Classe de quatrième

 

 

( mai-2014…)

 

 

Programme de 4ème

 

 

 

 

 

 

 

 

Vers le corrigé

Pré requis:

 

·       SEGMENT

·       BIPOINT    

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index    warmaths

Objectif précédent  Sphère metallique

1°) Direction..

2°) Direction et projection.

Objectif suivant :

·       Cours la projection d’une figure Sphère metallique

·       Cours sur les milieux..

1.        Liste des cours sur les projections.

2.         Liste des cours de géométrie.

 

DOSSIER N°    Fiches sur   la  PROJECTION.

 

Fiche 1 : Projection sur une droite selon une direction donnée.

 

 

Fiche 2  Image d’une figure.

 

 

Fiche 3 : Projection d’un segment et du milieu de ce segment .(propriété 7 )

 

 

Fiche 4 : Une utilisation de la propriété ( 7 ) sur « Projection d’un segment et du milieu de ce segment. »

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Projection sur une droite selon une direction donnée.

 

 

 

 

 

 

ci-contre : une droite « d » et une direction «  »  matérialisée par la droite « δ » telle que « d » n’ait pas la direction «  »  .

 

« M » étant un point quelconque du plan , tracez par « M » la droite  de direction «  »  .

( C'est-à-dire la parallèle à « δ »)

 

Cette droite est unique  ( axiome d’Euclide).

Elle coupe  « d » en « M’ ».

( on est certain qu’elle coupe « d » car elle n’a pas la même  direction que « d » )

 

projection001

 

 

Vocabulaire :

-        Le point « M’ » ainsi obtenu est appelé  le projeté de « M » selon la direction «  »  .

-        «  » est la direction de projection.

-        La droite ( M M’ ) est la projection de « M ».

 

Dans ces conditions on dit que :

 

« M’ » est l’image  ( ou le projeté) de « M » dans la projection de « d » selon la direction «  »  .

 

 

 

 

 

projection015

La flèche :  signifie   « à pour image »

M    M ’

Lire : « M » à pour image « M’ »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité n°… :

 

 

Sur la figure  ci-dessous , toutes les droites sauf « d » ont la même direction de «  »  .

Donnez les images des différentes points dans la projection sur « d » de direction de «  »  .

Ainsi : « M’ » étant le projeté  de « M » , on écrira schématiquement : M    M ’

 

 

 

M    …M’.

projection002

 

 

C    ….

 

 

A   ….

 

 

D    ….

 

 

F    ….

 

 

K    ….

 

 

H    ….

 

 

N    ….

 

 

 

 

 

Remarque :

Les points « C » et « D » ont le même … ……Le projeté de « N »    est … ………

Tous les points situés sur une droite de direction «  »   ont le même ……………………

 

 

 

 

 

Activité n° 2 :

 

 

Déterminez les projetés des points « P » , « R » , « S » et « T ». dans les deux cas suivants :

1°) Projection sur « d » de direction « e ».

2°) Projection sur « d » de direction « f » .

Donnez un nom à ces points et complétez  le dessin ci-dessous.

 

 

 

 

 

Projection de direction « e »

Projection de direction     « f »

projection003

 

P    ….

P    ….

R    ….

R    ….

S    ….

S    ….

T    ….

T    ….

 

Activité n° 3 :

 

 

« d 1» , « d2 » et « d3 »  sont des droites de direction  « D ».

« m 1» , « m 2 » et « m 3 »  sont des droites de direction  «  »  .

 

 

projection004

 

 

 

 

 

Donnez le nom du projeté du point correspondant dans les différents cas :

 

 

 

 

 

Projection sur « t » direction « D »

 

Projection sur « f » direction «  » 

 

Projection sur « f » direction « D »

 

A    ….

S     ….

 

R    ….

V    ….

 

K    ….

J    ….

W    ….

G    ….

 

C    ….

B    ….

 

F    …..

A    ….

J    ….

X    ….

 

H    ….

A    ….

 

R    ….

X    ….

C    ….

R    ….

 

J    ….

G    ….

 

M    ….

N    ….

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 2  Image d’une figure.

Info //+++ image d’une figure

 

 

 

 

 

Dans la projection sur « d » selon la direction , l’image de « F » est la figure « F ’ » constituée par l’ ensemble des points qui sont les projetés  des points de « F » .

Dans cet exemple l’image de « F ’ » est   un ……….. …

projection005

 

 

Cas général :

Le projeté d’une figure sur une droite est cette droite toute entière ou une portion de cette droite.

 

 

 

 

 

v Image d’une droite :

 

 

Dans les trois cas ci-dessous , dessinez en rouge l’image des droites  « e », « f » , et « g » dans la projection sur la droite « d » selon la direction  «  »  .

 

 

projection006

projection007

projection008

 


 

 

Fiche 3 : Projection d’un segment et du milieu de ce segment .

Info ++ : Projection et milieu..

 

 

(ce cours débouche sur une propriété qui sera utilisée par la suite sur les milieux …)

 

 

On donne une droite « d » et une  direction  «  »  .

[ AB ]  est un segment de « M » son milieu .

Dans la projection de [ AB ]  sur « d » suivant la direction «  »,  « A » , « B » , « M » ont respectivement pour projeté  « A ‘ » , «  B’ » et « M ’ » .

Déterminez  « A ‘ » , « B ‘ » et « M’ » , dans chacun des cas suivants ci-dessous .

 

 

 

 

 

 

projection010

projection011

 

 

Vous constatez que dans tous les cas , le projeté du segment  [AB]  est le segment  …….. et que le milieu de [ A’ B’] est le point « ….. » qui est le « ………… » de « M », milieu de [AB]   .

Nous énoncerons la propriété suivante que nous admettrons :

 

]

 

Propriété 7 :

Dans toute projection sur une droite suivant une direction donnée, ( la droite n’ayant pas pour direction la direction de la projection), le projeté d’un segment est un segment , le milieu du segment se projette au milieu du projeté de ce segment .

 

 

 

 

 

 

Activité n°… :

Sur la droite « d » , les points « A » , »B », « C » , « D » , « E » , « F » , « G » , « H » déterminent une graduation régulière.

 

C'est-à-dire que « AB = BC = CD = DE = EF = FG =GH ».

En projetant la droite « d » sur la droite « d’ » suivant la direction  «  »  .

 

Les points « A » , »B », « C » , « D » , « E » , « F » , « G » , « H » ont respectivement pour projetés  « A’ » , « B ‘ », « C’ » , « D’ » , « E’ » , « F’ » , « G’ » , « H’ ».

Faites le dessin…..

 

 

projection012

 

 

Que pouvez-vous dire de la graduation ainsi obtenu ?????? ; Dites cela oralement … ;

 

 

Fiche 4 : Démonstration : Une utilisation de la propriété ( 7 ) sur Projection d’un segment et du milieu de ce segment :

 

 

 

 

 

« ABCD » , ci-contre est un trapèze dans lequel ( AD ) et ( BC ) sont parallèles.

On appelle « E » le milieu de [ AB ].

 

Par « E3 on mène la parallèle aux droites ( AD ) et ( BC ).

Cette droite coupe  ( DC ) en « F ».

 

Activité : Achevez la figure .

projection013

 

 

Nous allons démontrer que « F » est le milieu de [ DC ].

 

 

 

 

 

Rappel : Faire une démonstration consiste  très souvent à montrer que le problème que l’on étudie se ramène à une situation connue.

 

Ainsi dans le cas présent , si l’on peut trouver une projection telle que [ DC]  soit le projeté de [ AB ]  et que « F » soit le projeté du point « E » milieu de [ AB ]   , alors on sera  dans la situation de la propriété « 7 » et la conclusion en découlera immédiatement.

 

 

 

 

 

Analyse de la situation :

 

 

Ø Ce que l’on sait par hypothèse .

On écrit ( après traduction)  les données du problème

 

 

 

 

 

Ø Ce que l’on veut démontrer ( conclusion)   :   « F » est le ………………  …..

 

 

 

 

 

Ø Recherche. ( à ne pas écrire dans un devoir )

 

 

Pour faire apparaître la situation de la propriété « 7 », il faut faire intervenir une projection.

 

      On imagine  que l’on projette  la droite ( AB ) sur la droite (DC) , la direction de projection étant celle des droites parallèles  ( AD ) , ( BC ) , ( EF ) .

Le segment [ AB ]  a alors pour projeté le segment ………….……..

« E » étant le milieu de [ AB ]   , on se trouve bien dans la situation de la propriété « 7 » donc le point « F » qui est le projeté du milieu de « E »  de [ AB ]    est le milieu de ……………….……..

 

 

 

 

 

Rédaction de la démonstration.

 

 

( C’est ce que vous devez écrire dans un devoir ) et ( n’oubliez pas de justifier toutes les affirmations)

 

 

Les droites  ( AD ) , ( BC )  et ( EF )  sont parallèles  ( par hypothèse ) elles ont donc même ……………..….

Considérons  la projection de (AB ) sur ( DC ) dont la direction de projection est celles des droites parallèles  ( AD ) , ( B C )  et ( EF ).

 

« A » a pour projeté :  « …… ».. ;  «  B »   a pour projeté  .. « …… »….  ;  «  E »   a pour projeté  .. « …….  »…. 

 

Le projeté de [ AB ]  est donc …………..  . Par hypothèse « E » est le milieu de ………………  .

D’après la propriété « 7 » (vu dans la fiche « 3) , le milieu de « E » de [ AB ]   se projette au milieu de ……………..  ……or, le projeté de « E » est   ………. ».., donc « F » est …le milieu de ……………….. 

 

 

 

 

 

Activité n°….

 

 

 

 

 

Les droites « d » et « d’ » sont deux droites parallèles.

« A » est le point de « d » , « A’ » un point de « d’ » .

 

Soit « O » le milieu de  [ AA’ ]  . Placez ce point.

 

Une droite passant par « O » coupe « d » en « B » et « d’ » en « B’ ».

Démontrez que « O » est le milieu de   [ BB’ ] 

projection014

 

 

Plan de la Démonstration :

 

Hypothèse :…………..

 

 

 

Conclusion : ……………………………

 

 

 

 

 

Démonstration :

 

Considérons la projection de ( AA’)  sur ( BB’) dont la direction de projection est ……………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bsp;