Aller vers lire….la numération , ne pas confondre : «  nombre » et  « grandeur »

Pré requis:

Numération : base 10
Nomenclature	5
Mettre un nombre entier sous forme de fraction	125
Division de N par 10 ; 100 ;1000	25

ENVIRONNEMENT du dossier:

			COURS FICHE collège 6^ème / 5^ème
Index warmaths	Objectif précédent : 1°) le nombre entier 2°) Notion et idée du nombre décimal . 3°) La fraction décimale 4°) le nombre décimal et le système décimal.	Objectif suivant 1°) Numération des nombres décimaux. 2°) Classification des nombres décimaux 3°) Propriétés des opérations Net D. 4°) Les opérations dans « R »…… 5°) Cours- fiche de travaux collège complémentaire.	Tableau : 37a : Etablissement du système décimal en primaire. Liste des activités « cours » avec les nombres décimaux

Classe 6^ème –cinquième- collège :

Corrigé CALCULS SUR LES NOMBRES DECIMAUX

	Chapitres :
	1°) Les décimaux –les entiers naturels. (reconnaître ; classification)
	2°) Valeur approchée. ( troncature, arrondi ;….)
	3°) Addition (propriétés ; ordre de grandeur ;….)
	4°) Soustraction.
	5°) La multiplication. (Propriétés de la multiplication ; ordre de grandeur d’un produit ….).
Info +++	6°) Produit d’un produit par un nombre.
	7°) PRIORITE DE LA MULTIPLICATION SUR L’ADDITION.
	8°) PARENTHESES ET CROCHETS.
	· Simplification de l’ écriture d’une suite de calculs par suppression de parenthèses ou crochets.
TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité 35a Devoirs	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
				>>> Liste de fiches de travaux autre module « fiches »

COURS

Ceci est le résumé d’un cours dispensé au collège. Cliquer sur les « info + » ; « pré requis » ,…….. pour avoir des précisions ou pour approfondir..

Info +	1°) Les décimaux – les entiers naturels.
	Rappel : les nombres sont séparés par des « points-virgules » ; la virgule sépare deux chiffres dans un nombre décimal.. Exemples : soit une suite de nombres décimaux : 37,15 ; 0,63 ; 0,0003 ; 7,00 ;…………..
	Dans le nombre décimal : « 37,15 » : « 37 »  est appelé :la partie entière et « 15 » la partie décimale.
Info ++	Remarque 1  : On obtient une autre écriture d’un décimal en mettant des zéros à la droite de la partie décimale : Ainsi : « 37,15 » ; « 37,150 » ; « 37,1500 » ; « 37,15000 » :sont quatre écritures d’un même décimal.
	Remarque 2  : De la même façon le nombre « 37 » peut s’écrire : « 37,0 » ; « 37,00 » ; « 37,0000 » ou ………………. Nous avons vu que « 37 » est un entier naturel ; il peut être considéré comme étant un nombre décimal. ( sa partie décimale n’est faîte que de « 0 »)
	Remarque 3 : Au lieu de dire « entier naturel » , on dit souvent « entier » ou parfois « naturel »
	Exercices série 1 : Exemple : On vous donne un extrait de la liste des entiers naturels . « 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4  » est la liste des entiers naturels « x » tels que «  x 4 »
	On vous demande :
	Ecrire la liste des entiers naturels « y » tels que : y < 5					……………………………………………….
	Ecrire la liste des entiers naturels « z » tels que : 2 z 7					……………………………………………….
	Ecrire la liste des entiers naturels « t » tels que 6 < t 11					……………………………………………….
	Ecrire la liste des entiers naturels « u » tels que 9 u < 14					……………………………………………….
	Ecrire la liste des entiers naturels « v » tels que 3 < v < 10					……………………………………………….
Info ++	Exercice 2 : On vous demande de ranger dans l’ordre croissant ( symbole à utiliser : ….< …..)										Info +++
	42,57 ; 0,13 ; 0,0069 ; 47,4 ; 7 ; 0 ,1 ; ; 47,31 ; 0,0071 ; 42 , 428 ; 0,2
	2°) Valeur approchée.
	Voici un encadrement de « 537, 268 » par des entiers consécutifs : « 537 < 537, 268 < 538 » On dit que : « 537 » est la valeur approchée à 1 prés par défaut de « 537, 268 » On dit que : « 538 » est la valeur approchée à 1 prés par excès de « 537, 268 » On dit que : « 530 » est la valeur approchée à 10 prés par défaut de « 537, 268 » On dit que : « 540 » est la valeur approchée à 10 prés par excès de « 537, 268 » On écrira : « 530 < 537, 268 < 540 » à 10 prés . Encadrement de « 537, 268 » à 100 prés : On écrira : «  500 < 537, 268  < 600 » à 100 prés . Encadrement de « 537, 268 » à 0,1 prés : On écrira : «  537,2 < 537, 268  < 537,3 » à 0,1 prés . Encadrement de « 537, 268 » à 0,01 prés : On écrira : «  537,2 6 < 537, 268  < 537,27 » à 0,1 prés .
	Vocabulaire :
	« Troncature » : Les valeurs approchées par défaut sont aussi appelées « troncature » Exemples de troncatures possibles de « 537, 268 »  : « 537 » ; « 537, 2 » ; « 537, 26 »
	« arrondi  » : Des deux valeurs approchées par excès ou par défaut , celle qui est la plus proche du nombre est appelée « arrondi »
	Exemples « d’arrondi » de « 537, 268 » : « 500 » : «  540 » ; « 537 » ; « 537,3 » , «  537,26 »
	Mais attention : pour donner l’arrondi d’un résultat de calcul il faudra apprendre la règle de l’arrondi « à tant prés ».
	« ordre de grandeur » Un ordre de grandeur est une valeur approchée. Mais très souvent , on choisit pour ordre de grandeur d’un nombre , un arrondi dans lequel tous les chiffres sont nuls sauf un. Exemples : pour « 537, 268 » on prendra « 500 » comme ordre de grandeur. Pour « 3,8 » on prendra « 4 » . Pour « 0,0062 » on prendra « 0,006 »
	On vous demande donner une troncature avec deux chiffres après la virgule de «  81 , 5372 » est égale : «  81 , 53 » Mais remarquez bien la valeur de la troisième décimale : On vous demande donner arrondir avec deux chiffres après la virgule de «  81 , 5372 » est égale : «  81 , 54 » On vous demande donner arrondir avec deux chiffres après la virgule de «  81 , 5342 » est égale : «  81 , 53 » On vous demande donner arrondir avec deux chiffres après la virgule de «  81 , 535 » est égale : «  81 , 54 » On remarque qu’il existe une règle à respecter !!! voir le cours suivant la règle de l’arrondi « à tant prés ». On vous demande un arrondi à la dizaine prés de « 157,41 » est «  160 »
Info ++ A revoir	3°) Addition :
Info ++	Propriétés de l’addition.
	1°) Elle est commutative 2°) Il existe un élément neutre qui est « 0 » 3°) Elle est associative.			Précisez oralement ce que cela signifie……
	Exercices . Calculez le plus rapidement possible après avoir regroupé les termes de telle sorte qu’il apparaisse des dizaines. ( exemple : 28 + 62 = 90)
	A = 21 + 17 + 84 + 72 + 53 + 39 + 46
	A = ( ……+ …….) + ( ……+ …….) +( ……+ …….) + ……… A = ………………+ ……………….+ ………………..+ ……………. A = …………………….
	Ordre d’une grandeur d’une somme.
	Considérons la somme «  37, 432 + 524 ,37 » Un ordre de grandeur de «  37, 432 » est «40 » , un ordre de grandeur de « 524 ,37 » est « 520 ». Un ordre de grandeur de la somme est alors «  40 + 520 = 560 »   Contrôle en faisant le calcul «  37, 432 + 524 ,37 = » Faîtes de même en complétant le tableau ci-dessous :
	Nombre à additionner		Calcul d’un ordre de grandeur							Résultat exact.
	72,438 + 578,61
	0,00432 + 0,00067
	126837 + 73 842
	4°) Soustraction.
	A retenir :
	« a » et « b » étant des décimaux positifs quelconques , le calcul de « a – b » n’est possible que si «  a > b »					« a – b = x » signifie que « a = x + b »
Info plus	Après avoir fait des essais ( au brouillon) , dites ( en répondant par « oui » ou « non » ) si , dans l’ensemble des décimaux , la soustraction est commutative ( …non …..) associative ( …non…)
Info ++	Exercice , Série 1 .Heure , minute, seconde, sont représentées respectivement par « h » , « min » , « s » Calculez ( faire les réductions sachant que «  1 h = 60 min = 60 ‘ ) et «  1 min = 60 s = 60 ‘’ » :
	5 h 38 min 54 s + 8 h 47 min 23 s =
	13 h 45 min 37 s - 5 h 29 min 18 s =
	18 h 14 min 21 s - 7 h 34 min 45 s =
Info ++	Exercice , Série 2 Compléter le tableau donnant les horaires des trains sur le trajet : Marseille - Paris.
		Départ de Marseille			Arrivée à Paris			Durée du trajet.
		16 h 56 min			23 h 7 min = 22 h 67min			22h 67 – 16 h 56min= 6 h 11 min
		21 h 52 min			6 h 29 min
		20 h 17 min						8 h 23 min
					7 h 14 min			7 h 58 min
	Info : 23 h 7 min = 22 h + 1 h +7min = 22 h + 60 min +7min = 22 h 67 min
	5°) La multiplication.
Info ++	Exercice 1 :
	On sait que « 43 57 = 2 451 » , sans refaire de nouveaux calculs , complétez :
	« 43 5,7 = ……………………. »			43 0,57 = ……………………. »					« 4,3 5,7 = ……………………. »
	« 4,3 0,57 = ……………………. »			« 0, 43 5,7 = ……………………. »					«0, 43 0,57 = ……………………. »
	« 0, 043 0, 57 = ……………………. »			« 43 0,0057 = ……………………. »					« 4,3 57 000 = ……………………. »
	« 4300 0,57 = ……………………. » ,			« 0, 043 5 700 = ……………………. »					« 0, 043 5 70 000 = ……………………. »
	« 43 000 0,57 = ……………………. » ,			« 0, 000 43 5 , 7 = ……………………. »					« 43 000 0,0057 = ……………………. » ,
	« 43 00 57 000 = ……………………. » ,
	Propriétés de la multiplication.
	1°) Elle est commutative . 2°) Il existe un élément neutre qui est ……………………..( 1 ) 3°) Elle est associative ;……………………………… 4°) Il existe un élément absorbant qui est ( 0 ) . ainsi pour tout décimal « x » ; « x  multiplié par 0 = 0 »						Précisez oralement ce que cela signifie…@…
	Exercice 2 : Calculez le plus rapidement possible après avoir groupé les facteurs de telle sorte qu’il apparaisse des nombres tels que «  1 ; 10 ; 100 ; 1 000 ; ( exemple 4 25 = 100 )
	B = 5 0,25 3 4 8 212,5
	B = ( …5….…2…) ( …0,25….…4…) ( …8….…12,5…) ……3…….. B = ………10 ………1……10………………3…………………………………………. B = ………300………………………………………………..

Ordre de grandeur d’un produit :

On voudrait effectuer la multiplication de «  57 , 478 par 731 , 59 » , avant d’effectuer l’opération on vous demande de donner un ordre de grandeur du produit. Un ordre de grandeur de «  57 , 478 » est «  60 » , un ordre de grandeur de  «  731 , 59 » est « 700 » Un ordre de grandeur du produit est alors : «  60 700 »= …42 000………… Contrôle : en faisant le calcul «  57 , 478 731 , 59 = 42050,33002 »

Nombres à multiplier

Calcul d’un ordre de grandeur.

Résultat exact.

84 , 237 0,028

0,000 728 0,05 74

41456 0,874

Info ++

Exercices de conversions.

N°1 On vous demande d’exprimer en secondes «  4 h 28 min 43 s »

4 h =

4 60 60 =

14 400 s

28 min =

28 60 =

1720 s

43 s =

43 s =

43 s

«  4 h 28 min 43 s »

contient

16 163 s

N°2 : On vous demande d’exprimer en minutes «  7 j 15 h 53 min » ( 1 jour = 1 j = 24 h )

Info +++

6°) Produit d’un produit par un nombre.

Ci contre on vous présente un parallélépipède rectangle ( n°1) :dont les dimensions sont : Largeur « a » ; longueur « b » hauteur « c ». Son volume est égal au produit de : «  a b c ».

A partir du parallélépipède « n°1 » donné ci-dessus , on vous demande dessiner un parallélépipède «n° 2 » . Le parallélépipède « n°2 » aura pour dimensions les dimensions du « n°1 » multipliés par « 2 » On va comparer la valeur des volumes.

Indication :

« b » et « c » sont conservé ; « a » est multiplié par « 2 »

«a » et « c » sont conservé ; « b » est multiplié par « 2 »

«a » et « c » sont conservé ; « b » est multiplié par « 2 »

Soit le volume = 2 a fois 2 b fois 2c = 2 fois 2 fois 2 fois abc. = 8 fois abc

Reprenons le parallélépipède n°1 : Lorsque l’on double ( multiplie par « 2 ») les dimensions de ce parallélépipède on obtient un autre parallélépipède contenant 8 fois ce parallélépipède. Terminez le dessin ci contre : ( vérifier) Si on double les dimensions on multiplie par « 8 » pour obtenir le nouveau volume….

Autres exemples :

On peut écrire alors

( 3 4 6 ) 5 = …72…… 5 = 360

( 3 4 6 ) 5 =

( 3 5 ) 4 6 =

( 3 5 ) 4 6 = 15 4 6 = 15 24 = 360

( 3 4 6 ) 5 =

( 3 ( 4 5 ) 6 = 3 ( 20 ) 6 = ( 60 ) 6 = 360

( 3 ( 4 5 ) 6 =

3 4 ( 6 5 ) = 3 4 ( 30 ) = 12 ( 30 ) = 360

3 4 ( 6 5 ) =

Il en serait de même pour n’importe quels nombres. On dira alors :

Etant donné un produit de facteurs , multiplier le produit par un nombre , revient à multiplier l’un des facteurs par ce nombre.

( a n ) b c

( a b c ) n =

a ( b n ) c

a b ( c n )

Remarque :

Cette propriété n’est pas nouvelle . Elle découle de la commutativité et de l’associativité de la multiplication .( voir dans ce cours )

Exercice : une caisse à la forme d’un cube de 1 mètre de côté. Combien de boîtes cubiques de 20 cm de côté peut-on ranger dans cette caisse ?

Réponse 5 fois 5 fois 5 = 125 boîtes

PRIORITE DE LA MULTIPLICATION SUR L’ADDITION.

info +(à reprendre++

Soit les calculs :

· ( 5 4 ) + 6 = 20 + 6 = 26

· 5 ( 4 + 6 ) = 5 ( 10 ) = 50

· ( 5 + 4 ) 6 = 9 6 = 54

· 5 + ( 4 6 ) = 5 + ( 24 ) = 29

Les nombres «  5 » ; « 4 » ; « 6 » sont les mêmes dans les quatre cas ., mais les résultats sont différents. Expliquez pourquoi  ( oralement ) . Vous constatez que l’ordre dans lequel on effectue les calculs est très important.

A retenir : Les parenthèses indiquent que l’on doit effectuer en priorité les calculs figurant à l’intérieur de ces parenthèses.

Dans les calculs où figurent des multiplications , on décide, pour simplifier l’écriture , de ne plus mettre de parenthèses autour des nombres à multiplier.

Ainsi :

7 + ( 8 5 ) s’écrit 7 + 8 5

Le calcul donne 7 + 8 5 = 7 + 40 = 47

Complète : ( 4 5 ) + ( 8 3 ) s’écrit : 4 5 + 8 3 = 20 + 24 = 44

Conséquence : si dans un calcul , il n’y a pas de parenthèses , il faut faire attention à l’ordre dans lequel on effectue les opérations.

Ainsi :

A = 3 5 + 8 + 4 5 7 + 6 Signifie : A = ( 3 5 ) + 8 + ( 4 5 7 ) + 6 Le calcul donne : A = ….15 …… + 8 + ..140…… + 6 ; Le résultat A = ….169

A retenir : Dans une suite de calculs où figurent des multiplications ( ou soustraction) , mais pas de parenthèses , on doit effectuer en priorité les multiplications. ( On rétablit mentalement les parenthèses qui devraient figurer autour des nombres à multiplier. On dit que : La multiplication à priorité sur l’addition.( ou la soustraction)

Série d’exercices  sans parenthèses : Calculez en appliquant la règle précédente.

B = 6 + 3 4

B = 18

C = 5 8 – 7

C = 33

D = 9 + 4 2 + 6

D = 23

E = 3 7 - 8 2

E = 21 – 16 = 5

F = 6 + 5 8 4 + 9

F = 6 + 160 + 9 = 175

G = 7 + 9 3 + 5 2 6

G = 7 + 27 + 60 = 94

Exemple d’ exercice avec parenthèses : Calculez en appliquant la règle précédente.

On vous donne une expression à calculer  : H = 7 + 6 3 4 + 2 ( 4 + 3 2 ) 3 + 9

On vous demande de faire les calculs en suivant les indications :

1°) Vous effectuez les calculs dans les parenthèses et vous réécrivez la ligne en remplaçant le contenu des parenthèses par le nombre que vous venez de trouver .

H = 7 + 6 3 4 + 2 ( 10 ) 3 + 9

2°) Vous réécrivez la ligne en remplaçant les nombres à multiplier par leur produit effectué .

H = 7 + 72 + 60 + 9

3°) Il ne reste plus qu’à faire les additions…….et exprimer le résultat :

H = 7 + 72 + 60 + 9

H = 148

Faîtes de même pour : M = 10 + ( 3 4 9 2 ) 3 + 5 ( 7 + 3 4 + 1 )

1°) M = 10 + ( 216 ) 3 + 5 ( 7 + 12 + 1 ) 2°) M = 10 + 648 + 5 ( 20 ) 3°) M = 10 + 648 + 100 4°) M = 758

8 - PARENTHESES ET CROCHETS.

Info +++

Rappel : · Dans une suite de calculs où figurent des parenthèses, on doit effectuer en priorité les opérations indiquées à l’intérieur des parenthèses. · Dans une suite de calculs où ne figurent pas des parenthèses, on doit effectuer en priorité les multiplications et les additions (ou soustractions )

Série 1 d’ exercices.

Calculez en appliquant la règle précédente :

4 5 + 6 3 =……..

20 + 18 = 38

4 + 5 6 + 3 =……..

37

4 ( 5 + 6 ) 3 =……..

4 + 33 = 37

( 4 + 5 ) ( 6 + 3 ) =……..

81

4 ( 5 + 6 3 ) =……..

4 23 = 92

4 + 5 ( 6 + 3 ) =……..

49

( 4 5 + 6 ) 3 =……..

26 fois 3 = 78

( 4 + 5 ) 6 + 3 =……..

57

Info plus.

Les crochets : […. ] Les crochets sont des parenthèses particulières qui s’utilisent quand il y a déjà des parenthèses à l’intérieur. Pour effectuer une suite d’opérations où figurent crochets et parenthèses , on calcule d’abord l’intérieur des parenthèses ( en commençant par les multiplications ,…) les crochets deviennent alors de simples parenthèses.

Exemple 1: A = [ 5 + 6 ( 8 + 3 4 ) ] 8 + 4 ( 2 + 9 7 ) + 6

1°) Vous effectuez le calcul dans les parenthèses . ( Les crochets deviennent des parenthèses ) A = [ 5 + 6 44 ] 8 + 4 126 + 6 ou A = ( 5 + 6 44 ) 8 + 4 126 + 6 2°) Vous effectuez le calcul dans les crochets . ( Les crochets qui sont devenus des parenthèses ) A = ( 269 ) 8 + 504 + 6 3°) A = 2152 + 504 + 6 4°) A = 2 662

Exemple 2: Calculez comme précédemment B = [ 4 + 3 ( 7 + 2 5 ) ] 6 + 9 + [ ( 3 5 + 1 ) + 4 ( 8 + 3 2 + 7 ) ] 8 B = [ 4 + 3 ( 7 + 10 ) ] 6 + 9 + [ ( 1 5 + 1 ) + 4 ( 8 + 6 + 7 ) ] 8 B = [ 4 + 3 ( 17 ) ] 6 + 9 + [ ( 1 6 ) + 4 ( 21 ) ] 8 B = [ 4 + 51 ] 6 + 9 + [ ( 1 6 ) + 84 ) ] 8 B = ( 55 ) 6 + 9 + ( 100 ) 8 B = ( 330 ) + 9 + ( 800 ) B = 1139

Simplification de l’ écriture d’une suite de calculs par suppression de parenthèses ou crochets.

Grâce à la règle de la priorité de la multiplication sur l’addition, «  3 + ( 7 5 ) » peut s’écrire plus simplement : «  3 + 7 5  »

Exercice 3 :

Sans effectuer de calculs , réécrivez en enlevant les parenthèses et les crochets superflus.

C = ( 3 4 ) + 6 + ( 9 8 )  s’écrit………………

C = 3 4 + 6 + 9 8

D = ( 4 + 8 3 ) 7 + ( 6 2 ) s’écrit ……………

D = ( 4 + 8 3 ) 7 + 6 2

E = 7 + ( 5 3 ) + [ ( 8 + 2 ) 6 ] s’écrit ……………

E = 7 + 5 3 + ( 8 + 2 ) 6

· Des parenthèses ,ou des crochets peuvent aussi s’enlever grâce à l’associativité de la multiplication ou de l’addition.

Exemples  : 7 + ( 5 + 3 2 ) s’écrit : 7 + 5 + 3 2 ( 9 + 4 ) ( 8 2 ) s’écrit ( 9 + 4 ) 8 2

Série d’exercices : Sans effectuer de calculs , réécrivez en enlevant si possible les parenthèses ou crochets.

F = 5 + [ 3 ( 2 + 5 ) 4 ] s’écrit :……..

F = 5 + 3 ( 2 + 5 ) 4

G = [ ( 3 + 5 ) ( 7 3 ) ] [ 5 ( 4 + 2 ) 8 ] s’écrit :……

G = ( 3 + 5 ) 7 3 5 ( 4 + 2 ) 8

H = [ 3 ( 4 + 7 5 ) ] + ( 6 8 + 2 ) s’écrit :……

H = 3 ( 4 + 7 5 ) + 6 8 + 2

J = ( 5 + 7 ) [ ( 1 + 8 6 ) + 4 ( 9 + 3 ) ] s’écrit :……

J = ( 5 + 7 ) ( 1 + 8 6 ) + 4 ( 9 + 3 )

TRAVAUX AUTO FORMATIFS (devoir formatif)

CONTROLE :

Compléter :

EVALUATION