oubli  il faut placer les chiffres en partant de la virgule en allant de droite à gauche pour la partie entière   et de gauche à droite pour la partie décimale )

3°) Remplir les cases vides de « 0 »

4°) Déplacer  la virgule sur le trait vertical « droit » de l’unité demandée.

5°) Rendre compte .

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

3

2

7

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

(3)

(4)

 

 

0

0

3

2

7

4

0

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Résultat :    

 

   32,74 dam 3  =  32 740 000 dm 3

Mais aussi :

32,74 dam 3  =  32 740 000 dm3  = 32 740 m3  = 0,032 74 hm3  = 32 740 000 000 000 mm3

= 32 740 000 000 cm3

 

Activités 1 :

 

1°)   Placer  1 765 , 798  m3   ; 5,3 m3  ; 78 507 dm3  ; 2854 cm3  ; 5 832 mm3

dans le tableau  ci - dessous : ( tracer autant de lignes que d’exercices  de conversion )

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

dm3

 

Cm3

 

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 1 765 , 798  m3   ; 5,3 m3  ; 78 507 dm3  ; 2854 cm3  ; 5 832 mm3

 

Activités 2 :

Convertir :

 1 765 , 798  m3   en   ………………………………dm3

 5,3 m3       = ………………………..dm3

 78 507 dm3 =  ……………………m 3

 2854 cm3    = ……………………m3

 5 832 mm3  = …………………….cm3

 

 

Activité 3 : Convertir  successivement : ( il suffit pour trouver les conversions  successives de  déplacer la virgule et de relever le résultat .

 1 765 , 798  m3   en   ………………………………dm3

 1 765 , 798  m3   en   ………………………………dam3

 5,3 m3 = ………………………..dm3  = ……………………cm3 ;

 78 507 dm3 =  ……………………m 3 = ……………………cm3;

 2854 cm3  = ……………………m3 =……………….dm3 = …………….mm3 ;

 5 832 mm3  = …………………….cm3  = ……………………………….dm3

 

 

= Préambule « CAPACITE » :puisque 1 dm 3  est égal à 1 litre , nous mémoriserons  le tableau   des  valeurs équivalentes ci dessous :

 

dm3

cm3

mm3

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

B ) Mesure de capacité :

i CD

 

=Instruments de mesure :

 

a ) Les mesurent pour les liquides

 

Les mesurent pour les liquides sont en étain ; le cylindre a une hauteur double de son diamètre . Les dimensions du litre sont « diamètre » : 86 millimètres ; hauteur :172 mm.

 

 

b ) Les mesurent pour les matières sèches

 

Pour les matières sèches , telles que les grains , les mesures sont en bois . La hauteur du cylindre est égale à son diamètre .

La rafle , est une planchette , elle sert à niveler , à retirer le surplus.

 

=Une autre  unité de volume  est  utilisée pour mesurer des liquides . Cette unité de capacité appelée :  le litre .   1 litre = 100 cl   ( = 1 dm3  )

Le tableau de conversion :

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=  Activités : pour vous amuser vous rechercherez  les volumes donnés  pour les récipients  ci dessous  ,  ensuite vous les convertissez  dans l’autre unité  :

Nom du récipient

Donnez les capacités en  :    l  ; dl , cl , ml

Exemple : 1Demi de bière

 0,25 l ;    2,5 dl ;   25 cl   ; 250 ml

Une cuillerée à café

 

Une cuillerée à soupe

 

Une tasse à café

 

Une assiette à soupe

 

Un bol

 

Une brique de jus de fruit.

 

Verre à eau

 

Verre à vin

 

Bouteille de vin

 

Bouteille d’eau

 

Flacon de parfum

 

Un seau d’eau

 

Une baignoire

 

Un cumuls d’eau chaude

 

Un réservoir de carburant.

 

 

 

 

 

A  vous de compléter le tableau ! ! !

 

puisque   1 l  = 1 dm3 , nous pouvons insérer le tableau précédent dans le tableau des « volumes cubes»

m3

dm3

cm3

 

 

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

C) CONVERSIONS  :  passage d’une capacité à un volume « prismatique » 

Info plus.

 

=     Puisque 1 dm 3  est égal à 1 litre , nous mémoriserons  le tableau   des équivalences ci dessous :

 

dm3

cm3

mm3

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

=  Activités : Reprendre les valeurs trouvées ci - dessus  et pour vous amuser vous rechercherez  les volumes donnés  pour les récipients  ci dessous  ,  ensuite vous les convertissez  dans l’autre unité  :

Nom du récipient

base le dm=  ….. cm3= ……. m m3

Capacité :     L ; dl , cl , ml

Exemple : 1Demi de bière

 =    0,25 dm; 250 cm3 , 250 000  m m3

 0,25 l ; 2,5 dl ;25 cl ; 250 ml

Une cuillerée à café

 

 

Une cuillerée à soupe

 

 

Une tasse à café

 

 

Une assiette à soupe

 

 

Un bol

 

 

Une brique de jus de fruit.

 

 

Verre à eau

 

 

Verre à vin

 

 

Bouteille de vin

 

 

Bouteille d’eau

 

 

Flacon de parfum

 

 

Un seau d’eau

 

 

Une baignoire

 

 

Un cumuls d’eau chaude

 

 

Un réservoir de carburant.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=Le tableau suivant  doit être mémorisé :  ( attention : puissance « 3 » ; 3 sous colonnes par unité considérée)

 

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

Remarques :

 conversions à savoir faire  mentalement .

1 litre =  10 dl = 100 cl = 1000ml =  1 dm3 = 1000 cm3

1 dl =  0,1 l  = 100 cm3  =   10 cl = 100 ml ; ……

1cl = …….l =  …… cm3  =   ……….dl = …………. ml .

Il faut savoir reproduire le tableau ci dessous  ( d’abord  sur papier ; puis mentalement )

 

Les corrigé sont à la fin du cours .

 

III ) LES 3 SOLIDES USUELS : 

CUBE ; PARALLELEPIPEDE RECTANGLE ; CYLINDRE .

:Info +  Cd

 

 

 

A ) LE  CUBE :

:Info +  Cd

 

 

1°) description  du cube .

:Info +  Cd

 

Les faces :

6  faces  carrées :  Les faces  opposées sont parallèles deux à deux  et  les faces ayant une arête commune sont perpendiculaires .

Chaque face étant un carré  , les arêtes opposées  d'une face sont parallèles .

 

Les arêtes :

 

Il possède 12 arêtes   de même longueur .

Les arêtes  aboutissant à un même sommet sont perpendiculaires deux à deux .

 

 

Les sommets :

Il a  8 sommets.

 

* 3 arêtes aboutissent à chaque sommet .

 


 

2° ) représentation du cube en perspective cavalière .

:Info +  Cd

Exemple:  de représentation en perspective d'un cube

 

INFORMATION sur la Perspective cavalière :

(en perspective cavalière la « vue de face » est en vraie grandeur)

C’est la perspective dont l’exécution est la plus simple ; elle convient très bien aux dessins rapides , mais elle déforme sensiblement l’objet représenté.

Principe :

Toutes les faces frontales sont dessinées en vraie grandeur.

Toutes les arêtes non frontales se  dessinent  suivant des « fuyantes » inclinées d’un même angle µ  (lire : angle alpha) et sont réduites dans un rapport appelé :

 «  coefficient de réduction »

La perspective  cavalière d'une figure est caractérisée par  l'angle µ ( alpha) et le coefficient "k" .

- Le parallélisme  est conservé : les arêtes parallèles  sont représentées par des  segments parallèles .

-          les fuyantes , ou lignes de fuite , parallèles  entre elles  font un angle µ avec l'horizontale .

Par exemple : sur les fuyantes , avec k = 0,6 , une arête de longueur 5 cm est représentée par un segment de longueur : 3 cm  ( 5 cm fois 0,6 )

 

 

3°) développement  du cube .

:Info +  Cd

Prenons le cube  suivant ( les sommets sont repérés par des lettres):

 

 

Ci dessous on obtient le "développement" du cube ci- dessus . la figure obtenue  est aussi appelée : patron.

 

2 bases et une surface latérale   ( 4 carrées alignés)

 

Pour se souvenir :

Si le cube est une pièce d'habitation .

La base 1 est la face supérieure  c'est le plafond ; la base 2 est la face inférieure , c'est le sol de la pièce  .

La surface latérale  est le développement des murs .

 

 

 

 

 

4° ) Aire et volume.

:Info +  Cd

Les  arêtes ont la même longueur .

Si  la  longueur de l'arête est notée  "a" .

Aire latérale  ( 4 faces )  :    A = 4 a²

Aire totale   ( 6 faces)    :    A = 6 a²

Volume du cube  :     V = a3

 

Application :

Un cube  a   une arête de  longueur   "a  = 30 mm"

Calculer :l' aire latérale ( en  mm² et cm² ) , l'aire totale  ( cm²)  , le  volume du cube ( mm3  puis cm3 ) .

Solution :

Aire latérale  ( 4 faces )  :  

   A = 4 a²  ;  A = 4 fois 30 fois 30 = 4  30 30 =  3 600 mm²  ; ou   36 cm²

Aire totale   ( 6 faces)    : 

  A = 6 a²   ;  A = 6 fois 3 fois 3 = 6  3 3 =  54  cm²

Volume du cube  :  

  V = a3    ; V = 303030 =   27 000 mm3   ou  27 cm3


 

B ) LE  PARALLELEPIPEDE RECTANGLE :

Info + Cd

 

 

1°) description

:Info +  Cd

 

Il possède 6 faces :

Les deux faces horizontales sont les bases.

Les quatre autres faces sont dites « latérales »(l’ensembles des quatre faces assemblées est appelé : surface prismatique )

Il possède :

 8 sommets : A ; B ;C ;D ;G ;H  ; E ; F

 12 arêtes : ce sont les bords des faces qui le limitent ,(on dit aussi  « intersection de deux plans » )

Ce dessin est une perspective cavalière

Les faces sont des rectangles .

 

                        Comme pour le cube , les arêtes aboutissant à un même sommet sont perpendiculaires deux à deux , les faces opposées sont parallèles deux à deux  et les  faces ayant  une arête commune sont perpendiculaires .

 

Chaque face étant un rectangle , les arêtes opposées d'une même face sont parallèles .

 

2°) représentation en perspective cavalière.

:Info +  Cd

 

( voir la perspective d'un cube)

 

Pour effectuer la perspective cavalière du parallélépipède rectangle  il faut connaître  comme dimensions : la longueur , la hauteur  , la largeur , ( ou profondeur) , le coefficient "k" , et l'angle alpha . Procédure :  tracer la face en vraie grandeur , puis les fuyantes inclinées de alpha par rapport à l' horizontal . Calculer la longueur des fuyantes , limiter la longueur des fuyantes , tracer les verticales .

 

Activité  :

De la même façon que pour le cube , représenter en perspective cavalière un parallélépipède rectangle de longueur  7 cm  , de largeur  5 cm et de hauteur 3 cm avec un angle "alpha" =  45 °  et  "k"  = 0 , 6

 

 

3° ) développement

:Info +  Cd

L’enveloppe  du parallélépipède  peut se « déplier » sur un plan .

La figure obtenue s'appelle  le "patron" du parallélépipède.

4° ) Aire et volume.

:Info +  Cd

Si  l'on assimile le parallélépipède à  la forme d'une pièce d' habitation :

Une base est le plafond ; l'autre base est le sol ; les parois verticales sont les côtés latéraux .

 

La longueur est  notée :   L  ; la largeur  : l :  la hauteur :  h .

 

Formules :

 

Aire latérale ( somme des aires des côtés latéraux ) : 

                                  A l   =  2 h ( L + l )

Aire totale  ( somme des aires des côtés latéraux et des bases ) :

                                  A t  = 2 h ( L + l )  + 2  L l

Volume du parallélépipède rectangle  :  

                                  V =  L l h

 

Remarque : pour les calculs  les dimensions doivent être exprimées dans la même unité de longueur .

 

Activités « calculs »:

Un parallélépipède rectangle  a pour dimensions :  L =  7,5 cm ; l = 50 mm ; h = 0,2 dm .

Calculer  l'aire  latérale , l'aire totale ( exprimées en  cm² et mm² ) et le volume ( exprimé en mm 3  et cm3 ).

Solution : 

1°) on convertit dans la même unité  ( cm)  les dimensions :

L =  7,5 cm =  ; l = 50 mm = 5 cm  ; h = 0,2 dm = 2 cm .

2°) Aire latérale ( somme des aires des côtés latéraux ) : 

      A l   =  2 h ( L + l ) =  2 2 ( 7,5 + 5 ) = 50 cm²  ; =  5000 mm²

3°) Aire totale  ( somme des aires des côtés latéraux et des bases ) :

     A t  = 2 h ( L + l )  + 2  L l   =   2 2 ( 7,5 + 5 ) + 2  7,5  5 ;

       = 50 + 75 cm²  =  125 cm²

4°)  Volume du parallélépipède rectangle  :  

            V =  L l h  =  7,5 5  2 = 75 cm3

 


C )  LE CYLINDRE

:Info +  Cd

 

 

1° ) description

:Info +  Cd

               Le cylindre est obtenu en faisant tourner  le rectangle  OAA'O' autour de l'axe ( OO')

 

caractéristiques :

- le rayon est la largeur du rectangle :   r  = lg [OA] = lg [O' A']

- la hauteur   "h" est la longueur  du segment A A'  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) représentation en perspective cavalière .

:Info +  Cd

 

Les bases  du cylindre  sont des disques . En perspective ces disques  sont des "ellipses" .  ( voir le tracé des  ellipses )

 

Ellipse : base

 

3° ) développement

:Info +  Cd

Le développement du cylindre se compose d'un rectangle dont la longueur  ;

L = 2p R et la largeur "l = h "  et de deux disques  dont un porte le nom de "base" , l'autre  étant la face supérieure .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°)  Aire et volume.

:Info +  Cd  et Pré requis: aire du disque

 

Voir le dessin ci dessus :

 

La hauteur étant notée : "h" et le rayon : "R"

 

L'aire latérale :  A l = 2p R h .

 

L'aire de la base ( et de la face supérieure ) : A  b =  p R ²

 

L'aire totale  ( l'aire latérale + l'aire des deux disques) = 2p R h  +  (2p R ² )

 

Volume  :  V  = aire d'une base  hauteur ;   V =   p R ² h

 

Remarque  importante : ne pas oublier d' homogénéiser les unités de longueurs!!

 

Application:

Un cylindre a pour  dimensions : h = 110 mm  et     R =  52 mm  ; prendre pi = 3,14

Calculer L'aire latérale  ( en mm² et cm² ) ; L'aire de la base ( en mm² et cm² ); L'aire totale ( en mm² et cm² ); le volume ( en mm3 et cm3 ).

Solution :

a) L'aire latérale :

  A l = 2p R h .  ; A l = 2 3,14  52  110   =   35921,6 mm² ou   359 , 216 cm²

b) L'aire de la base ( et de la face supérieure ) :

 A  b = 2p R ²  ; = 2 3,14  52  52  = 16981,12  mm² soit   169 ,8112 cm²

c) L'aire totale  ( l'aire latérale + l'aire des deux disques) :

   A t = 2p R h  + 2 (2p R ² ) 

         = 35921,6 + 16981,12 =52902,72 mm²  ou 529, 0272 cm²

d)  Volume  :  V  = aire d'une base  hauteur ;

  V = 2p R ² h ;    2 3,14  52  52  110  = 1867923,2 mm3  ou 1867,9232 cm3

 

Corrigé des activités :

1°) solutions :

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

,

,

dm3

 

 

 

,

cm3

 

 

 

 

,

mm3

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

7

6

5

7

9

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

5

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

8

3

2

Solutions : on reprend le tableau  rempli dans  l’activité 1

On fait dans l’ordre : On complète de zéro ; on retire la virgule ; la déplacer dans la colonne de  droite de l'unité  demandée.

 

 

 

km3

 

hm3

 

dam3

 

m3

 

 

 

,,

dm3

 

,,

 

cm3

 

 

 

 

 

,

mm3

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

7

6

5

7

9

8

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

5

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

7

8

5

0

7

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

2

8

5

4

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

0

5

8

3

2

1 765 , 798  m3   = 1  765  798 dm3 ;

5,3 m3 =  53 000 dm3

 78 507 dm3 =  78, 507 m 3

 2854 cm3  = 0, 002 854 m3

 5 832 mm3  = 5 , 832 cm3

 


 

IV )  FORMULAIRE 

:Info +  Cd

 

Cube

 

Parallélépipède rectangle

 

Prisme droit

 

Cylindre de révolution

 


 

 

 

 

 

Corrigé : Une cuve à fuel, en tôle, a la forme d’un cylindre de révolution ayant 2 m de diamètre  et 3,50 m de long. La surface latérale a été mise en forme et soudée suivant l’une de ses génératrices. Les deux bases sont assemblées à la surface latérale par soudure.

Calculer :

a)       la longueur totale du cordon de soudure nécessaire à la réalisation de la cuve. Périmètre de base circulaire : 3,14 fois 2 = 6,28 , soit 6,28 m ; la longueur totale du cordon de soudure : ( 6,28 fois 2) + 3,5 = 16 ,06 , soit 16,06 m;

b)       L’aire de l’une des bases. 3,14 fois 1² = 3,14 fois 1 = 3,14  soit 3,14 m².

c)       L’aire latérale de la cuve. 6,28  fois 3,5 = 21,98 , soit 21,98 m²

d)       La surface de tôle nécessaire à la construction de la cuve ; 21,98 + ( 3,14 fois 2) = 21,98 + 6,28 = 28,26

e)       Le volume de la cuve  en m3 et la capacité en litres ;3,14 fois 3,5 = 10,99 soit 10,99 m3 ; capacité en litres : 10,99 m 3 , 10990 dm3 soit 10 990 litres.

f)       La masse de fuel contenue dans la cuve pleine ( masse volumique du fuel : 850 kg/m3 ) : 10,99 fois 850 = 9 341,5 , soit 934,5 kg.

On prendra :  π = 3,14 . On effectuera les calculs à 0,01 près par défaut.

Masse volumique :

 

Une pyramide dont la base est un triangle équilatéral de 15 cm de côté , a un volume  de 1 732 cm3 . Calculer sa hauteur.

Hauteur du triangle de base :  h’ = 15 fois (racine de 3)  sur 2.=

Aire de la  base :

B  =  15 fois 15 fois (racine de 3)  sur 2. fois 1 demi.

5

Calcul de la hauteur de la pyramide :

 

  ou  3 V = B fois h   soit    

 

 

 

3

En prenant pour aire 50 cm² et pour épaisseur 3 mm, calculer la masse de la pièce ( masse volumique du métal : 7600 kg/ m3 

Volume de la pièce : V = 50 fois 0 ,3 soit 15 cm3  .

La masse volumique du métal est de 7600 kg / mètre cube . ou 7,6 kg par décimètre cube ; soit  7,6 g / c m3 : masse de la pièce = 7,6 fois 15 = 114   soit 114 g ou 0,114 kg.

 

 

et cm3 ).