Les sommes algébriques.au collège en classe de 4ème

Juin 2014		Niveau : Classe de collège : 4^ème

Pré requis:		Voir programme de collège 4^ème
Objectifs les égalités : vocabulaire 1EG1
égalités les égalités : vocabulaire 2 EG2
Expression algébrique (niveau 2)

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX : warmaths

Objectif précédent :

1°) Développer ……

2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »

Développer (suite )

· Liste des cours d’algèbre.

· Aller vers le corrigé

	DOSSIER : LES SOMMES ALGEBRIQUES
	Fiche 1 –Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres .
	Fiche 2 -Calcul d’une somme de deux nombres (relatifs) écrite sous forme simplifiée.
	Fiche 3 : Les sommes algébriques.
	Fiche 4 : Nouvelle écriture de l’opposé d‘un nombre relatif.
	Fiche 5 : Des lettres dans une somme algébrique.
	Fiche 6 : Des parenthèses dans une somme algébrique.
	Fiche 7 : (après les parenthèses) Cas des crochets .
	Fiche 8 : Exemples d’utilisation des nombres relatifs et des sommes algébriques :les moyennes .
	Fiche complémentaire : Calcul des coordonnées du milieu d’un segment.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Fiche 1 –Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres .

Info @ ++

(Faîtes bien attention, savoir simplifier c’est savoir remettre sous la forme non-simplifiée)

Vous savez que, par exemple, le nombre relatif ( + 27) peut s’écrire « 27 » et que dans certaines circonstances , ( - 43 ) peut s’écrire « - 43 »

En utilisant le fait que « a – b = a + Opp. b ou que « a + b = a – Opp. b , vous avez vu en classe de « 5^ème » comment simplifier l’écriture d’une somme ou d’une différence.

( mais , attention, savoir simplifier c’est aussi savoir ré- écrire la forme non-simplifier , sinon vous risquez de commettre des erreurs ….°

Ainsi :

( +3 ) + ( + 7)

s’écrit 3 + 7

De même.

( - 13 ) + ( + 2 7)

s’écrit :

( +9 ) + ( - 7)

s’écrit 9 - 7

De même.

( -39 ) + ( - 67)

s’écrit

( +5 ) - ( + 9)

s’écrit 5 - 9

De même.

( - 69 ) - ( - 17)

s’écrit

( + 6 ) - ( - 3)

s’écrit 6 + 3

De même.

(- 28 ) - ( - 87)

s’écrit

Activités n°. : Simplifiez de même l’écriture des sommes suivantes . ( Ne pas effectuer le calcul ) ;

( -26 ) + (- 78 ) =

(+ 36 ) - ( - 93 ) =

(+85 ) - (+ 43 ) =

( -13 ) - (+ 55 ) =

(+57 ) + ( -23 ) =

( - 73 ) - ( - 47 ) =

( ) + ( ) =

( ) - ( ) =

( ) + ( ) =

( mais , attention, savoir simplifier c’est aussi savoir ré- écrire la forme non-simplifier , sinon vous risquez de commettre des erreurs ….°

Activités n° .. : Transformer les écritures simplifiées en écriture dite « algébrique »…

-26 – 78 =

36 +93 =

85 - 43

-13 – 55=

57 – 23 =

- 73 + 47

Fiche 2 - Calcul d’une somme de deux nombres (relatifs) écrite sous forme simplifiée.

Info @ +++

Cas 1 : Les nombres sont séparés par le signe « + ».

Opération :

Commentaire :

C’était l’écriture algébrique…..

Calcul :

25 + 43

Ce calcul ne présente aucune difficulté ….

( + 25 ) + ( + 43 ) =

25 + 43 = ……..

-15 + 52

C’est la somme de …. Et de …….

( - 15 ) + ( + 52 ) = ( + (52-15))= ( + 37)

-15 + 52 = ……………………….

-76 + 39

C’est la somme de …. Et de …….

( -76) + ( +38) = ( - ( 76 – 39 ) ) = ( - 37)

-76 + 39 = …………………………….

Dans les calculs (1) et (2) nous sommes en présence de la somme de deux nombres relatifs ( @) de signe contraire.

Cas 2 : Les nombres sont séparés par le signe « - ».

Opération :

Commentaire :

C’était l’écriture algébrique…..

Calcul :

31 – 86

C’est la somme de …. Et de …….

( +31) + ( - 86) = ( - ( 86 – 31) ) = ( - 55 )

31 – 86 =……….

75 – 32

C’est la somme de …. Et de …….

( + 75 ) + ( - 32 ) = ( + ( 75 – 32) ) = ( + 43 )

75 – 32 = ……..

-18 - 43

C’est la somme de …. Et de …….

( - 18 ) + ( - 43 ) = ( - ( 18 + 43 )) = ( - 61)

-18 – 43 = ………..

-65 - 27

C’est la somme de …. Et de …….

( - 65 ) + ( - 27) = ( - ( 65 + 27) ) = ( - 92)

-65 – 27 = …………

Vous constatez que dans tous les cas , on est ramené à une « addition ».

Tout se passe comme si l’on avait sous – entendu un signe « + » (plus) entre les deux nombres .

Ainsi « -74 +35 » n’est autre que « ( - 74) + ( + 35) .l’écriture « -18 – 43 » n’est autre que l’écriture « ( - 18) + ( - 43) ».

Vocabulaire : On pourra donc parler de « somme » même s’il y a un signe « - » (moins) entre les deux nombres.

Méthode pratique de calcul d’une somme de deux nombres dits « relatifs ».

Info ++

Le calcul « 75 + 32 » ne pose pas de problème,……..le résultat est le nombre « ( + 107) »

Il reste 5 types de difficulté :

Difficulté n°1

Difficulté n°2

Difficulté n°3

Difficulté n°4

75 – 32

-15 + 53

33 - 87

-19 - 47

Puisque 75 > 32 , vous pouvez faire la soustraction

Dans ce cas et en considérant que l’opération est une addition et comme l’addition est commutative , alors « -15 + 52 = 52 – 15 », on est ramené à la difficulté 1 .

Dans ce cas , vous savez que l’opposé de « 33-87 » est « 87-33 », or « 87-33 » se calcule facilement , « 87 – 33 = …… » donc « 33-87= ….. »

De même

Pour découvrir un début de solution il faut transformer les écritures précédentes en écritures algébriques……..

( +75) + ( – 32)

( -15) + ( + 53)

( +33) + ( - 87)

(-19) + (- 47)

Difficulté n°5 : - 76 + 43

De même l’opposé de « -76 + 43 » est « 76 – 43 ».

Or : 76 – 43 = 33 , donc - 76 + 43 = - 33

Remarque : : - 76 + 43 s’écrit sous la forme d’une somme algébrique : « ( -76) + ( + 43) »

Nota : pour réussir tous ces calculs il faudrait travailler les objectifs de formations proposés ici @ ….

Activité :n°1…(sur copie)

Faire les exercices proposés :

1°) En passant par les « opposés » quand cela est nécessaire.

2°) En passant par la transformation en somme algébrique.

24 – 36 = …………..

- 43 – 37 = …………….

-79 + 26 = ……….

-61 + 61 = ……….

56 + 27 = ……………

59 – 33 = …………….

-15 – 67 = ………….

- 37 + 97 = ………..

Activité :n°2…(sur copie)

Calculez , comme ci –dessus…

8 + 2 = ………….

8 – 2 = …………….

-8 + 2 = ………….

-8 – 2 = …………..

2 + 8 = …………..

2 – 8 = ……………

-2 + 8 = …………….

-2 - 8 = ………….


Fiche 3 : Les sommes algébriques.			Info ….@..voir les définitions..

Aux fiches 1 et 2 , on a simplifié et calculé des sommes de deux termes. Il est possible de faire de même pour des sommes de plusieurs termes. Ainsi : A = ( +8 ) + ( - 5 ) + ( - 7 ) + ( + 6 ) s’écrit : A = 8 – 5 ………………… De même B = ( + 9 ) – ( - 3 ) + ( - 8 ) – ( + 7 ) s’écrit B = 9 + 3 ………….. A = 8 – 5 - 7 + 6 et B = 9 + 3 – 8 – 7 sont appelées des expressions algébriques (mais on les appelle couramment aussi : « sommes algébriques »)
· Vous pouvez calculer « A » et « B » comme dans la fiche 2 ( en faisant les calculs de gauche à droite).
	A = ………. - 7 + 6			B = ……. – 8 – 7
	= …… - 7 + 6			= … - 8 - 7
	= - 4 + 6			= 4 - 7
	= + 2	A = 2		= - 3	B = - 3

Activités N° ..: Donnez l’écriture simplifiée de « C » et « D » puis calculez les sommes simplifiées (comme précédemment )
C = ( + 6 ) + ( - 8 ) – ( - 9 )+ ( + 4 )- ( +7 ) + ( - 1 ) = …………………………… =
D = ( - 0 ,9 ) + ( 2 , 4 ) – ( - 5,3 ) – ( + 3 , 5 ) = …………………………………. =

Ci-dessous avec des nombres entiers			Ci-dessous avec des nombres décimaux.
E = 9 – 5 + 4 – 8 + 6 – 7 = ………			G = - 4,3 – 7,3 + 8,5 – 2,3 + 3,7 =……….
F = - 4 - 5 + 9 – 7 + 8 – 2 = ………………			H = 3,9 - 2,1 + 0,6 – 4,5 + 5,2 =………..

A ) Autre méthode de calcul d’une somme algébrique.
Une somme algébrique pouvant être considérée comme une succession d’additions et l’addition étant commutative, on peut alors changer l’ordre des termes. Ainsi : C = 5 – 8 + 9 + 4 – 7 – 1 peut s’écrire C = -8 + 4 – 7 + 5 – 1 + 9 ou C = …………………………….. · De plus , l’addition étant associative , il est possible de regrouper d’une part les termes précédés du signe « + » et d’autre part, les termes précédés du signe « - » Ainsi : C = ( 9 + 5 + 4 ) + ( - 8 – 7 – 1 ) , poursuivez le calcul : C = ( ….. ) + ( ……. ) = ……… · Le regroupement peut se faire mentalement . On écrira alors directement : J = 44 – 27 + 12 – 37 – 49 + 17 = ( ……) + ( ……) = ………. K = 44,3 – 27,5 + 12 ,6 – 37,3 – 4,9 + 1 , 7 = ( ……) + ( ……) = ……….
B ) Simplification des opposés.
On fait comme nous l’avons vu , dans la leçon 5 « Fiche 3 », on surligne les opposés.
Ainsi : M = 9 + 2 -4 – 8 + 7 + 4 – 6 + 8 - 9 = ………………………. = ……………. · Faites de même pour N = 2,5 + 5 , 1 – 8,2 + 4 , 7 – 5,1 – 6, 3 + 8,2 = ………….. · On va voir aussi que l’on peut regrouper plusieurs termes : « - 5 – 2 » se simplifie avec « +7 » Ainsi calculez : P = 5 – 9 + 3 – 7 + 4 +2 – 8 + 6 = ………… R = - 6,8 - 2,9 + 3,5 + 5 , 7 - 1,2 + 4,1- 7 , 6 + 2,3 = …….


Fiche 4 : Nouvelle écriture de l’opposé d‘un nombre relatif.
On désigne par la lettre « a » un nombre relatif quelconque , vous savez que « …….. » s’écrit « ……. » et « …….. » s’écrit « ……… » C'est-à-dire que « - ( + 5) = - 5 » et « - ( - 7 ) = + 7 » Ou encore : - ( + 5 ) = Opp ( + 5 ) et - ( - 7 ) = Opp ( - 7) on peut donc dire :
A retenir : Mettre le signe « - » devant un nombre , revient à écrire « …… …….. » de ce nombre.

D’une manière générale, « a » désignant un nombre relatif,			« - a = Opp ( a ) »
ATTENTION :
On vous propose 2 phrases , l’une est vraie l’autre est fausse , encadrez la réponse vraie , barrez la réponse fausse.
	« - a » est toujours négatif	« -a » n’est pas forcément négatif


	Fiche 5 : Des lettres dans une somme algébrique.

	Dans une somme algébrique dans laquelle figurent des lettres « a » , « b » , « c » ». Ces lettres représentent des nombres relatifs. Exemple : R = 7 + a + 5 – b – c + 3 – a - 8 + b Bien qu’il y a des lettres précédées du signe « - » , on peut dire que « R » est une somme. En effet , « 7 – b » n’est autre que « 7 + Opp (b) c'est-à-dire « 7 + ( - b ) ». Ø Pour calculer « R » , on additionne les nombres écrits en chiffres ( voir l’exemple dans la fiche 3) et pour les lettres, on additionne les opposés en remarquant que « a – a = ….. » et « b – b = ……. » Vous trouvez : R = …….
	Ø Calculez de même : T = – 7 + 4 – + 9 + – – 8 + = ………… ………………….. V = - n – 9 + 3 – m + 7 + n – 6 + m – n + 2 = …………………………..

Fiche 6 : Des parenthèses dans une somme algébrique.

Info @ calculs….

Rappelons la règle étudiée en classe de « 5^ème . » . cette règle s’applique aussi aux lettres.

A retenir :

Dans une somme algébrique contenant des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe situé devant , à condition :

- De ne rien changer si le signe précédant les parenthèses est …………

- De changer les signes situés à l’intérieur des parenthèses si le signe situé devant est …« ……….. » ….

Activités n°1….. : En appliquant la règle ci-dessus, supprimez les parenthèses (sans effectuer de calcul).

9 + ( 6 – 7 + 8 ) =

6 - ( 3 + 7 – 4 ) =

5 + ( - 8 + 2 – 7 ) =

– ( – – ) =

+ ( + – ) =

2 – ( - 9 – 7 + 6 ) =

+ ( - - + ) =

- ( - + – ) =

Activités n°.2.

On vous demande de calculer « B » de deux façons différentes :

1°) Vous effectuez les calculs indiqués (Vous faîtes d’abord le calcul dans les parenthèses).

2°) Vous supprimez les parenthèses avant d’effectuer les calculs.

B = ( - 8 + 9 – 2 ) - ( 5 + 4 – 6 ) + ( 2 – 8 ) - ( - 9 + 4 – 7)

1^ère méthode :

B = ( ….. ) - ( …… ) + ( …… ) - ( …. )

B = ( ….. ) + ( …… ) + (…… ) + ( …..)

B = ( …….. ) + ( ….. )

B = ( ….. )

2^ème méthode :

B = ………………………………………………..

B = ……………………………………………..

B = ………………………

Activité N° 3…

Faites de même pour : C = - ( - 5 + 2 – 6 ) + ( - 7 + 4 – 5) – ( 2 + 8 – 5 ) + ( 7 – 4 + 9 )

1^ère méthode :

C = - ( ……. ) + ( …….. ) - ( ……. ) + ( ……. )

2^ème méthode :

C = + 5 - 2 + 6 - 7 + 4 – 5 – 2 - 8 + 5 + 7 – 4 + 9

C = …………………………………………………………..……

Activité N° 4…

Après avoir supprimé les parenthèses calculez : ( « s » et « n » représentent des nombres).

D = ( + 7 – ) – ( - + 8 + 4 ) + ( - 9 – + 6 ) – ( – 2 – )

D = ……………………………………………………………………..

D =

Etait-il possible de faire cet exercice par l’emploi de la première méthode ? ……….……………

Vous comprenez donc l’utilité de la règle relative à la suppression des parenthèses…

Activité N° 5…( avec des lettres )

Calculez après avoir enlevé les parenthèses ( les lettres , , représentent des nombres )

= ………………………..

Fiche 7 : Cas des crochets.

Info @ ++notions fondamentales +

La règle de suppression des crochets est la même que celle des parenthèses.

Exemple :

A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

Méthodes différentes que l’on vous demande d’ appliquer :

1°) Faîtes les calculs indiqués.(dans chaque parenthèses, puis ……)

2°) Enlevez les parenthèses puis les crochets ( sans effectuer les opérations).

3°) Enlevez les crochets puis les parenthèses ( Sans effectuer les opérations).

4°) Effectuez les calcul du résultat obtenu au « 2°) » ou au « 3°) » .

Méthode 1 : Faîtes les calculs indiqués

A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

A = ( ….. ) + [ (…… ) - ( ……. ) ] - [ ( …….. ) + ( …….. ) ]

A = ( ….. ) + [ ( ……. ) + ( …… ) ] - [ - 5 ]

A = ( …….. ) + ( ……. ) + ( ……. )

A = ( …….. ) + ( …….. ) + ( ……. )

A = ………

Méthode 2 : Enlevez les parenthèses puis les crochets ( sans effectuer les opérations).

A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ …………………………….. ] - [ …………………………….. ]

A = ( 8 – 3 + 6 ) ……………………………………………………………………………

A = ( 11 ) + 7 – 9 – 3 - 2 - 4 + 8 ……………………………..

A = 11 – 3 + 5 = 16 – 3 = 13

Méthode 3: Enlevez les crochets puis les parenthèses ( Sans effectuer les opérations).

A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

A = ( 8 – 3 + 6 ) + …………………………………………………………………………..

A = ( 8 – 3 + 6 ) + ………………………………………………………………………………

Si l’on compare cette dernière ligne avec la dernière ligne « 2°) » on retrouve les mêmes valeurs numériques….

4°) Fin du calcul :

A = …………………………………………………………………………. = ………………………

Activité n° .1.

Faites de même pour

C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6 ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ]

1°) Calculs indiqués :

C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ]

C = …………………………………………….

C = ………………………………………………

C = …………………………..

2°) Suppression des parenthèses puis des crochets.

C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ]

……………………….. …………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………. ;

……………………………………………………………………………………..

3°) Suppression des crochets puis des parenthèses.

C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ]

C = ……………………………………………………………………………….

C = ……………………………………………………………………………

C = …………………………………………………….

C = …………………………………

Activité n° .2.

Calculez (simplifiez) l’égalité « B » ; ( et représentent des nombres.)

· Appliquez la 1^ère méthode : Enlevez les parenthèses puis les crochets.

· Appliquez la 2^ème méthode : Enlevez les crochets puis les parenthèses.

Activité n° 3

C =

Supprimez crochets et parenthèses (dans l’ordre de votre choix)

C = ………………………………………………………………………………………………….

C = ……………………………………………………………………………………………………

Regroupez entre elles les fractions de même dénominateur :

C =

Terminez le calcul (commencez à l’intérieur des parenthèses ) et simplifiez .

…….

Fiche 8 : Exemples d’utilisation des nombres relatifs et des sommes algébriques.

1°) Calculs d’une moyenne .

Info +++ @

(soit une moyenne de note par exemple )

· Moyenne de 12 et 18 : ( 12 + 18 ) 2 = … … = …

· Moyenne de 8 ; 15 ; 4 : ( 8 + 15 + 4 ) 3 = … ….. = …

· Calculez la moyenne de : 11 ; 8 ; 4 ; 18 ; 7 ; 15 ; 9 ; vous trouvez : ……………( ………. ………= ……..)

Remarque 1 : Il est possible que la division « ne tombe pas juste » .

Exemple : faîtes la moyenne de 13 ; 6 ; 18 : ( 13 + 6 + 18 ) 3 = 37 3 ; en faisant la division : on obtient : 12 , 333333333

La division ne se termine pas. Vous obtenez environ : 12 , 33

Dans le cas d’une moyenne de notes , on arrondirait à « 12 » ou « 12,5 »

2°) Moyenne de nombres relatifs.

Moyenne de ; - 3 ; 7 ; - 4 ; 9 ; - 2 ; 5 ; ………………….. ( - 3 + 7 – 4 + 9 – 2 + 5 ) 6 = 12 6 = +2

Remarque 2 :

Il se peut que la somme soit un nombre relatif négatif , dans ce cas , pour calculer la moyenne , vous effectuez la division sans vous occuper du signe et vous attribuez le signe « - » au résultat.

(cette règle sera justifiée dans la suite de cette fiche ) . Exemple ( - 24 3 = - 6 )

· Moyenne de : 1 ; - 9 ; - 7 ; 3 : …. ( + 1 – 9 – 7 + 3 ) 4 = - 12 4 = - 3

Activité n°1..

Calculez la moyenne de : - 7 ; 5 ; - 4 ; - 8 ; - 6 ; 3 ; - 5 ; 2 ………………….vous trouvez : … …. = ……

3°) Autre façon de calculer une moyenne.

Souvent, vous calculez la moyenne de vos notes pour savoir si vous avez plus ou moins de « 10 ».

Supposez que vous avez obtenu les notes suivantes ; 5 ; 12 ; 18 ; 15 ; 9 ; 17 ; 8 ; .

Par rapport à « 10 » : la note « 5 » vous fait perdre « 5 » points, c'est-à-dire « -5 »

Par rapport à « 10 » : la note « 12 » vous fait gagner « 2 points », c'est-à-dire « +2 »

Aussi, complétez le tableau donnant l’écart de vos notes par rapport à « 10 ».

Notes

Somme

Ecarts

.-5

.-1

.-2

←Somme

La somme des gains ou des pertes ( par rapport à « 10 » ) est alors …… « 14 » ……..

Ce gain ( ou cette perte) total est à répartir sur les « 7 » notes.

Votre moyenne est alors de : 10 + ( .. 7 ) = 10 + .. = ….

Vérifiez en calculant la moyenne par la première méthode , vous trouvez : ….. 7 = ….

Remarque 3 :

Dans la deuxième ligne du tableau, si l’on enlève les traits verticaux, on obtient :

.-5

.-1

.-2

= 14

Nous sommes en présence d’une somme algébrique ( les signes d’addition sont en sous-entendus)

Activité n°2 :

On vous demande de calculer la moyenne de : 5 ; 8 ; 14 ; 16 ; 4 ; 12 ; 7 ; 6 .

Ecart de rapport à « 10 » : ……………………… - 5 ; - 2 ; + 4 ; + 6 ; - 6 ; + 2 ; - 3 ; - 4 ; ← soit la somme = - 8

La moyenne est alors de : 10 + ( …… 8 ) = 10 ……. = ……. .. vérifiez par la 1^ère méthode.

- Calculez de même la moyenne de 8 ; 13 ; 15 ;7 ; 1 ;9 ;6 11 ; 3 ; 2 ; vous trouvez …………………. : ………

4°) Calcul mental de la moyenne.

Info +++ @ sur le calcul mental..

Exemple :

Variation des écarts

Notes

Ecarts

-2

-4

sommes

→

Somme finale = +9

La moyenne est alors « 10 + ( ……….. ) = 10 + …….. = ……… . Vérifiez par la 1^ère méthode : ……

Activité n° 3….

Calculez mentalement la moyenne de :

8 ; 6 ; 13 ; 15 ; 7 ; 4 ; 5 ; 2 ; 12 ; …………. vous trouvez : ……………………….

Et calculez la moyenne de :

12 ; 13 ; 5 ; 7 ; 8 ; 15 ; 6 ; 14 ; 16 ; 9 ;8 : .vous trouvez : …………………………

Fiche complémentaire : Calcul des coordonnées du milieu d’un segment.

Info +++@ ..les coordonnées du milieu d’une droite (segment)

I ) Milieu d’un segment sur une droite graduée :

« A » et « B » sont deux points d’une droite graduée.

Le point « A » a pour abscisse ( -3) et le point « B » ( + 7).

Placez sur la droite ci-contre le point « M » milieu du segment noté : [ AB]

Donnez l’abscisse de ce point : M a pour abscisse ( + 2 )

milieu001

Vérifiez que cette abscisse est égale à la demi-somme des abscisse de « A » et « B ».

( C'est-à-dire à la demi –somme des abscisses ) soit

Cas général :

Etant donné deux points « A » et « B » d’une droite graduée et « M » le milieu de [ AB] , appelons « » et « » et « » les abscisses respectives de « A », « B » et « M » et « » la distance de « A » à « B »

On écrit :

AM = MB =

milieu002

En désignant par « B » celui des points qui a la plus grande abscisse, on a :

Exprimons « » de deux façons : ou

On a alors : ; c'est-à-dire :

ou encore :

A retenir .

L’abscisse du milieu d’un segment est égal à la demi-somme des abscisses des extrémités de ce segment .

Activité n°1…

Complétez le tableau suivant :

Abscisse du premier point

-5

-7

Abscisse du second point

-5

-7

-3

Abscisse du milieu.

-5

II ) Calcul des coordonnées du milieu d’un segment .

Soient :

Deux axes de coordonnées : et y’ y.

Ces deux axes sont perpendiculaires et on le même origine « O ».

Le point « A » a pour« coordonnées (+2) , (+ 9) . On écrit A ( 2 ;9).

Le point « B » a pour« coordonnées (+6) , (+ 1) . On écrit A ( 6 ;1).

Le point « M » est le milieu de [ AB] .

Nous allons déterminer ses coordonnées .

Considérons la projection orthogonale sur .

- Le point "A" a pour projeté le point « A’ » sur l’axe .. Donc « A » et « A’ » ont la même abscisse : « …. »

- Le point "B" a pour projeté le point « B’ » sur l’axe .. Donc « B » et « B’ » ont la même abscisse : « …. »

- Le point "M" a pour projeté le point « M’ » sur l’axe .. Donc « M » et « M’ » ont la même abscisse.

D'autre part , puisque « M » est le milieu de [ AB] , son projeté « M’ » est le milieu de [ A’B’]. ( voir la propriété 7 vue dans la fiche « 3 » de cette leçon)

milieu003

Donc l’abscisse de « M’ » est la demi-somme des abscisses de « A’ » et « B’ ».

Donc l’abscisse de « M » est la demi-somme des abscisses de « A » et « B ».

C'est-à-dire ( abscisse de « M ») =

On ferait de même pour les ordonnées, on dira alors :

C'est-à-dire ( ordonnée de « M ») =

A retenir :

Relativement à un système d’axes de coordonnées , pour tout segment, l’abscisse du milieu est égale à la demi-somme des abscisses des extrémités , l’ordonnée du milieu est égale à la demi-somme des ordonnées des extrémités.

Activités n°2 ..

Complétez le tableau ci-dessous :

Coordonnées des 2 points.

( - 5 ; +2 )

( - 8 ; - 1)

( - 5 ; + 3 )

( + 9 ; - 3)

( + 3 ; + 7 )

( + 8 ; - 3 )

Coordonnées du milieu.

( - 6 , - 3 )

( + 5 ; - 5 )

TRAVAUX AUTO FORMATIFS : voir les activités des fiches spécifiques….

CONTROLE:

1° ) Que signifie: Développer ?
2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un développement.
3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.
4 ° )Donner le modèle mathématique sur le développement de ( a + b ) ( c + d )

EVALUATION :

I ) Développer les expressions suivantes :
Série 1	résultat
9 ( 3 + 5 ) = (pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)





Série 2


Série 3



Série 4







a (a b + c²f )

II ) Développer les expressions suivantes et réduire et ordonner quand cela est possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

Série 2	développer	Réduire	Ordonner
( x +1 ) ( x -2 ) =
x +5 ) ( 3x -2 ) =
( -4x +3 ) ( 5 x - 6 ) =

Série 3	développer	Réduire	Ordonner
( x +5 ) ( x + 5 ) =
( x -5 ) ( x - 5 ) =
( x +5 ) ( x - 5 ) =

Série 4

développer

Réduire

Ordonner

( 2x +3 )² =

Voir les I.R.

( -3x +1 ) ² =

Voir les I.R.

Série 5	développer	Réduire	Ordonner
( a + b )² =	Voir les I.R.
( a - b )² =	Voir les I.R.
( a + b ) ( a - b ) =	Voir les I.R.

Développer , réduire , ordonner
A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

Calculer l'aire d'une surface

Longueur

largeur

Rectangle

L = x +a

l = x - b

Développer , réduire , ordonner