Fiche 1 : Projection sur une droite selon une direction donnée.

Fiche 2  Image d’une figure.

Fiche 3 : Projection d’un segment et du milieu de ce segment .(propriété 7 )

Fiche 4 : Une utilisation de la propriété ( 7 ) sur Projection d’un segment et du milieu de ce segment.

Fiche 1 : Projection sur une droite selon une direction donnée.

ci-contre : une droite « d » et une direction «  »  matérialisée par la droite « δ » telle que « d » n’ait pas la direction «  »  .

« M » étant un point quelconque du plan , tracez par « M » la droite  de direction «  »  .

( C'est-à-dire la parallèle à « δ »)

Cette droite est unique  ( axiome d’Euclide).

Elle coupe  « d » en « M’ ».

( on est certain qu’elle coupe « d » car elle n’a pas la même  direction que « d » )

Vocabulaire :

-        Le point « M’ » ainsi obtenu est appelé  le projeté de « M » selon la direction «  »  .

-        «  » est la direction de projection.

-        La droite ( M M’ ) est la projection de « M ».

Dans ces conditions on dit que :

« M’ » est l’image  ( ou le projeté) de « M » dans la projection de « d » selon la direction «  »  .

La flèche :  signifie   « à pour image »

M    M ’

Lire : « M » à pour image « M’ »

Activité n°… :

Sur la figure  ci-dessous , toutes les droites sauf « d » ont la même direction de «  »  .

Donnez les images des différentes points dans la projection sur « d » de direction de «  »  .

Ainsi : « M’ » étant le projeté  de « M » , on écrira schématiquement : M    M ’

M    …M’.

C    …E.

A   …B.

D    …E.

F    …G.

K    …L.

H    …L.

N    …N.

Remarque :

Les points « C » et « D » ont le même …nom……Le projeté de « N »    est …N………

Tous les points situés sur une droite de direction «  »   ont le même ………projeté………………

Activité n° 2 :

Déterminez les projetés des points « P » , « R » , « S » et « T ». dans les deux cas suivants :

1°) Projection sur « d » de direction « e ».

2°) Projection sur « d » de direction « f » .

Donnez un nom à ces points et complétez  le dessin ci-dessous.

Projection de direction « e »

Projection de direction     « f »

P    …P’.

P    …P’’.

R    …R’.

R    …R’’.

S    …S’.

S    …S’’.

T    …T’.

T    …T’’.

Activité n° 3 :

« d ₁» , « d₂ » et « d₃ »  sont des droites de direction  « D ».

« m ₁» , « m ₂ » et « m ₃ »  sont des droites de direction  «  »  .

Donnez le nom du projeté du point correspondant dans les différents cas :

Projection sur « t » direction « D »

Projection sur « f » direction «  » 

Projection sur « f » direction « D »

A    ….E

S     N….

R    K.

V    …T.

K    …K.

J    …J.

W    M….

G    …G.

C    …W.

B    …A.

F    T.

A    …A.

J    …J.

X    …M.

H     W….

A    …K.

R    …T.

X    …W.

C    …E.

R    …N.

J    …J.

G    T….

M    …W.

N    …T.

Fiche 2  Image d’une figure.

Info //+++ image d’une figure

Dans la projection sur « d » selon la direction , l’image de « F » est la figure « F ’ » constituée par l’ ensemble des points qui sont les projetés  des points de « F » .

Dans cet exemple l’image de « F ’ » est   un …segment…

Cas général :

Le projeté d’une figure sur une droite est cette droite toute entière ou une portion de cette droite.

v Image d’une droite :

Dans les trois cas ci-dessous , dessinez en rouge l’image des droites  « e », « f » , et « g » dans la projection sur la droite « d » selon la direction  «  »  .

Fiche 3 : Projection d’un segment et du milieu de ce segment .

Info ++ : Projection et milieu..

(ce cours débouche sur une propriété qui sera utilisée par la suite sur les milieux …)

On donne une droite « d » et une  direction  «  »  .

[ AB ]  est un segment de « M » son milieu .

Dans la projection de [ AB ]  sur « d » suivant la direction «  »,  « A » , « B » , « M » ont respectivement pour projeté  « A ‘ » , «  B’ » et « M ’ » .

Déterminez  « A ‘ » , « B ‘ » et « M’ » , dans chacun des cas suivants ci-dessous .

Vous constatez que dans tous les cas , le projeté du segment  [AB]  est le segment  [ A’ B’] et que le milieu de [ A’ B’] est le point « M’ » qui est le « projeté » de « M », milieu de [AB]   .

Nous énoncerons la propriété suivante que nous admettrons :

]

Propriété 7 :

Dans toute projection sur une droite suivant une direction donnée, ( la droite n’ayant pas pour direction la direction de la projection), le projeté d’un segment est un segment , le milieu du segment se projette au milieu du projeté de ce segment .

Activité n°… :

Sur la droite « d » , les points « A » , »B », « C » , « D » , « E » , « F » , « G » , « H » déterminent une graduation régulière.

C'est-à-dire que « AB = BC = CD = DE = EF = FG =GH ».

En projetant la droite « d » sur la droite « d’ » suivant la direction  «  »  .

Les points « A » , »B », « C » , « D » , « E » , « F » , « G » , « H » ont respectivement pour projetés  « A’ » , « B ‘ », « C’ » , « D’ » , « E’ » , « F’ » , « G’ » , « H’ ».

Faites le dessin…..

Que pouvez-vous dire de la graduation ainsi obtenu ?????? ( les graduations son régulière , la distance entre chaque graduation est identique) ; Dites cela oralement … ;

Fiche 4 : Démonstration : Une utilisation de la propriété ( 7 ) sur Projection d’un segment et du milieu de ce segment :

« ABCD » , ci-contre est un trapèze dans lequel ( AD ) et ( BC ) sont parallèles.

On appelle « E » le milieu de [ AB ].

Par « E3 on mène la parallèle aux droites ( AD ) et ( BC ).

Cette droite coupe  ( DC ) en « F ».

Activité : Achevez la figure .

Nous allons démontrer que « F » est le milieu de [ DC ].

Rappel : Faire une démonstration consiste  très souvent à montrer que le problème que l’on étudie se ramène à une situation connue.

Ainsi dans le cas présent , si l’on peut trouver une projection telle que [ DC]  soit le projeté de [ AB ]  et que « F » soit le projeté du point « E » milieu de [ AB ]   , alors on sera  dans la situation de la propriété « 7 » et la conclusion en découlera immédiatement.

Analyse de la situation :

Ø Ce que l’on sait par hypothèse .

On écrit ( après traduction)  les données du problème

Ø Ce que l’on veut démontrer ( conclusion)   :   « F » est le ……milieu de [ DC]  …..

Ø Recherche. ( à ne pas écrire dans un devoir )

Pour faire apparaître la situation de la propriété « 7 », il faut faire intervenir une projection.

      On imagine  que l’on projette  la droite ( AB ) sur la droite (DC) , la direction de projection étant celle des droites parallèles  ( AD ) , ( BC ) , ( EF ) .

Le segment [ AB ]  a alors pour projeté le segment ………[ DC ]……..

« E » étant le milieu de [ AB ]   , on se trouve bien dans la situation de la propriété « 7 » donc le point « F » qui est le projeté du milieu de « E »  de [ AB ]    est le milieu de ………[ DC ]……..

Rédaction de la démonstration.

( C’est ce que vous devez écrire dans un devoir ) et ( n’oubliez pas de justifier toutes les affirmations)

Les droites  ( AD ) , ( BC )  et ( EF )  sont parallèles  ( par hypothèse ) elles ont donc même ….direction….

Considérons  la projection de (AB ) sur ( DC ) dont la direction de projection est celles des droites parallèles  ( AD ) , ( B C )  et ( EF ).

« A » a pour projeté :  « D ».. ;  «  B »   a pour projeté  .. « C »….  ;  «  E »   a pour projeté  .. « F  »…. 

Le projeté de [ AB ]  est donc ………[ DC ]……..  . Par hypothèse « E » est le milieu de [ AB ]  .

D’après la propriété « 7 » (vu dans la fiche « 3) , le milieu de « E » de [ AB ]   se projette au milieu de …………[ DC ]……..  ……or, le projeté de « E » est  ….« F ».., donc « F » est …le milieu de …………[ DC ]…….. 

Activité n°….

Les droites « d » et « d’ » sont deux droites parallèles.

« A » est le point de « d » , « A’ » un point de « d’ » .

Soit « O » le milieu de  [ AA’ ]  . Placez ce point.

Une droite passant par « O » coupe « d » en « B » et « d’ » en « B’ ».

Démontrez que « O » est le milieu de   [ BB’ ] 

Plan de la Démonstration :

Hypothèse :…………..

Conclusion : ……………………………

Démonstration :

Considérons la projection de ( AA’)  sur ( BB’) dont la direction de projection est ……………………………………….